Interaktives Werkzeug für Differentialgleichungen. Slope-Field, Parameter-Sweep, Schwinger 2. Ordnung, Phasenportrait. Klick rein, sieh die Lösung wachsen.
A. Slope-Field
y' = y
Pfeil-Magnitude
01
Richtung
0°180°360°
x . y .|y' = .|Klick rein, eine Lösung zeichnet sich los.Tippe rein, eine Lösung zeichnet sich los.Zoom 1.00×|60 FPS
Bedienung
Wechsle den Modus oben in der Steuerleiste. Auf Desktop steht sie links als Seitenleiste, auf Mobil öffnest du sie über den grünen Steuerung-Knopf oben links. In Modus A tippst du eine DGL erster Ordnung und klickst irgendwo aufs Canvas. In Modus B kommen Slider für $a$, $b$, $c$ dazu. Modus C fasst die ganze Schwinger-Theorie in sechs Slidern zusammen. In Modus D tippst du ein 2D-System, der Plotter findet die Gleichgewichtspunkte selbst und färbt sie nach Stabilität.
Maus-Rad zoomt, Drag verschiebt die Ansicht. Shift+Drag erzeugt eine gepaarte Gruppe von acht Trajektorien (gleiche Farbe), die du als Block verschieben kannst, indem du den Startpunkt eines Mitglieds packst. Rechtsklick auf einen Startpunkt entfernt die Trajektorie (oder die ganze Gruppe). Esc schliesst Vollbild. Tipp. Die Tasten 1, 2, 3, 4 wechseln den Modus, ohne dass du die Maus benutzen musst.
Vier Modi
A. Slope-Field. $y' = f(x, y)$
Eine DGL erster Ordnung sagt dir an jedem Punkt $(x, y)$ die Steigung der Lösungskurve. Der Plotter zeichnet dort einen kleinen Pfeil mit Richtung $(1, f(x, y))$ (normiert). Eine Lösung ist ein Pfad, der jedem Pfeil folgt.
Klick erzeugt eine Trajektorie ab dem geklickten Punkt. Sie wird vorwärts und rückwärts integriert, also auf beide Seiten verlängert. Mehrere Klicks zeigen, wie verschiedene Anfangsbedingungen zu verschiedenen Lösungen führen.
B. Parameter. $y' = f(x, y; a)$
Wenn deine Formel $a$, $b$ oder $c$ enthält, blendet der Plotter automatisch Slider ein. Zieh den Slider, sieh wie die ganze Lösungs-Familie auf den Wert reagiert.
Beispiel: $y' = a \cdot y$. Bei $a > 0$ Wachstum, bei $a < 0$ Zerfall, bei $a = 0$ konstant. Ein Slider regelt drei qualitative Fälle.
C. Schwinger 2. Ordnung. $y'' + 2\gamma y' + \omega^2 y = F_0 \cos(\Omega t)$
Eine DGL zweiter Ordnung beschreibt das schwingende System (Pendel, Federmasse, Schaltkreis). $\omega$ ist die Eigenfrequenz, $\gamma$ die Dämpfung, $F_0$ und $\Omega$ Anregung und Antriebsfrequenz.
Der Plotter teilt sich in zwei Plots. Links der Zeit-Plot $y(t)$ und $v(t)$, also Position und Geschwindigkeit. Rechts der Phasenraum: $y$ horizontal, $v$ vertikal. Eine geschlossene Bahn dort bedeutet eine periodische Lösung; eine einrollende Spirale bedeutet Abklingen.
D. Phasenportrait. $(x', y') = (f(x, y), g(x, y))$
Hier hast du zwei Funktionen, eine für $x'$, eine für $y'$. Trajektorien laufen durch den Phasenraum, klick erzeugt eine. Der Plotter sucht alle Gleichgewichtspunkte (wo $f = g = 0$) automatisch und färbt sie nach Stabilität.
Hover über einen Gleichgewichtspunkt: der Tooltip zeigt Klassifikation und Eigenwerte $\lambda_1, \lambda_2$ der Jacobi-Matrix.
Tastatur-Shortcuts
Pause: Space. Ansicht zurück: R. Vollbild: F. Trajektorien löschen: C. Modi: 1, 2, 3, 4. Zoom: + und -. Anwenden: Enter. Schließen: Esc.
DefinitionDifferentialgleichung
Eine Gleichung, in der die gesuchte Funktion zusammen mit ihren Ableitungen vorkommt. Beispiel: $y' = f(x, y)$. Lösung ist eine Funktion $y(x)$, die das überall erfüllt.
Slope-Field
An jedem Punkt $(x, y)$ kennen wir die Steigung $f(x, y)$. Wir zeichnen einen Pfeil mit Richtung $(1, f(x, y))$ (normiert). Eine Lösung ist ein Pfad, der jedem Pfeil folgt.
Existenz-Satz von Peano
Wenn $f$ stetig ist, hat das Anfangswertproblem $y(x_0) = y_0$ mindestens eine Lösung. Eindeutigkeit braucht zusätzlich Picard-Lindelöf (Lipschitz). Wo $f$ explodiert ($1/x$, $1/y$), versagt der Plotter mit Recht.
Wann ist das einfach?
Konstante $f$: Lösung ist eine Gerade. Trennbare DGL $y' = g(x) \cdot h(y)$: Trennung der Variablen. Lineare $y' + p(x) y = q(x)$: integrierender Faktor $\mu = e^{\int p \, dx}$. Konstante Koeffizienten 2. Ord.: charakteristisches Polynom.
Schwinger 2. Ordnung
$y'' + 2\gamma y' + \omega^2 y = 0$
Drei Fälle abhängig von $\gamma$ vs. $\omega$:
$\gamma < \omega$: schwingend, $y = e^{-\gamma t} (A \cos\omega_d t + B \sin\omega_d t)$ mit $\omega_d = \sqrt{\omega^2 - \gamma^2}$.
$\gamma = \omega$: kritisch gedämpft, $y = (A + B t) e^{-\gamma t}$.
$\gamma > \omega$: übergedämpft, zwei reelle Exponential-Abklingraten.