Kap. VII: Schrauben und Gewindesteigung

Stell dir vor, du willst zwei Stahlplatten so fest gegeneinander pressen, dass du sie selbst mit der Hand nicht mehr auseinanderziehst. Du nimmst eine Schraube, steckst sie durch beide Bohrungen und drehst die Mutter mit dem Schraubenschlüssel fest. Plötzlich kleben die Platten zusammen, als wären sie verschweißt. Genau dieser Trick ist die Definition einer Schraube.

Eine Schraube ist ein Maschinenelement, das eine Drehbewegung in eine Längsbewegung umwandelt und damit zwei Bauteile reibschlüssig zusammenpresst. Klingt simpel, aber alles, was in diesem Kapitel folgt (Gewindesteigung, Vorspannung, Anziehmoment, Verspannungsschaubild), folgt aus diesem einen Prinzip.

Aufbau einer Schraubenverbindung. Eine klassische Schraubenverbindung besteht aus fünf Elementen:

Wirkprinzip in zwei Sätzen. Beim Anziehen rotiert die Schraube; die spiralförmigen Flanken am Außengewinde gleiten an denen des Innengewindes, und aus der Rotation wird eine Längsbewegung. Diese Längsbewegung erzeugt zwischen den verspannten Platten eine Normalkraft, und über Reibung wird daraus eine Querkraft, die die Platten gegen Verschieben sichert.

Nicht jedes Gewinde sieht im Querschnitt gleich aus. Der Flankenwinkel $\beta$ (der Öffnungswinkel zwischen den zwei Flanken eines Gewindezahns) entscheidet, ob ein Gewinde gut zum Befestigen (selbsthemmend, kleiner Wirkungsgrad gewollt) oder zum Bewegen (geringe Reibung, hoher Wirkungsgrad gewollt) geeignet ist.

Bezeichnung in der Praxis. Auf einer Schraube findest du eine Kurz-Beschriftung wie $\text{M}10$ oder $\text{M}10\,{\times}\,1$. Der Buchstabe gibt den Gewindetyp an ($\text{M}$ für metrisch ISO), die erste Zahl ist der Nenndurchmesser $d$ in $\text{mm}$, die optionale zweite Zahl ist die Gewindesteigung $P$ in $\text{mm}$. Ohne Steigungsangabe handelt es sich um ein Regelgewinde mit der Standard-Steigung aus TB 8-1. Mit Steigungsangabe handelt es sich um ein Feingewinde mit kleinerer Steigung als die Regelversion.

Rechts- und Linksgewinde. Standardgewinde sind Rechtsgewinde: sie werden im Uhrzeigersinn festgezogen. Linksgewinde (Kurzzeichen $\text{LH}$) tauchen bei Spezialanwendungen auf, bei denen das Bauteil sich durch die Betriebs-Drehung selbst lösen würde: linke Fahrradpedale, Bohrfutter, Ventilator-Schrauben. Sie werden gegen den Uhrzeigersinn festgezogen.

Bevor du eine Schraube anziehst, musst du sie packen können. Der Schraubenkopf ist die Schnittstelle zum Werkzeug, und seine Form entscheidet, wie viel Anziehmoment du übertragen kannst und wie viel Platz du dafür brauchst.

Die Vorlesung listet die wichtigsten Kopfformen und bewertet sie nach drei Kriterien: erreichbares Anziehmoment, Preis und Platzbedarf für das Werkzeug.

Vielzahnschrauben (Aussenvielzahn, Innen-Torx). Diese High-End-Köpfe schaffen sehr hohe Anziehmomente, weil das Werkzeug an vielen Punkten gleichzeitig angreift. Preis: teurer. Anwendung: Motoren-Schrauben (Kurbelwelle, Pleuel), Lenkungs-Komponenten, alles, was nicht abrutschen darf.

Normen für Schrauben. Jede Kopfform und jede Schaftform ist nach DIN/ISO genormt. Beispiele: Sechskantschraube DIN EN ISO 4014, Zylinderkopfschraube mit Innensechskant DIN EN ISO 4762, Sechskantmutter DIN EN ISO 4032. Im Klausurzettel musst du diese Normnummern nicht auswendig wissen, aber du solltest erkennen, dass eine Norm-Bezeichnung wie $\text{ISO 4762}$ keine zufällige Zahl ist, sondern eine eindeutige Geometrie definiert.

Stell dir eine Schraube unter einer Pressplatte vor. Du drehst sie um eine volle Umdrehung; der Bolzen wandert dabei um einen genau definierten Weg nach unten. Dieser Weg heißt Gewindesteigung $P$. Bei einer $\text{M}10$-Regelschraube ist $P = 1{,}5\,\text{mm}$ pro Umdrehung; bei einer $\text{M}10\,{\times}\,1$-Feinschraube nur $P = 1\,\text{mm}$.

Vom Weg zum Winkel. Wickelst du gedanklich eine einzelne Gewindeumdrehung ab (du legst den Gewindezahn auf eine ebene Fläche), entsteht eine schiefe Ebene mit Höhe $P$ und Länge $\pi \cdot d_2$, wobei $d_2$ der Flankendurchmesser ist. Der Neigungswinkel dieser schiefen Ebene ist der Steigungswinkel $\varphi$.

Regelgewinde versus Feingewinde. Im Maschinenbau-Klausurzettel kommen fast immer beide Tabellen vor. Aus den TB-Werten ergeben sich konkret:

Bevor du Spannungen rechnen kannst, brauchst du den richtigen Querschnitt. Auf einer typischen Schraube tauchen drei verschiedene Durchmesser (und damit drei verschiedene Querschnitte) auf, je nachdem wo am Bolzen du gerade schaust.

Die Vorlesung benennt sie nach dem metrischen ISO-Gewinde (DIN 13): Nenndurchmesser $d$ am glatten Schaft, Flankendurchmesser $d_2$ in halber Profilhöhe, Kerndurchmesser $d_3$ am Gewindegrund.

ISO-Profil-Geometrie. Das metrische ISO-Gewinde nach DIN 13 hat einen Flankenwinkel $\beta = 60°$ und ein dreieckiges Profil mit definierter Höhe $H$. Die Gewindetiefe $h_3$ (die tatsächlich tragende Profil-Höhe nach Berücksichtigung der Spitzen-Abrundungen) folgt aus der Profil-Geometrie.

Wenn du das Gewinde gedanklich von der Schraube abrollst, hast du eine schiefe Ebene mit Neigungswinkel $\varphi$. Ein kleiner Gleitkörper (er repräsentiert ein Stück Innengewinde) sitzt auf dieser schiefen Ebene. Die Schraube zieht ihn mit der Längskraft $F$ nach unten; das Werkzeug bewegt ihn mit der Umfangskraft $F_u$ horizontal. Aus dem Kräftegleichgewicht an der schiefen Ebene fällt die zentrale Gewindemoment-Formel raus.

Schritt 1: Reibungsfreie Betrachtung. Wir setzen erst einmal $\mu = 0$, also keine Reibung im Gewinde. An der schiefen Ebene wirken nur die Längskraft $F$ (senkrecht nach unten) und die Umfangskraft $F_u$ (waagerecht). Im Kräftegleichgewicht zerlegt die Normalkraft $F_n$ beide Anteile.

Schritt 2: Mit Reibung im Gewinde. Wir addieren jetzt eine Reibkraft $F_R = \mu \cdot F_n$ entlang der Gleitrichtung. Die Vektoraddition aus Normalkraft und Reibkraft ergibt eine Ersatzkraft, die um den Reibungswinkel $\rho$ gegen die Senkrechte gekippt ist. Mit $\mu = \tan(\rho)$ ändert sich die Tangens-Gleichung um genau diesen Winkel.

Vom $F_u$ zum Gewindemoment. Die Umfangskraft $F_u$ greift am Radius $d_2/2$ an (am Flankendurchmesser, also genau dort wo der Gleitkörper sitzt). Das resultierende Moment um die Schraubenachse ist das Gewindemoment $M_G$.

Im Flachgewinde-Modell oben ist die Flankenfläche genau senkrecht zur Schraubenachse. Beim metrischen ISO-Gewinde ist sie aber um den halben Flankenwinkel $\beta/2 = 30°$ gekippt. Das bedeutet: die Normalkraft auf die Flanke ist größer als die Längskraft, und damit ist auch die Reibung größer. Diese Korrektur steckt im modifizierten Reibungswinkel $\rho'$.

Anwendung im Gewindemoment. In der Formel aus VII.2.3 ersetzt man jetzt $\rho$ durch $\rho'$ und $F$ durch die Montagevorspannkraft $F_{VM}$, weil das genau die Längskraft ist, die beim Anziehen wirken soll.

Selbsthemmung. Eine Schraube heißt selbsthemmend, wenn sie sich unter Last nicht von selbst löst. Mathematisch: wenn $\varphi < \rho'$ gilt. Dann ist beim "Last senken" der Tangens $\tan(\varphi - \rho')$ negativ, und um die Schraube überhaupt zu lösen, muss man Kraft am Werkzeug aufwenden. Bei Standard-Befestigungsschrauben ist diese Bedingung praktisch immer erfüllt: $\varphi \approx 2{,}5°$ ist immer kleiner als $\rho' \approx 8°$.

Warum spannt man eine Schraube überhaupt vor, bevor irgendeine Betriebslast wirkt? Die Antwort liegt im Reibschluss: nur eine fest gegen die Platten gepresste Verbindung kann Querkräfte und Drehmomente ohne Schaft-Beanspruchung übertragen. Die Vorspannkraft $F_V$ ist die Eintrittskarte für jede weitere Berechnung in diesem Kapitel.

Zwei Grund-Gestaltungsformen. Eine Schraubenverbindung kann auf zwei Arten aufgebaut sein:

Wirkprinzip beider Varianten. Beim Anziehen des Werkzeugs (Drehmoment $M_A$) verfahren Schraubenkopf bzw. Mutter axial gegen die Plattenpakete. Diese Axialbewegung presst die Platten gegeneinander mit der Vorspannkraft $F_V$, was sich als Normalkraft in der Trennfuge bemerkbar macht.

Eine Schraubenverbindung kann mechanisch korrekt ausgelegt sein und trotzdem in der Praxis versagen, wenn die Gestaltung nicht passt. Die Vorlesung zeigt vier wiederkehrende Fehlerklassen, die alle ohne Rechnung am Zeichnungstisch entschieden werden.

Mindesteinschraubtiefe $l_e$. Die Tiefe, mit der die Schraube ins Innengewinde greift, muss reichen, damit das schwächere der beiden Gewinde (Außen am Bolzen, Innen am Bauteil) nicht ausreißt. Faustwerte aus dem Tabellenbuch Metall (Auszug):

Lastverteilung im Gewinde. Auch bei korrekter Einschraubtiefe verteilt sich die Last nicht gleichmäßig auf alle Gewindegänge. Der erste Gewindegang nahe der Auflage trägt typischerweise 30 bis 40 % der gesamten Last, die übernehmenden Gänge tragen schnell abnehmend weniger. Nach 6 bis 7 Gewindegängen ist der zusätzliche Lastbeitrag praktisch null, deshalb bringt eine längere Einschraubtiefe über $\sim 8 \cdot P$ hinaus nichts mehr.

Wenn du die Schraube anziehst, verlängert sie sich um einen kleinen Betrag $f_S$ (typisch $0{,}1$ bis $0{,}3\,\text{mm}$), und die Platten werden im selben Moment um $f_T$ gestaucht. Beide reagieren wie Federn mit einer eigenen Steifigkeit. Diese Erkenntnis erlaubt es, die ganze Schraubenverbindung als ein zwei-Federn-System zu modellieren.

Nachgiebigkeit statt Steifigkeit. Im Schraubenkapitel arbeitet man traditionell mit der Nachgiebigkeit $\delta = 1/R$ statt der Federrate $R$. Das hat einen praktischen Grund: $\delta_S$ der Schraube setzt sich aus mehreren Einzelbereichen (Kopf, Schaft, Gewinde, Mutter) zusammen, und Nachgiebigkeiten in Reihe addieren sich einfach, während Federraten in Reihe sich kompliziert kombinieren.

Längenänderungen. Mit den beiden Nachgiebigkeiten folgen die zugehörigen Wege direkt aus dem Hookeschen Federgesetz.

Trägt man die Kraft-Weg-Kennlinien von Schraube und Platten in dasselbe Diagramm ein, mit demselben Schnittpunkt bei der Vorspannkraft $F_V$, entsteht das Verspannungsschaubild (auch Rötscher-Diagramm). Es ist das visuelle Werkzeug, mit dem alle drei Hauptlast-Effekte (Betriebskraft, Setzkraftverlust, Anziehfaktor) ohne neue Formel ablesbar werden.

Effekt I: Axiale Betriebskraft $F_B$. Im Betrieb wirkt eine zusätzliche Zugkraft $F_B$ (z. B. Innendruck im Druckbehälter). Sie zieht die Schraube weiter aus und entlastet die Platten gleichzeitig. Das System wandert vom alten Schnittpunkt nach rechts (mehr $f$). Die Schraubenzusatzkraft $F_{BS}$ und die Entlastungskraft der Teile $F_{BT}$ folgen aus dem Strahlensatz im Diagramm.

Effekt II: Setzkraftverlust $F_Z$. Mit der Zeit ebnen sich die mikroskopischen Rauspitzen in den Auflage- und Trennflächen plastisch ein (Setzen). Das Plattenpaket wird dadurch um den Setzbetrag $f_Z$ kürzer. Die Vorspannung sinkt um den Setzkraftverlust $F_Z$.

Effekt III: Anziehfaktor $k_A$. Beim realen Anziehen mit Drehmomentschlüssel oder Hand schwankt die tatsächlich erreichte Vorspannkraft um die Soll-Vorspannkraft. Diese Streuung wird durch den Anziehfaktor $k_A$ erfasst: $k_A = F_{V,\max}/F_{V,\min}$.

Auf jedem Schraubenkopf prangt eine kleine Markierung, die die Festigkeitsklasse des Werkstoffs angibt. Sie hat das Format $\text{X.Y}$ (z. B. $8.8$, $10.9$, $12.9$) oder $\text{AX-YY}$ für nichtrostende Stähle (z. B. $\text{A2-70}$). Die zwei Zahlen kodieren direkt die Zugfestigkeit $R_m$ und die Streckgrenze $R_e$, ohne dass man eine Tabelle braucht.

Zulässige Vergleichsspannung. Die Schraube darf die Streckgrenze nicht überschreiten, sonst fließt der Werkstoff plastisch und die Vorspannung geht teilweise verloren. In der Auslegung wird typischerweise auf $\sim 0{,}9\,R_e$ ausgelegt, also gerade unter die plastische Grenze.

Das Anziehmoment $M_A$ ist das, was du als Konstrukteur am Drehmomentschlüssel einstellst. Es setzt sich aus zwei Anteilen zusammen: dem Gewindemoment $M_G$ (Reibung und Steigung im Gewinde) und dem Auflagereibungsmoment $M_{RA}$ (Reibung unter dem Schraubenkopf bzw. der Mutter).

Überschlagsformel für den Praxis-Alltag. Wer in der Werkstatt schnell ein Anziehmoment abschätzen will, kann mit der vereinfachten Formel arbeiten: für metrische ISO-Gewinde mit $\beta = 60°$, $\mu_G = \mu_K = 0{,}12$ und Standardgeometrie reduziert sich Gleichung VII.4.2.1 auf eine handliche Form.

Eine komplette Schraubenverbindung auslegen heißt: aus den geforderten Betriebsbedingungen (Restklemmkraft, Betriebskraft, Anziehverfahren, Setzbetrag) die maximal auftretende Spannung in der Schraube berechnen und prüfen, ob sie unter $\sigma_{v,\text{zul}}$ bleibt. Die Vorlesung systematisiert das in drei Schritten.

Aufgabenstellung (Übung U10.1). Eine M16-Schraube (metrisches ISO-Regelgewinde) soll mit einer Montagevorspannkraft $F_{VM} = 80\,\text{kN}$ angezogen werden. Die Reibungszahl im Gewinde beträgt $\mu_G = 0{,}12$.

Gesucht: (a) Flankenwinkel $\beta$. (b) Reibungswinkel $\rho'$. (c) Flankendurchmesser $d_2$ und Steigungswinkel $\varphi$. (d) Maximales Gewindemoment $M_{G,\max}$.

Aufgabenstellung (Moodle-Serie 10, Frage 1 und 2). (a) Eine M10-Regelschraube wird genau eine volle Umdrehung weiter eingedreht. Wie groß ist der axiale Weg $s$, den der Schraubenkopf dabei zurücklegt? (b) Gegeben ein metrisches Gewinde mit $\beta = 60°$ und Gewindesteigung $P = 2\,\text{mm}$: wie groß ist die Gewindetiefe $h_3$?

Aufgabenstellung (Moodle-Serie 10, Frage 3). Eine M16 x 1-Schraube (Feingewinde) wird mit einer Montagevorspannkraft $F_{VM} = 80\,\text{kN}$ angezogen. Reibungszahl im Gewinde $\mu_G = 0{,}12$.

Gesucht: Maximales Gewindemoment $M_{G,\max}$ und Vergleich mit dem Regelgewinde aus Aufgabe 1.

Aufgabenstellung (Moodle-Serie 10, Frage 7). Eine Schraubenverbindung wird mit einer axialen Betriebskraft $F_B = 28\,\text{kN}$ belastet. Gegeben sind: Nachgiebigkeit der Schraube $\delta_S = 1{,}98 \cdot 10^{-6}\,\text{mm/N}$, Nachgiebigkeit der verspannten Teile $\delta_T = 0{,}84 \cdot 10^{-6}\,\text{mm/N}$, Setzbetrag $f_Z = 11\,\mu\text{m}$, Anziehfaktor $k_A = 1{,}7$, geforderte Restklemmkraft $F_{Kl} = 3\,\text{kN}$.

Gesucht: Maximale Schraubenkraft $F_{S,\max}$.

Aufgabenstellung (Moodle-Serie 10, Frage 8). Ordne die folgenden Anziehverfahren nach ihrem Anziehfaktor $k_A$ vom kleinsten (präzisesten) bis zum größten (ungenausten):

(1) Anziehen mit Längungssteuerung bei direkter Ankopplung. (2) Hydraulisches Anziehen bei Normschrauben. (3) Drehmomentgesteuertes Anziehen mit messendem Drehmomentschlüssel. (4) Drehmomentgesteuertes Anziehen mit ausknickendem Drehmomentschlüssel. (5) Anziehen mit Impulsschrauber ohne Steuerungshilfen. (6) Anziehen von Hand ohne Drehmomentmessung.