VI.5 Der Divergenzsatz

1.1 Die Idee: Bilanz statt Pfennigfuchserei

Stell dir eine geschlossene Box mitten in einem Strömungsfeld vor. Wasser strömt durch die Wände, mal rein, mal raus. Wie viel Wasser geht netto durch die Hülle? Schau erst auf die Box von aussen: du müsstest jede der sechs Wände einzeln mit einem Flussintegral abklappern (Kap. VI.4) und am Ende alles aufsummieren. Mühsam.

Der Divergenzsatz dreht die Frage um. Statt aussen jede Wand abzutasten, schau ins Innere der Box: addiere alle Quellen auf (wo Wasser entsteht, etwa ein Sprudel) und subtrahiere alle Senken (wo es verschwindet, etwa ein Abfluss). Was netto reinkommt oder rausgeht, muss durch die Hülle. Eine simple Buchhaltung: Bilanz im Inneren statt Pfennigfuchserei am Rand.

1.2 Theorem-Statement

Bevor wir die Formel hinschreiben, klären wir die Voraussetzungen. Die sind keine Beiwerk-Fussnote: sobald eine davon verletzt ist, gilt der Satz nicht mehr (siehe Section 2). Vier Punkte:

(1) $\mathbf{v}$ ist ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einem Definitionsbereich $D(\mathbf{v}) \subset \mathbb{R}^3$. Heisst: alle partiellen Ableitungen $\partial_x v_1, \partial_y v_2, \partial_z v_3$ (die in $\nabla \cdot \mathbf{v}$ stecken) existieren und sind stetig.

(2) $V \subset \mathbb{R}^3$ ist ein beschränktes Volumen (kein unendlich grosser Bereich) mit $V \subset D(\mathbf{v})$. Achtung: $V$ muss ganz im Definitionsbereich liegen, nicht nur sein Rand.

(3) $S = \partial V$ ist die Randfläche des Volumens (der „Rand von $V$"). Bei einer Vollkugel etwa: die Sphäre. Bei einem Quader: die sechs Wände. Schreibweise $\partial V$ kommt aus Kap. VI.3.

(4) Auf $S$ wählen wir den Normaleneinheitsvektor $\mathbf{n}$ als Aussennormale: er zeigt vom Volumen weg, nicht hinein. Diese Konvention steckt in der Form des Theorems; andere Wahl ergibt einen Vorzeichenflip.

In Worten: Der Fluss durch die geschlossene Hülle $\partial V$ ist gleich dem Volumenintegral der Divergenz im Inneren $V$. Die linke Seite ist eine Rechnung auf der Hülle (zwei Integrationsvariablen pro Wand), die rechte Seite eine Rechnung im Volumen (drei Integrationsvariablen). Welche der beiden leichter ist, hängt von der Aufgabe ab; für die meisten Klausur-Aufgaben ist die rechte Seite drastisch einfacher (siehe Section 6).

1.3 Wozu der Trick taugt

Wann lohnt sich der Divergenzsatz? Pragmatisch: immer dann, wenn die Hülle $\partial V$ kompliziert oder zerklüftet ist (mehrere Wände, krumme Geometrie, ungünstiges Vektorfeld), die Divergenz $\nabla \cdot \mathbf{v}$ aber einfach (Konstante, oder sogar null). Statt jede Wand mühsam zu parametrisieren und zu integrieren, machst du eine Rechnung im Inneren.

Drei besonders dankbare Fälle: $\nabla \cdot \mathbf{v} \equiv 0$ (Volumenintegral verschwindet, Fluss ist null); $\nabla \cdot \mathbf{v} = c$ konstant (Volumenintegral ist $c \cdot \operatorname{vol}(V)$, fertig); $\nabla \cdot \mathbf{v}$ eine einfache Funktion wie $z$ oder $r$ (Volumenintegral in geeigneten Koordinaten kurz).

2.1 Stetig differenzierbar auf ganz $V$

Diese Voraussetzung ist die wichtigste und die am häufigsten verletzte. Es reicht nicht, dass $\mathbf{v}$ auf der Hülle $\partial V$ wohldefiniert ist. Auch ein einziger Punkt im Inneren $V$, an dem $\mathbf{v}$ nicht definiert oder nicht stetig differenzierbar ist, killt den Satz. Schau dir das an einem klassischen Beispiel an, das du aus der Physik kennst: das Coulombfeld.

Sei $\mathbf{v}(\mathbf{r}) = C\, e \,\hat{\mathbf{r}}/r^2$ mit $r = |\mathbf{r}|$. Anschaulich: das elektrische Feld einer Punktladung $e$ im Ursprung, mit Konstante $C$. Sein Definitionsbereich ist $D(\mathbf{v}) = \mathbb{R}^3 \setminus \{\mathbf{0}\}$ (im Ursprung explodiert es). Eine direkte Rechnung zeigt: überall, wo $\mathbf{v}$ definiert ist, gilt $\nabla \cdot \mathbf{v} \equiv 0$. Quellfrei, soweit man hinschauen kann.

Lehre daraus. Bei jedem Vektorfeld, das aus einer Punktquelle entspringt (Coulomb, Gravitation, magnetischer Monopol, hydrodynamischer Sprudel), zuerst den Definitionsbereich prüfen. Liegt eine Singularität im Volumen, ist der Divergenzsatz nicht direkt anwendbar. Der saubere Trick (kleine Hilfskugel um die Singularität ausschneiden) wird in Kap. VI.6 ausgearbeitet.

2.2 Geschlossene Hülle Pflicht

Der Satz braucht $S = \partial V$ als Rand eines Volumens. Eine offene Fläche, die kein Volumen umrandet, geht nicht direkt durch. Beispiele für offene Flächen, die in Klausur-Aufgaben vorkommen: eine Halbkugelschale ohne Boden, ein Kegelmantel ohne Bodenscheibe, ein Zylindermantel ohne Deckel. Alle drei sind fast geschlossen, aber eben nicht ganz.

Die Standard-Lösung: ergänze die fehlenden Stücke, sodass eine geschlossene Hülle entsteht. Bei einer Halbkugelschale: füge die Kreisscheibe in der $xy$-Ebene als Boden hinzu. Bei einem Kegelmantel: dieselbe Idee, Kreisscheibe als Boden. Bei einem Zylindermantel: zwei Kreisscheiben (oben und unten). Auf der so geschlossenen Hülle wendest du den Divergenzsatz an, am Ende ziehst du den Fluss durch die Hilfsstücke wieder ab.

2.3 Aussennormale ist Konvention

Die Formel des Theorems setzt explizit die Aussennormale voraus: $\mathbf{n}$ zeigt vom Volumen weg, nicht in es hinein. Bei einer Vollkugel heisst das radial nach aussen, bei einem Quader nach aussen aus jeder der sechs Wände, bei einem Zylinder beim Mantel radial weg von der Achse und beim Deckel jeweils in $+z$ oder $-z$ (je nachdem oben oder unten).

Wenn deine Aufgabe eine andere Richtung wünscht, dreht das nur das Vorzeichen: $\Phi_{\text{innen}} = -\Phi_{\text{aussen}}$. Klausur-Stolperfalle: Aufgaben verstecken die Richtungswahl gerne in der Formulierung („Fluss von aussen nach innen“, „nach unten gerichtet“). Lies die Aufgabe zweimal und notiere dir die geforderte Richtung explizit, bevor du anfängst zu rechnen.

3.1 Eine zweite Lesart der Divergenz

Bisher hatten wir die Divergenz aus Kap. VI.2 nur als Rechenrezept gesehen: $\nabla \cdot \mathbf{v} = \partial_x v_1 + \partial_y v_2 + \partial_z v_3$, eine Summe partieller Ableitungen. Was die Zahl an einem Punkt eigentlich bedeutet, blieb undurchsichtig.

Mit dem Divergenzsatz in der Hand bekommen wir eine zweite Lesart, die viel anschaulicher ist. Die Divergenz an einem Punkt $\mathbf{r}_0$ ist der Fluss aus einer infinitesimal kleinen Hülle um $\mathbf{r}_0$ herum, geteilt durch das Volumen dieser Hülle. Mit anderen Worten: Fluss pro Volumen. Quellstärke pro Raum-Einheit.

3.2 Mittelwertsatz-Argument

Wie kommen wir formal zur Limes-Definition? Sei $P_0$ ein fester Punkt mit Ortsvektor $\mathbf{r}_0 = (x_0, y_0, z_0)$, und $\Delta V \subset D(\mathbf{v})$ ein kleines Volumen, das $P_0$ enthält. Aus dem Mittelwertsatz für Volumenintegrale (Analysis I, übertragen auf 3D) folgt: es gibt einen Punkt $P_r = (x_r, y_r, z_r) \in \Delta V$ mit

Anschaulich: $P_r$ ist der Punkt mit „durchschnittlicher Divergenz“ über $\Delta V$. Schrumpft jetzt das Volumen $\Delta V$ auf $P_0$ zu (also $\operatorname{vol}(\Delta V) \to 0$), so wird auch $P_r \to P_0$ erzwungen ($P_r$ liegt ja in $\Delta V$). Aus der Stetigkeit von $\nabla \cdot \mathbf{v}$ folgt dann $\nabla \cdot \mathbf{v}(P_r) \to \nabla \cdot \mathbf{v}(P_0)$.

3.3 Limes-Definition als Formel

Setze die Mittelwert-Identität zusammen mit dem Divergenzsatz auf $\Delta V$. Aus $\iiint_{\Delta V} \nabla \cdot \mathbf{v}\,\mathrm{d}V = \iint_{\partial(\Delta V)} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n}\,\mathrm{d}O$ wird mit dem Mittelwert eine Punkt-Aussage. Teile durch $\operatorname{vol}(\Delta V)$ und schicke das Volumen auf null:

In Worten: die Divergenz an $\mathbf{r}_0$ ist der Limes des Flusses aus einer schrumpfenden Hülle um $\mathbf{r}_0$, dividiert durch das eingeschlossene Volumen. „Fluss pro Volumen an dieser Stelle“. Damit hat das vorher abstrakte $\nabla \cdot \mathbf{v}$ eine geometrische Bedeutung, die nicht von Koordinaten abhängt.

3.4 Koordinatenfreiheit

Die Limes-Definition aus 3.3 hat einen tiefen Vorteil: in ihr taucht kein Koordinatensystem auf. Volumen, Hülle, Aussennormale, Skalarprodukt, alles geometrisch definiert ohne Bezug auf $x$, $y$, $z$. Folge: die Divergenz ist eine intrinsische Grösse des Vektorfelds, keine Eigenschaft der gewählten Koordinaten.

Konkret: wenn $(\xi, \eta, \zeta)$ ein anderes kartesisches Koordinatensystem ist und $\tilde{\mathbf{v}}$ das Vektorfeld in diesen Koordinaten, dann gilt $\nabla \cdot \tilde{\mathbf{v}} = \tilde{v}_{1,\xi} + \tilde{v}_{2,\eta} + \tilde{v}_{3,\zeta} = v_{1,x} + v_{2,y} + v_{3,z} = \nabla \cdot \mathbf{v}$. Die Zahl an einem Punkt ist in jedem kartesischen System dieselbe.

4.1 Drei Begriffe und ihre Anschauung

Die geometrische Lesart aus Section 3 macht drei klassische Bezeichnungen natürlich. An einem Punkt $P_0$ heisst $\mathbf{v}$:

Quelle, wenn $\nabla \cdot \mathbf{v}(P_0) > 0$. Anschaulich: aus einer kleinen Hülle um $P_0$ tritt mehr Strömung aus, als rein. Etwas wird im Punkt erzeugt; ein Sprudel im Wasserbecken.

Senke, wenn $\nabla \cdot \mathbf{v}(P_0) < 0$. Anschaulich umgekehrt: in eine kleine Hülle um $P_0$ läuft mehr ein als raus. Etwas verschwindet im Punkt; ein Abfluss.

Quellenfrei heisst das ganze Vektorfeld auf einem Gebiet $D$, wenn $\nabla \cdot \mathbf{v} \equiv 0$ auf $D$. Keine Quellen, keine Senken: alles, was reinläuft, läuft auch wieder raus. Bekannte Beispiele aus der Physik: das Magnetfeld $\mathbf{B}$ ist quellenfrei (eine der Maxwell-Gleichungen, $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$); inkompressible Strömungen sind quellenfrei.

4.2 Erste Konsequenz: Φ = 0 auf jedem Rand

Was sagt der Divergenzsatz, wenn $\mathbf{v}$ quellenfrei auf $V \subset D(\mathbf{v})$ ist? Die rechte Seite verschwindet, weil der Integrand überall null ist. Also auch die linke Seite:

Anschaulich gelesen: was nicht produziert oder verschluckt wird im Inneren, kann auch nicht netto durch die Hülle. Bei einem quellenfreien Vektorfeld ist der Fluss durch jeden geschlossenen Rand null. Egal wie kompliziert die Hülle aussieht, egal wie das Feld an der Hülle gerade strudelt.

4.3 Zweite Konsequenz: gleicher Rand → gleicher Fluss

Stell dir zwei verschiedene Flächen $S_1$ und $S_2$ vor, die denselben Rand haben (also $\partial S_1 = \partial S_2$ als Kurve im Raum). $S_1$ wölbt sich nach oben wie eine Halbkugelschale, $S_2$ ist flach wie ein Deckel. Dazwischen liegt ein abgeschlossenes Volumen $V_{1,2}$.

Wenn $\mathbf{v}$ quellenfrei auf $V_{1,2}$ ist, dann gilt $\Phi_{S_1} = \Phi_{S_2}$. Die genaue Form der Fläche ist egal, nur ihr Rand zählt. Das ist die topologische Tiefe des Divergenzsatzes.

4.4 Allgemeiner Fall: Flussdifferenz

Wenn $\mathbf{v}$ nicht quellenfrei ist, verschwindet das Volumenintegral nicht. Stattdessen wächst der Fluss durch $S_2$ (verglichen mit dem durch $S_1$, gemessen in derselben Richtung) gerade um das Volumenintegral der Divergenz im Bereich dazwischen:

Das ist die exakte 3D-Version des Hauptsatzes der Analysis. Funktion wächst um $\int f'$, Fluss wächst um $\iiint \nabla \cdot \mathbf{v}$. Quellen im Volumen drücken den Fluss nach oben, Senken ziehen ihn runter. Der quellenfreie Spezialfall aus 4.3 fällt sofort als Sonderfall raus: $\nabla \cdot \mathbf{v} \equiv 0$ macht die rechte Seite null, also $\Phi_{S_1} = \Phi_{S_2}$.

5.1 Übersicht: die fünf Standard-Volumen

In Klausur-Aufgaben tauchen immer wieder dieselben Volumen auf: Quader, Vollkugel, Halbkugel, Vollzylinder, Kegel. Die Tabelle hier listet für jedes das Volumeninhalt $\operatorname{vol}$ und die Zerlegung der Hülle $\partial V$ auf einen Blick. Die folgenden Subsections holen jede Geometrie einzeln raus mit Bereichen, $\mathrm{d}V$-Element und Aussennormalen.

5.2 Vollkugel

Geometrie. Vollkugel $K$ mit Radius $R$ um den Ursprung. Hülle $\partial K$ ist die Sphäre mit Radius $R$. Aussennormale auf der Sphäre zeigt radial nach aussen, $\mathbf{n} = \hat{\mathbf{r}}$.

Wann lohnt's sich. Wenn $\nabla \cdot \mathbf{v}$ konstant oder einfach radial ist, wird das Volumenintegral in Kugelkoord. fast geschenkt. Beispiel: $\nabla \cdot \mathbf{v} = c$ konstant ergibt direkt $\iiint_K c\,\mathrm{d}V = c \cdot \tfrac{4}{3}\pi R^3$. Eine Zeile, fertig.

5.3 Quader

Geometrie. Quader $V = [a,b]\times[c,d]\times[e,f]$. Hülle besteht aus sechs Rechtecken, jedes parallel zu einer Koordinatenebene. Die Aussennormalen sind konstant pro Wand: $\pm \hat{\mathbf{e}}_x$, $\pm \hat{\mathbf{e}}_y$, $\pm \hat{\mathbf{e}}_z$.

Wann lohnt's sich. Volumenintegral in kartesischen Koord. ist ein dreifach iteriertes Integral, oft separabel. Der Beweis des Divergenzsatzes wurde übrigens für genau diesen Fall geführt (siehe Mitschrift S. 20): mit dem Hauptsatz der Analysis I auf jede der drei Komponenten, gefolgt von der Identifikation der Randterme als Flussintegrale über die sechs Wände.

5.4 Halbkugel-Vollkörper

Geometrie. Obere Halbkugel $K_+$ mit Radius $R$ um den Ursprung: $\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2,\, z \geq 0\}$. Hülle besteht aus zwei Stücken: die obere Sphärenkappe $S$ ($x^2+y^2+z^2 = R^2$, $z \geq 0$) und die Kreisscheibe $D$ in der $xy$-Ebene mit Radius $R$.

Aussennormalen. Auf $S$: radial nach aussen, $\mathbf{n} = \hat{\mathbf{r}}$. Auf $D$: nach unten weg vom Volumen, also $\mathbf{n} = -\hat{\mathbf{e}}_z$. Letzteres wird in Klausuren gerne falsch gemacht; merke dir: „aussen“ bezieht sich auf weg vom Volumen, nicht auf eine globale Richtung.

Wann lohnt's sich. Klassischer Schliess-Trick (Section 2.2): Aufgaben fragen oft nur nach dem Fluss durch die obere Halbkugelschale $S$ alleine. Strategie: ergänze um die Bodenscheibe $D$ zum Vollkörper $K_+$, wende Divergenzsatz auf $K_+$ an, ziehe am Schluss den Bodenfluss ab.

5.5 Vollzylinder mit Deckeln

Geometrie. Vollzylinder $V$ mit Radius $R$ und Höhe $h$, achsen-zentriert: $\{(x,y,z) : x^2 + y^2 \leq R^2,\, 0 \leq z \leq h\}$. Hülle besteht aus drei Stücken: dem Mantel $M$ ($x^2+y^2 = R^2$, $0 \leq z \leq h$), dem oberen Deckel $D_o$ ($x^2+y^2 \leq R^2$, $z = h$), dem unteren Boden $D_u$ ($x^2+y^2 \leq R^2$, $z = 0$).

Aussennormalen. Mantel: radial nach aussen, $\mathbf{n} = (\cos\varphi, \sin\varphi, 0)$. Oberer Deckel: nach oben, $\mathbf{n} = +\hat{\mathbf{e}}_z$. Unterer Boden: nach unten, $\mathbf{n} = -\hat{\mathbf{e}}_z$.

Wann lohnt's sich. Genauso wie bei der Halbkugel: bei „Zylindermantel ohne Deckel“-Aufgaben ergänzt du die zwei Kreisscheiben, wendest den Divergenzsatz auf den vollen Zylinder an, ziehst am Schluss die Deckel-Flüsse ab.

5.6 Kegel-Vollkörper

Geometrie. Stehender Kegel mit Spitze unten in $\mathbf{0}$ und kreisrundem Boden bei $z = h$ vom Radius $R$ (oder die analoge Bauart mit Spitze oben). Hülle besteht aus zwei Stücken: dem Mantel $M$ und der Bodenkreisscheibe $D$ bei $z = h$.

Aussennormalen. Auf $D$ (Boden oben): $\mathbf{n} = +\hat{\mathbf{e}}_z$ (weg vom Volumen, das unterhalb liegt). Auf dem Mantel: schräg nach aussen weg von der Achse (siehe VI.4 Section 5.6).

Wann lohnt's sich. Bei „Kegelmantel ohne Boden“-Aufgaben dieselbe Schliess-Strategie: Bodenscheibe ergänzen, Divergenzsatz auf den vollen Kegel, Bodenfluss separat. Volumenintegral in Zylinderkoord. mit $\rho \leq z R/h$.

6.1 Drei klassische Strategien

Bevor du eine Hülle parametrisierst, frag dich: ist der Divergenzsatz die schnellere Route? Drei wiederkehrende Konstellationen, in denen die Antwort fast immer ja lautet:

Strategie 1: Geschlossen + Divergenz einfach. Ist $S = \partial V$ eine geschlossene Hülle UND ist $\nabla \cdot \mathbf{v}$ konstant oder null oder eine einfache Funktion? Dann direkt Divergenzsatz, fertig. Volumenintegral in Standard-Koord. (Section 5). Bei $\nabla \cdot \mathbf{v} = c$ ist das Resultat sogar $c \cdot \operatorname{vol}(V)$, ohne explizite Integration.

Strategie 2: Offen + leicht zu schliessen. Ist $S$ offen (Halbkugelschale, Kegelmantel, Zylindermantel ohne Deckel), aber durch eine ebene Fläche zum Vollkörper schliessbar? Dann: Hilfsstück $S_H$ wählen (typisch eine Kreisscheibe in einer Koord.-Ebene), Divergenzsatz auf das resultierende Volumen $V$ anwenden, Bodenfluss separat berechnen, am Ende $\Phi_S = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{v}\,\mathrm{d}V - \Phi_{S_H}$.

Strategie 3: Singularität in $V$. Hat $\mathbf{v}$ einen Punkt im Inneren, an dem es nicht definiert oder nicht differenzierbar ist (klassisch das Coulombfeld bei $\mathbf{0}$)? Dann ist der Divergenzsatz nicht direkt anwendbar (siehe 2.1). Saubere Lösung: kleine Hilfskugel um die Singularität ausschneiden, Divergenzsatz auf den durchlöcherten Bereich anwenden. Der Hilfskugel-Fluss ist beim Coulombfeld $4\pi C e$ und in vielen anderen Fällen leicht zu rechnen. Vollständige Ausarbeitung in Kap. VI.6.

6.2 Drei Stolperfallen

Stolperfalle 1: Hilfsstück-Normale verkehrt. Bei Strategie 2 zeigt die Aussennormale auf dem Hilfsstück $S_H$ in die entgegengesetzte Richtung wie auf der Originalfläche $S$. Grund: $\mathbf{n}$ auf $\partial V$ zeigt immer vom Volumen weg. Beispiel Halbkugelschale: $\mathbf{n}$ auf $S$ ist nach oben/aussen ($\hat{\mathbf{r}}$), $\mathbf{n}$ auf der Bodenscheibe ist nach unten ($-\hat{\mathbf{e}}_z$), nicht nach oben.

Stolperfalle 2: Singularität übersehen. Bei jedem Vektorfeld, das aus einer Punktquelle kommt (Coulomb $1/r^2$, Gravitation, hydrodynamischer Sprudel, magnetischer Monopol), zuerst den Definitionsbereich prüfen. Liegt $\mathbf{0}$ im Volumen? Wenn ja: Divergenzsatz nicht direkt, sondern über die Hilfskugel-Konstruktion (VI.6). Eine Pauschal-Anwendung würde $\Phi = 0$ ergeben, was gegen die explizite Rechnung $\Phi = 4\pi Ce$ verstösst.

Stolperfalle 3: Quellenfreiheit nicht ausnutzen. Wenn $\nabla \cdot \mathbf{v} \equiv 0$, ist das Volumenintegral wirklich null. Klingt trivial, wird aber regelmässig vergessen, wenn die Aufgabe nicht prominent „quellenfrei“ sagt. Berechne die Divergenz immer als ersten Schritt, bevor du an Hülle und Parametrisierung denkst. Wenn rauskommt $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$, bist du in zwei Zeilen fertig.

7.1 Vier klassische Anwendungen

Der Divergenzsatz ist nicht nur ein Rechen-Trick für Klausur-Aufgaben. Er ist das Werkzeug, mit dem man integrale Erhaltungssätze in differenzielle Gleichungen umwandelt. In Kap. VI.6 schauen wir uns vier klassische Anwendungen an, jede ein Eckpfeiler einer ganzen Disziplin der Physik:

(1) Kontinuitätsgleichung der Hydrodynamik. Aus „Masse wird weder erzeugt noch vernichtet“ wird mit dem Divergenzsatz die lokale Bilanzgleichung $\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho\,\mathbf{u}) = 0$, wobei $\rho$ die Massendichte und $\mathbf{u}$ die Strömungsgeschwindigkeit ist.

(2) Wärmeleitungsgleichung. Aus Energieerhaltung und dem Fourier-Gesetz $\mathbf{q} = -k\,\nabla T$ folgt die berühmte Wärmeleitungsgleichung $\partial_t T = a^2\,\Delta T$, mit $\Delta = \nabla \cdot \nabla$ dem Laplace-Operator.

(3) Grundgleichung der Elektrostatik. Aus dem Coulomb-Fluss durch eine Gauss-Hülle und einer Ladungsdichte $\rho$ folgt $\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ (eine der vier Maxwell-Gleichungen). Der Übergang von Hülle zu Volumen erfolgt direkt durch den Divergenzsatz.

(4) Hydrostatischer Auftrieb (Archimedes). Aus dem Druckintegral über die Hülle eines eingetauchten Körpers folgt $\mathbf{F} = -\rho_{\text{flu}}\,g\,V\,\hat{\mathbf{e}}_z$. Auftriebskraft ist gleich Gewicht der verdrängten Flüssigkeit, exakt das archimedische Prinzip.

7.2 Das gemeinsame Schema

Alle vier Anwendungen folgen demselben Muster, das es sich lohnt, jetzt schon zu kennen:

Schritt 1. Eine integrale Erhaltungsaussage formulieren: „Die Änderungsrate von etwas (Masse, Energie, Ladung) im Volumen $V$ ist gleich dem Fluss von etwas durch die Hülle $\partial V$, plus eventuelle Quellterme im Inneren.“

Schritt 2. Den Fluss $\iint_{\partial V} \ldots\,\mathrm{d}O$ mit dem Divergenzsatz in ein Volumenintegral $\iiint_V \nabla \cdot (\ldots)\,\mathrm{d}V$ verwandeln.

Schritt 3. Argumentieren, dass die resultierende Gleichung für jedes Volumen $V$ gelten muss. Das geht nur, wenn die Integranden punktweise gleich sind. Daraus folgt eine differenzielle Gleichung ohne Integrale.

Beispiel. Bei Hydrodynamik: aus $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iiint_V \rho\,\mathrm{d}V = -\iint_{\partial V} \rho\,\mathbf{u} \cdot \mathbf{n}\,\mathrm{d}O$ wird $\iiint_V (\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho\,\mathbf{u}))\,\mathrm{d}V = 0$, und weil das für jedes $V$ gelten muss, folgt $\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho\,\mathbf{u}) = 0$ punktweise. Das ist die Kontinuitätsgleichung.

Aufgaben mit Musterlösungen

Übungsaufgaben werden in Kürze ergänzt.

Die Aufgaben für dieses Kapitel werden in einer zukünftigen Version ergänzt.