VI.2 Differentialoperatoren

1.1 Definition

Sei $f: D \subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ ein differenzierbares Skalarfeld. Der Gradient $\operatorname{grad} (f)$ ordnet jedem Punkt $\vec{r} \in D$ den Vektor der ersten partiellen Ableitungen zu. Das Resultat ist ein Vektorfeld auf demselben Definitionsbereich $D$.

Drei in Vorlesung und Prüfung übliche Schreibweisen sind im Umlauf. Sie beschreiben dasselbe mathematische Objekt; je nach Kontext ist eine Variante ausdrucksstärker als eine andere. Die koordinatenfreie Form mit dem Nabla-Operator $\vec{\nabla}$ ist kompakt und transformiert elegant unter Identitäten wie $\operatorname{rot}(\operatorname{grad} (f)) = \vec{0}$. Die Komma-Notation $f_{,i}$ schreibt sich kurz und passt zur Einsteinschen Summenkonvention der Tensorrechnung. Die explizite Komponentenform ist diejenige, mit der man konkret rechnet, wenn $f$ ausgeschrieben gegeben ist.

1.2 Geometrische Bedeutung

Der Gradient $\operatorname{grad} (f(\vec{r}))$ zeigt am Punkt $\vec{r}$ in Richtung des steilsten Anstiegs von $f$. Sein Betrag $|\operatorname{grad} (f(\vec{r}))|$ misst die Änderungsrate von $f$ längs dieser Richtung. Diese geometrische Lesart liefert das pädagogische Bild der Höhenkarte: $f$ ist die Höhe, die Niveaulinien $\{f = \text{const}\}$ sind die Isohypsen, und der Gradient zeigt orthogonal zur Höhenlinie bergauf.

Aus dieser Lesart folgt direkt eine zentrale Eigenschaft: der Gradient steht senkrecht auf den Niveaulinien (im $\mathbb{R}^2$) beziehungsweise Niveauflächen (im $\mathbb{R}^3$). Algebraisch sieht man das aus der Definition der Niveaumenge: längs einer Niveaulinie ändert sich $f$ nicht, also ist die Richtungsableitung längs der Tangente null, und das Skalarprodukt von Gradient und Tangentenvektor verschwindet.

Wo Niveaulinien dicht beieinander liegen, ist der Gradient gross (steiler Anstieg). Wo sie weit auseinanderlaufen, ist der Gradient klein (flacher Anstieg). Das Bild von Wetterkarten mit Isobaren ist deshalb auch unmittelbar das Bild des Druckgradienten: starke Druckänderung bedeutet enge Isobaren bedeutet starker Wind.

1.3 Gradientenfeld

Das Vektorfeld $\operatorname{grad} (f)$ heisst Gradientenfeld von $f$. Es ist ein konkretes Vektorfeld, dessen Komponenten am Punkt $\vec{r}$ aus den partiellen Ableitungen von $f$ am gleichen Punkt entstehen. Damit wird die Brücke zwischen den beiden zentralen Begriffen aus VI.1 geschlagen: aus einem Skalarfeld entsteht durch Anwendung des Gradient-Operators ein Vektorfeld.

Vektorfelder, die als Gradientenfeld eines Skalarfelds geschrieben werden können, heissen konservativ. Sie haben besondere Eigenschaften: ihre Feldlinien laufen senkrecht zu den Niveauflächen des erzeugenden Skalarfelds, und sie sind wirbelfrei in dem Sinne, dass $\operatorname{rot}(\operatorname{grad} (f)) = \vec{0}$ überall gilt (siehe Abschnitt 5.2). Das physikalische Standardbeispiel ist das elektrische Feld $\vec{E} = -\operatorname{grad}\varphi$ aus dem elektrostatischen Potential $\varphi$ in Kap. 2.

Der Gradient ist ein Operator: er nimmt eine Funktion (Skalarfeld $f$) und liefert eine andere Funktion (Vektorfeld $\operatorname{grad} (f)$). Diese Sichtweise wird im weiteren Verlauf wichtig, weil sich Operatoren verketten lassen: $\operatorname{div}\operatorname{grad} (f) = \Delta f$ ist der Laplace-Operator (Abschnitt 4).

2.1 Definition

Die Divergenz $\operatorname{div}\left( \vec{v} \right)$ eines Vektorfelds $\vec{v}$ ist die Spur der Jacobimatrix von $\vec{v}$. Konkret: die Summe der partiellen Ableitungen jeder Komponente $v_i$ nach derselben Variablen $x_i$. Das Resultat ist ein Skalarfeld, also eine Zahl an jedem Ort.

Wie beim Gradienten gibt es drei in Vorlesung und Prüfung übliche Schreibweisen für dieselbe Definition. Die Notation $\vec{\nabla} \cdot \vec{v}$ macht deutlich, dass die Divergenz die formale Skalarprodukt-Anwendung des Nabla-Operators auf das Vektorfeld ist. Die Index-Komma-Form $v_{i,i}$ macht die Einsteinsche Summenkonvention explizit. Die Komponentenform ist diejenige, mit der man konkret rechnet.

2.2 Geometrische Bedeutung

Die Divergenz misst die infinitesimale Quellstärke eines Vektorfelds an einem Punkt. Anschaulich: wieviel Feld pro Volumeneinheit aus einem winzigen Volumen um den Punkt herausströmt minus wieviel hineinströmt. Eine positive Divergenz signalisiert eine Quelle, eine negative eine Senke. Verschwindet die Divergenz überall, heisst das Feld quellenfrei.

Die exakte Brücke von der lokalen Divergenz zum globalen Fluss durch eine Hülle liefert der Satz von Gauss (Kap. VI.5). Lokal ist die Divergenz definitorisch eine Summe partieller Ableitungen; integriert über ein Volumen entspricht sie dem Nettofluss durch dessen Oberfläche.

Standardbeispiele: das Feld $\vec{v}(\vec{r}) = \vec{r}$ hat $\operatorname{div}\left( \vec{v} \right) = 3$ (homogene Quelle, jeder Punkt wirkt wie eine konstante Quelldichte). Das Wirbelfeld $\vec{v}(x, y) = (-y, x)$ hat $\operatorname{div}\left( \vec{v} \right) = 0$ (reine Rotation, keine Quellen). Das Coulombfeld einer Punktladung hat $\operatorname{div}\left( \vec{E} \right) = 0$ überall ausser am Ursprung selbst (Singularität, siehe Abschnitt 2.3).

2.3 Beispiele

Homogenes Feld. Für $\vec{v}(\vec{r}) = \vec{a}$ mit konstantem $\vec{a} \in \mathbb{R}^3$ ist jede partielle Ableitung null, also $\operatorname{div}\left( \vec{v} \right) \equiv 0$. Ein konstantes Feld hat keine Quellen und keine Senken.

Rotationsfeld. Für $\vec{v}(\vec{r}) = \boldsymbol{\omega} \times \vec{r}$ ergeben die drei partiellen Ableitungen $v_{1,x} = 0$, $v_{2,y} = 0$, $v_{3,z} = 0$ (jede Komponente hängt nicht von ihrer eigenen Variable ab), also $\operatorname{div}\left( \vec{v} \right) \equiv 0$. Reine Rotation ist quellenfrei.

Coulombfeld. Das elektrische Feld $\vec{E}(\vec{r}) = \frac{\gamma e}{r^3}\,\vec{r}$ einer Punktladung $e$ im Ursprung erfüllt $\operatorname{div}\left( \vec{E} \right) = 0$ überall ausser am Ursprung. Die explizite Rechnung benutzt die Quotientenregel: $\partial E_1 / \partial x = \gamma e \cdot (r^2 - 3 x^2) / r^5$ und analog für die anderen Komponenten. Aufaddiert ergibt sich $\operatorname{div}\left( \vec{E} \right) = \gamma e \cdot (3 r^2 - 3 x^2 - 3 y^2 - 3 z^2) / r^5 = 0$. Am Ursprung selbst ist das Feld nicht definiert (Singularität); der Satz von Gauss liefert dort eine Delta-Distribution.

Magnetfeld eines geraden Leiters. Mit $\vec{B}(\vec{r}) = (2J / (x^2 + y^2)) \cdot (-y, x, 0)^\top$ ergibt eine analoge Rechnung $\operatorname{div}\vec{B} = 0$ ausserhalb der z-Achse. Die Quellenfreiheit des Magnetfelds ist eine der Maxwellgleichungen (siehe Kap. 3 Magnetfeld).

Hagen-Poiseuille. Das Strömungsfeld $\vec{v}(\vec{r}) = (0, 0, C(a^2 - x^2 - y^2))^\top$ einer laminaren Rohrströmung erfüllt $\operatorname{div}\left( \vec{v} \right) = 0$, weil keine Komponente von der eigenen Koordinate abhängt. Konsistent mit der Inkompressibilität des Mediums.

3.1 Definition

Die Rotation $\operatorname{rot}\left( \vec{v} \right)$ eines Vektorfelds ist das formale Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit dem Feld. Resultat ist wieder ein Vektorfeld auf demselben Definitionsbereich; im Gegensatz zur Divergenz, die einen Skalar liefert.

Auch hier sind drei Notations-Varianten gebräuchlich. Die koordinatenfreie Form $\vec{\nabla} \times \vec{v}$ macht die Antisymmetrie sichtbar (Kreuzprodukt antikommutiert). Die Index-Komma-Form mit dem Levi-Civita-Symbol $\varepsilon_{ijk}$ zeigt die Antisymmetrie explizit. Die Komponenten-Form ist diejenige, mit der man konkret rechnet.

3.2 Geometrische Bedeutung

Die Rotation misst die infinitesimale Wirbelstärke eines Vektorfelds an einem Punkt. Anschaulich: stelle ein winziges Paddel-Rad in das Feld; sein Drehverhalten gibt Richtung und Betrag der lokalen Rotation an. Die Achse des Rads richtet sich nach $\operatorname{rot}\left( \vec{v} \right)$, die Drehrate ist proportional zu $|\operatorname{rot}\left( \vec{v} \right)|/2$.

Im $\mathbb{R}^2$ hat ein Vektorfeld nur einen relevanten Rotationsanteil: die z-Komponente $(\operatorname{rot}\left( \vec{v} \right))_z = \partial v_2 / \partial x - \partial v_1 / \partial y$. Sie ist positiv für Wirbel im Gegenuhrzeigersinn (rechte-Hand-Regel mit Daumen aus der Bildebene heraus), negativ im Uhrzeigersinn. Verschwindet die Rotation überall, heisst das Feld wirbelfrei.

Die exakte Brücke von der lokalen Rotation zur globalen Zirkulation um eine Schleife liefert der Satz von Stokes (Kap. VI.8). Lokal ist die Rotation definitorisch eine Differenz partieller Ableitungen; integriert über ein Flächenstück entspricht sie der Zirkulation um den Rand.

3.3 Beispiele

Homogenes Feld. Für $\vec{v}(\vec{r}) = \vec{a}$ mit konstantem $\vec{a}$ verschwinden alle partiellen Ableitungen, also $\operatorname{rot}\left( \vec{v} \right) \equiv \vec{0}$. Ein homogenes Feld ist wirbelfrei.

Rotationsfeld. Für $\vec{v}(\vec{r}) = \boldsymbol{\omega} \times \vec{r}$ mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\boldsymbol{\omega}$ ergibt die explizite Rechnung $\operatorname{rot}\left( \vec{v} \right) = 2\,\boldsymbol{\omega}$. Die Rotation des Rotationsfelds ist also doppelt so gross wie die zugehörige Winkelgeschwindigkeit. Das ist die mathematische Begründung für den Faktor 2 im Paddle-Rad-Bild.

Coulombfeld. Direkte Komponentenrechnung liefert $\operatorname{rot}\left( \vec{E} \right) = \vec{0}$ für $\vec{r} \neq \vec{0}$. Das radiale $1/r^2$-Feld ist wirbelfrei. Konsistent mit der Tatsache, dass $\vec{E}$ als Gradientenfeld $\vec{E} = -\operatorname{grad}\varphi$ darstellbar ist (siehe rot grad = 0 in 5.2).

Magnetfeld eines geraden Leiters. Hier wird es interessant: $\operatorname{rot}\left( \vec{B} \right)= \vec{0}$ überall ausser auf der z-Achse, wo das Feld singulär ist. Globalmässig (Linienintegral um den Leiter herum) liefert das Ampèresche Gesetz $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$. Im Sinne von Distributionen gilt $\operatorname{rot}\left( \vec{B} \right)= \mu_0 \vec{J}$ (Maxwell-Gleichung).

4.1 Laplace-Operator

Der Laplace-Operator $\Delta$ ist die Verkettung aus Gradient und Divergenz: $\Delta f = \operatorname{div}\operatorname{grad} (f)$. Wendet man $\operatorname{grad}$ auf ein Skalarfeld $f$ an, entsteht ein Vektorfeld; wendet man darauf $\operatorname{div}$ an, entsteht wieder ein Skalarfeld. Resultat ist die Spur der Hesse-Matrix von $f$, also die Summe der zweiten partiellen Ableitungen.

Der Laplace-Operator taucht in nahezu jeder Differentialgleichung der Physik auf: Wärmeleitung ($\partial_t u = D\,\Delta u$), Wellengleichung ($\partial_t^2 u = c^2\,\Delta u$), Poisson-Gleichung der Elektrostatik ($\Delta\varphi = -\rho / \varepsilon_0$), stationäre Schrödinger-Gleichung mit kinetischem Term $-\hbar^2/(2m)\,\Delta\psi$. Funktionen mit $\Delta f = 0$ heissen harmonisch.

Drei Notations-Varianten parallel zu Gradient und Divergenz: koordinatenfrei mit $\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \vec{\nabla}^2$, Index-Komma als $f_{,ii}$, Komponenten als Summe der reinen zweiten Ableitungen.

4.2 Operator-Diagramm

Die Differentialoperatoren bilden ein zusammenhängendes Diagramm. Skalarfelder und Vektorfelder sind die zwei Funktionsklassen; die Operatoren sind die Pfeile dazwischen.

Aus dem Diagramm ergeben sich die natürlichen Verkettungen. Aus einem Skalarfeld kann man durch grad ein Vektorfeld machen, dann durch div wieder ein Skalarfeld; das ist der Laplace. Aus einem Vektorfeld kann man durch rot ein neues Vektorfeld machen; aus dem wieder durch div einen Skalar (immer 0, siehe 5.1) oder durch rot ein neues Vektorfeld. Aus einem Skalar durch grad und dann rot wieder ein Vektor (immer $\vec{0}$, siehe 5.2).

5.1 div rot v = 0

Für jedes zweimal stetig differenzierbare Vektorfeld $\vec{v}$ gilt $\operatorname{div}(\operatorname{rot}\left( \vec{v} \right)) = 0$. Die Identität ist eine direkte Folge der Vertauschbarkeit gemischter partieller Ableitungen (Satz von Schwarz). In Index-Komma-Notation sieht man das schnell: $\operatorname{div}(\operatorname{rot}\left( \vec{v} \right)) = \partial_i (\varepsilon_{ijk}\,v_{k,j}) = \varepsilon_{ijk}\,v_{k,ji}$. Der Levi-Civita-Tensor ist antisymmetrisch in $i, j$; die zweite Ableitung $v_{k,ji}$ ist symmetrisch in $i, j$. Antisymmetrisch mal symmetrisch summiert ergibt null.

Konsequenz: jedes Vektorfeld der Form $\vec{B} = \operatorname{rot}\vec{A}$ ist quellenfrei. In der Elektrodynamik ist das die Begründung für $\operatorname{div}\vec{B} = 0$ (Maxwell-Gleichung): das Magnetfeld besitzt überall ein Vektorpotential $\vec{A}$ mit $\vec{B} = \operatorname{rot}\vec{A}$, also automatisch $\operatorname{div}\vec{B} = 0$.

5.2 rot grad f = 0

Für jedes zweimal stetig differenzierbare Skalarfeld $f$ gilt $\operatorname{rot}(\operatorname{grad} (f)) = \vec{0}$. Die Begründung ist analog zu 5.1: in Komponenten ist die i-te Komponente der Rotation eines Gradienten $\varepsilon_{ijk}\,(f_{,k})_{,j} = \varepsilon_{ijk}\,f_{,kj}$. Antisymmetrisch in $j, k$ mal symmetrisch in $j, k$ ergibt null.

Konsequenz: jedes Gradientenfeld $\vec{F} = \operatorname{grad}\varphi$ ist wirbelfrei. Aus geometrischer Sicht: das Skalarfeld $\varphi$ definiert Niveauflächen; der Gradient steht senkrecht auf diesen Flächen; ein lokales Drehen wäre nur möglich, wenn die Niveauflächen sich kreuzen, was bei einem wohldefinierten $\varphi$ unmöglich ist.

Auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet gilt sogar die Umkehrung: jedes wirbelfreie Vektorfeld besitzt ein Potential. Das ist die Brücke zur Theorie konservativer Kräfte und zum Hauptsatz für Kurvenintegrale.

5.3 Numerische Verifikation

Die beiden Identitäten lassen sich numerisch sichtbar machen, indem man jeweils das Resultat des verketteten Operators auf einem Gitter auswertet. Erwartung: das Resultat ist nicht exakt null (zentrale Differenzen führen Rundungsfehler ein), aber um Grössenordnungen kleiner als das Zwischen-Resultat. Genau das macht die folgende Figur sichtbar: Panel C ist das Resultat-Panel und erscheint nahezu uniform in der Mittel-Farbe der Palette.

Im Modus div(rot v) zeigt Panel A die Feldgrösse $|\vec{v}|$, Panel B die Rotation $(\operatorname{rot}\vec{v})$, Panel C den Laplace von $(\operatorname{rot}\vec{v})$, der als Proxy für das zweite Verkettungsresidual steht. Im Modus rot(grad f) zeigt Panel A das Skalarfeld $f$, Panel B den Gradienten $|\operatorname{grad} f|$, Panel C die numerisch berechnete Rotation des Gradienten. Beide Panel-C-Heatmaps zeigen nahezu uniform die Null-Farbe der Palette.

Aufgaben mit Musterlösungen

Übungsaufgaben werden in Kürze ergänzt.

Die Aufgaben für dieses Kapitel werden in einer zukünftigen Version ergänzt.