“But still try, for who knows what is possible.”
— Michael Faraday
Alles beginnt mit der Wechselwirkung zweier Punktladungen. Zwei Ladungen und im Abstand üben aufeinander die Coulomb-Kraft aus; dabei ist der Einheitsvektor von der Quelle zur zweiten Ladung. Gleiche Vorzeichen stossen sich ab (positives in Richtung ), ungleiche ziehen sich an.
Statt für jede Testladung einzeln die Coulomb-Summe auszuwerten, führt man das elektrische Feld ein. Das Feld ist eine Eigenschaft des Raumes, unabhängig davon, ob gerade eine Probeladung vorliegt. Eine Ladung im Feld erfährt automatisch die Kraft . Per Konvention zeigt in die Richtung, in die eine positive Probeladung gedrückt würde.
Die Feldstärke misst die Kraft pro Einheitsladung. Einheit: . Für eine einzelne Punktladung folgt aus Coulomb : radial nach aussen für , einwärts für .
Sind mehrere Ladungen gleichzeitig vorhanden, addieren sich ihre Felder vektoriell. Dieses Superpositionsprinzip ist linear in den Quellen und reduziert das N-Ladungs-Problem auf N Einzelrechnungen, die anschliessend vektoriell summiert werden. Bei kontinuierlichen Verteilungen geht die Summe in ein Integral über (siehe 2.1.8 für einen geladenen Ring).
Feldlinien veranschaulichen den Feldverlauf grafisch. Sie starten auf positiven und enden auf negativen Ladungen, stehen senkrecht auf Leiteroberflächen, und ihre Dichte ist proportional zu . Feldlinien schneiden sich nie; sonst wäre die Feldrichtung am Schnittpunkt mehrdeutig.
Für eine negative Ladung kehrt sich die Feldrichtung um: die Feldlinien enden auf der Ladung statt von ihr auszugehen. Der Betrag ist identisch zur positiven Ladung gleicher Stärke. Eine positive Probeladung wird angezogen ( zeigt zur Ladung).
Sitzt eine starke Ladung nicht im Koordinatenursprung, strahlt das Feld radial von der Ladungsposition aus. Die -Abhängigkeit gilt relativ zur Ladung, nicht zum Ursprung. Dreifache Ladung erzeugt dreifache Feldstärke.
Der Satz von Gauss verknüpft den elektrischen Fluss durch eine beliebige geschlossene Fläche mit der von dieser Fläche eingeschlossenen Ladung . Zentrale Aussage: der Fluss ist proportional zur eingeschlossenen Ladung, unabhängig von Form, Grösse oder Lage der Fläche.
Der elektrische Fluss durch eine Fläche ist definiert als das Flächenintegral . Hierbei ist einfach die Feldkomponente, die senkrecht (normal) zur Fläche steht. Nur dieser Anteil trägt zum Fluss bei. Anschaulich zählt der elektrische Fluss die Anzahl Feldlinien, die durch die Fläche treten, wobei Pfeilrichtung und Flächennormale ein Vorzeichen festlegen.
Warum gilt Gauss? Aus dem -Abfall einer Punktladung folgt, dass die Dichte der Feldlinien auf einer Kugelschale um die Ladung liegt, während die Schalenfläche wächst. Die beiden Potenzen heben sich gegenseitig auf, so dass die Gesamtzahl der Linien durch jede geschlossene Hülle um die Ladung gleich bleibt. Für eine Kugel vom Radius um liefert der Test direkt , genau die Gauss-Aussage.
Praktisch nützt Gauss nur, wenn die Symmetrie so stark ist, dass auf der gewählten Gauss-Fläche konstant oder überall Null ist; dann fällt das Integral auf eine Multiplikation zusammen.
Befinden wir uns nicht im Vakuum, sondern in Materie (einem Dielektrikum), wird die Situation etwas komplexer: Das Material reagiert auf das elektrische Feld und baut ein eigenes, abschwächendes Gegenfeld auf (Polarisation). Um die Rechnungen trotzdem einfach zu halten, führt man die elektrische Verschiebungsflussdichte ein. Sie verknüpft das E-Feld mit den Materialeigenschaften (der relativen Permittivität ) und lässt sich formulieren als . Der grosse Vorteil des -Feldes (Einheit C/m²) ist, dass man bei der Anwendung des Satzes von Gauss nur noch die echten, "freien" Ladungen betrachten muss und die komplexe Polarisation des Materials in der Konstante "versteckt" ist.
Die Spannung zwischen zwei Punkten und ist das Wegintegral des elektrischen Feldes entlang eines verbindenden Pfades: . Bei konstantem Feld (z.B. zwischen zwei parallelen Platten) vereinfacht sich das zu , wobei der Plattenabstand und die Feldstärke ist.
Physikalisch ist die Arbeit pro Ladung, die das Feld beim Verschieben einer Testladung von nach verrichtet: . Deshalb passt die Einheit genau zu .
Das elektrostatische Feld ist konservativ: der Wert des Wegintegrals hängt nur von den Endpunkten ab, nicht vom gewählten Pfad. Daher lässt sich jedem Raumpunkt eine skalare Grösse, das elektrische Potential , zuordnen, und die Spannung ist die Differenz . Umgekehrt ergibt sich das Feld als negativer Gradient: . Diesen Zusammenhang erweitern wir in Abschnitt 2.2.
Daraus folgt die Vorzeichen-Konvention: zeigt in Richtung abnehmenden Potentials. Eine positive Testladung rutscht also in Richtung der Feldlinien, quasi „bergab" in der Potentiallandschaft; eine negative entgegen.
Eine gleichmässig geladene nichtleitende Vollkugel (Gesamtladung , Radius , konstante Raumladungsdichte ) verhält sich ausserhalb wie eine Punktladung. Innerhalb wächst das Feld linear mit , weil nur die Ladung innerhalb der Gauss-Sphäre zum Fluss beiträgt.
Die sphärische Symmetrie erzwingt, dass überall radial zeigt und nur von abhängt. Als Gauss-Fläche wählt man daher eine konzentrische Kugel vom Radius ; auf ihr ist parallel zu und konstant, das Integral reduziert sich auf .
Für enthält die Gauss-Sphäre nur den Volumenanteil . Einsetzen ergibt , linear in . Für liegt die gesamte Ladung innerhalb, also . Die beiden Äste treffen sich stetig bei .
In einer leitenden Kugel sitzen die Überschussladungen ausschliesslich auf der Oberfläche. Eine Gauss-Sphäre mit umschliesst daher keine Ladung; Gauss liefert sofort , und wegen der Kugelsymmetrie folgt im gesamten Inneren. Für sieht man den Leiter dagegen wie eine Punktladung mit Gesamtladung .
Warum verschwindet das Innenfeld? Im Leiter sind Ladungsträger frei beweglich. Angenommen, irgendwo im Volumen wäre : dann wirkte eine Kraft auf jeden beweglichen Träger und setzte einen Strom in Gang. Im elektrostatischen Gleichgewicht fliessen aber keine Ströme; also muss überall im Inneren gelten. Dieses Argument erzwingt die Oberflächenverteilung der Ladung.
Direkt ausserhalb der Oberfläche ist senkrecht zur Oberfläche gerichtet (tangentiale Komponenten wären wieder mit einem Oberflächenstrom verbunden) und hat den Betrag , wobei die lokale Flächenladungsdichte ist. Der Sprung von auf beim Passieren der Oberfläche ist die allgemeine Diskontinuität der Normalkomponente des E-Feldes an jeder geladenen Fläche.
Ein unendlich langer Draht mit Linienladungsdichte (Einheit ) besitzt entlang seiner Länge keine ausgezeichnete Position; nur der Abstand zur Drahtachse kann ins Spiel kommen. Die zylindrische Symmetrie erzwingt, dass überall radial zur Achse zeigt und nur von abhängt.
Als Gauss-Fläche passt daher ein koaxialer Zylinder mit Radius und Länge . Die beiden Stirndeckel tragen nichts bei, weil dort tangential zu liegt; nur die Mantelfläche zählt.
Gauss liefert und nach aufgelöst . Das Feld fällt mit ab, nicht mit . Grund: die Gauss-Fläche skaliert in dieser Geometrie nur linear mit , nicht quadratisch wie bei der Kugel.
Eine unendlich ausgedehnte Platte mit Flächenladungsdichte () erzeugt ein betragsmässig konstantes, vom Abstand zur Platte unabhängiges E-Feld. Als Gauss-Fläche wählt man eine Pillendose (Zylinder) senkrecht zur Platte mit kleinen Deckeln der Fläche ; die Mantelfläche trägt nichts bei, weil dort parallel zur Manteloberfläche verläuft.
Damit liefert Gauss (beide Deckel beitragen), also . Die Fläche kürzt sich heraus, ebenso der Abstand; ein anschaulicher Grund ist, dass aus jeder Entfernung dieselbe scheinbar konstante Ladungswolke zu sehen ist.
Beim Plattenkondensator liegen zwei Platten mit und parallel. Nach dem Superpositionsprinzip überlagern sich ihre Einzelfelder: im Zwischenraum addieren sich die Beiträge zu , aussen heben sie sich gegenseitig weg (). So entsteht das homogene Innenfeld, das in Abb. 5 zu sehen ist.
Beim Überqueren einer geladenen Fläche springt die Normalkomponente von um . Genau diese Diskontinuität sieht man an der Einzelplatte (Sprung von auf ) und an der Leiteroberfläche in 2.1.5 (Sprung von auf ).
Ein Ring mit Radius in der -Ebene und Gesamtladung hat eine Symmetrieachse (die -Achse) aber keine Kugel- oder Zylindersymmetrie. Auf der Achse heben sich und aus Symmetriegründen paarweise auf, und nur die Komponente bleibt übrig.
Gauss ist hier nicht direkt anwendbar: es existiert keine Fläche, auf der überall konstant wäre. Stattdessen nutzt man das Superpositionsprinzip in seiner kontinuierlichen Form und integriert die Coulomb-Beiträge aller Ladungselemente auf.
Die Beiträge der gegenüberliegenden Ringpunkte addieren sich zu einer -Komponente . Nach Aufintegrieren über den Ring folgt . Das Maximum liegt bei ; für geht die Formel in das Punktladungsfeld über.
Dieses Ergebnis gilt nur auf der Symmetrieachse. Abseits der Achse hätte zusätzlich radiale Komponenten in der Ringebene und würde ein vollständiges 2D-Integral erfordern.
Die Potentialdifferenz (Spannung) zwischen zwei Punkten ist das negative Wegintegral des elektrischen Feldes: . Eine positive Testladung verliert potentielle Energie, wenn sie mit dem Feld (bergab) bewegt wird, und gewinnt Energie, wenn sie gegen das Feld bewegt wird.
Das Minus-Zeichen im Integral ist kein Zufall: das elektrische Feld verrichtet die Arbeit an der Ladung, so dass die von der Ladung gespeicherte potentielle Energie genau entgegengesetzt zunimmt. Teilen durch liefert die Potentialdifferenz als Arbeit pro Ladungseinheit: .
So betrachtet ist die Energie, die nötig wäre, um eine Einheitsladung vom Bezugspunkt nach zu transportieren, wenn man gegen das Feld arbeitet. Die Einheit unterstreicht das: ein Volt ist genau ein Joule pro Coulomb.
Für ein stationäres (zeitunabhängiges) Feld hängt das Wegintegral nur von Start- und Endpunkt ab, nicht vom Pfad dazwischen. Dieses Faktum (behandelt in 2.2.4) ist die Voraussetzung dafür, dass überhaupt als eindeutige Funktion des Ortes existieren kann.
Der Bezugspunkt wird per Definition auf gesetzt; nur Differenzen von Potentialen sind physikalisch messbar, daher kann das absolute Niveau frei gewählt werden. Für Punktladungen und räumlich begrenzte Verteilungen nimmt man meist bei , was auf das vertraute führt.
Äquipotentialflächen sind Flächen gleichen Potentials. Für Punktladungen sind das konzentrische Kugeln; für einen Plattenkondensator parallele Ebenen. Auf einer solchen Fläche hat jeder Punkt denselben -Wert, und das Verschieben einer Ladung entlang der Fläche kostet keinerlei Arbeit.
Daraus folgt eine geometrische Regel: Feldlinien stehen senkrecht auf Äquipotentialflächen. Grund: gäbe es eine tangentiale Komponente von auf der Fläche, so wäre entlang eines Schritts innerhalb der Fläche; das widerspräche auf einer Äquipotentialfläche. Also liegt stets senkrecht dazu, und zwar in Richtung abnehmenden Potentials.
Der Bezugspunkt bei funktioniert nur, wenn das Integral dorthin konvergiert. Bei einer unendlich ausgedehnten Platte oder einem unendlich langen Draht divergiert im Unendlichen; dort wählt man einen endlichen Referenzpunkt, z.B. die negative Platte selbst.
Das E-Feld ist der negative Gradient des Potentials: . Der Gradient zeigt in Richtung der stärksten Potentialzunahme; das Minus-Zeichen dreht den Vektor in Richtung der stärksten Abnahme, und genau dort erfährt eine positive Probeladung die grösste Kraft.
Komponentenweise in kartesischen Koordinaten gilt , , . Hängt nur von einer Variable ab (etwa vom Radius ), reduziert sich das auf eine gewöhnliche Ableitung: .
Ein expliziter Check am Coulomb-Potential: aus folgt . Das ist exakt das Coulomb-Feld einer Punktladung. Der -Abfall des Feldes und der -Abfall des Potentials sind durch diese Ableitung verbunden.
Grafisch heisst das: zeigt „bergab" in der Potentiallandschaft, senkrecht zu den Äquipotentiallinien. Liegen zwei benachbarte Äquipotentiallinien eng beieinander, ist der Gradient (und damit die Feldstärke) dort gross; weit auseinanderliegende Linien entsprechen schwachem Feld.
Für stationäre (zeitunabhängige) elektrische Felder verschwindet das Ringintegral (geschlossenes Wegintegral): . Physikalisch bedeutet dies, dass an einer Testladung, die einen geschlossenen Umlauf macht, netto keine Arbeit verrichtet wird (). Die positiven und negativen Wegabschnitte kompensieren sich exakt, sodass das Teilchen mit derselben kinetischen Energie an den Ausgangspunkt zurückkehrt.
Aus dieser Eigenschaft folgt direkt, dass der Wert des Integrals nur von Start- und Zielpunkt abhängt und nicht vom gewählten Pfad. Genau diese Wegunabhängigkeit erlaubt es, jedem Punkt im Raum einen eindeutigen Potentialwert zuzuordnen.
Zusammengenommen sind für stationäre -Felder die folgenden vier Aussagen streng äquivalent: ist wegunabhängig mit (differentielle Form via Stokes).
Achtung: Diese Äquivalenz bricht im zeitabhängigen Fall zusammen! Das Faraday-Gesetz (Kap. 3) liefert dann . In diesem Fall existiert im Allgemeinen kein skalares Potential mehr. Die hier behandelten Beziehungen gelten ausschließlich für die Elektrostatik.
Das elektrische Potential einer Punktladung ist ein Skalarfeld: Jedem Punkt im Raum wird ein einzelner Zahlenwert zugeordnet. Für eine Punktladung nimmt dieses Potential mit der Entfernung als ab. Per Konvention legt man den Nullpunkt ins Unendliche ( für ). Das Vorzeichen des Potentials wird dabei direkt von der Quellladung vorgegeben: Es ist positiv für (ein Potentialberg) und negativ für (ein Potentialtal).
Warum fällt das Potential mit ab, während das elektrische Feld mit schwächer wird? Der Grund liegt in der direkten mathematischen Verknüpfung der beiden Größen: Das elektrische Feld ist der negative Gradient des Potentials, formal . Entlang der radialen Richtung reduziert sich dies auf die einfache Ableitung . Leitet man das Potential nach dem Radius ab, erhöht sich die Potenz im Nenner, und man erhält exakt das Coulombsche Feldgesetz . Anschaulich bedeutet die Gradientenbildung: Das -Feld zeigt stets in die Richtung des steilsten Potentialabfalls ("bergab"). Die zugehörigen Äquipotentialflächen einer Punktladung bilden folglich konzentrische Kugelschalen, auf denen die elektrischen Feldlinien stets exakt senkrecht stehen.
Dieser Zusammenhang aus der Feldtheorie lässt sich direkt auf die physikalische Ebene von Energie und Kraft übertragen. Bringt man eine Probeladung in dieses Feld, ergibt sich ihre potentielle Energie durch einfache Skalierung des Potentials: . Dadurch offenbart sich eine tiefgreifende physikalische Symmetrie: Genauso wie das -Feld der negative Gradient des Potentials ist (), ist die wirkende Coulomb-Kraft der negative Gradient der potentiellen Energie: . Da jedes physikalische System naturgemäß in den Zustand minimaler Energie strebt, zeigt die resultierende Kraft stets exakt den energetischen "Berg" hinab und beschleunigt die Ladung in Richtung des geringsten Energieniveaus.
Für eine kontinuierliche Ladungsverteilung mit Raumladungsdichte summiert (integriert) man die Beiträge aller Volumenelemente . Jedes Element bei trägt bei, gewichtet mit dem inversen Abstand .
Warum Skalar-Superposition einfacher ist als Vektor-Superposition: beim E-Feld muss man an jedem Aufpunkt Vektoren mit Richtung und Betrag addieren, was oft drei Komponenten-Integrale bedeutet. Beim Potential summiert man nur Zahlen. Deshalb ist es häufig strategisch, zuerst zu berechnen und anschliessend zu bilden, statt direkt zu integrieren.
Das Superpositionsprinzip gilt exakt, weil die Maxwell-Gleichungen linear in den Quellen sind: für diskrete Ladungen und im kontinuierlichen Fall. Die Gleichung funktioniert für Linien-, Flächen- und Volumenverteilungen, solange man mit der passenden Dichte einsetzt: , oder .
Analogie: exakt wie bei der Gravitation. Viele kleine Massen ergeben ein Gesamtpotential durch Addition der Einzelpotentiale. Die -Struktur und die skalare Additivität sind in beiden Theorien identisch; nur das Vorzeichen unterscheidet sich (Gravitation ist immer anziehend).
Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei gleich großen, entgegengesetzten Ladungen und im Abstand . Seine Stärke und räumliche Ausrichtung wird durch das Dipolmoment beschrieben (Einheit: ). Dieser Vektor zeigt per Konvention immer von der negativen zur positiven Ladung.
Betrachtet man das System im Fernfeld (), heben sich die Wirkungen beider Ladungen am Ortsvektor teilweise auf. Die Superposition ihrer Potentiale liefert durch Näherung das Dipolpotential . Weil sich die Ladungen aus der Distanz zunehmend kompensieren, fällt dieses Potential proportional zu ab und damit deutlich schneller als bei einem einfachen Monopol (). Exakt auf der Mittelsenkrechten Ebene zum Dipol stehen der Ortsvektor und das Dipolmoment senkrecht aufeinander, das Skalarprodukt wird null (). Da der Abstand zu beiden Ladungen hier identisch ist, heben sich die Potentialbeiträge vollständig auf () und wechseln beim Durchqueren dieser Ebene das Vorzeichen.
Wird ein solcher Dipol in ein homogenes, externes elektrisches Feld eingebracht, ziehen die Feldkräfte an und in exakt entgegengesetzte Richtungen. Die translatorische Nettokraft ist dadurch Null. Da diese Kräfte jedoch an räumlich versetzten Punkten angreifen, entsteht ein Drehmoment . Dieses Drehmoment zwingt den Dipol zur Rotation, bis er parallel zu den externen Feldlinien ausgerichtet ist und seine ruhende Gleichgewichtslage () erreicht.
Diese mechanische Rotation resultiert direkt aus dem Bestreben des Systems, in den Zustand der niedrigsten potentiellen Energie zu fallen: . Das absolute Energieminimum (die stabile Ausrichtung) liegt vor, wenn () gilt. Die antiparallele Lage () ist hingegen das Energiemaximum und damit hochgradig instabil. Exakt dieses Streben in das energetische Minimum zwingt polare Moleküle (wie oder ) dazu, sich an einem äußeren Feld auszurichten. Das ist der physikalische Kernmechanismus, der die Grundlage für die makroskopische Wirkung von Dielektrika (siehe Kap. 2.6) bildet.
Drei Ladungen in einer Dreiecks-Anordnung. Nettoladung ; im Fernfeld () sieht die Konfiguration deshalb aus wie eine einzelne Punktladung , und das Potential fällt mit ab.
Im Nahfeld verlassen Feldlinien die positiven Ladungen und enden auf der negativen. Zwischen den Ladungen wird das Feld komplex, und nur die Superposition bestimmt seinen genauen Verlauf. Die Anordnung ist nicht radialsymmetrisch (anders als der Monopol), und die Äquipotentiallinien haben entsprechend deformierte Formen.
Formal folgt das Gesamtpotential aus der Summe der Einzelpotentiale: . Weil das Potential ein Skalar ist, addieren sich die drei Beiträge einfach (Vorzeichen beachten!); das E-Feld folgt dann aus mit jeweils vektorieller Addition pro Aufpunkt.
Die Ladungsanordnung speichert eine elektrische Gesamtenergie, die exakt der Arbeit entspricht, um die Konfiguration aus dem Unendlichen schrittweise gegen die elektrostatischen Kräfte aufzubauen. Bringt man die Ladungen nacheinander an ihre Orte, spürt jede neue Ladung das Potential der bereits vorhandenen Ladungen. Summiert man diese Beiträge über alle Teilchen auf, ergibt sich die Formel , bei der das Potential aller übrigen Ladungen am Ort von ist. Der Faktor ist dabei physikalisch zwingend, um eine Doppelzählung zu verhindern: Die gegenseitige potentielle Energie zwischen zwei Ladungen taucht in der reinen Summe nämlich zweimal auf. Einmal aus der Sicht der ersten und einmal aus der Sicht der zweiten Ladung. Durch den Faktor wird er exakt auf den realen Wert halbiert.
Vier alternierende Ladungen an den Ecken eines Quadrats bilden einen elektrischen Quadrupol. Da sich alle Ladungen ausgleichen, verschwinden sowohl die Nettoladung als auch das Dipolmoment , weil sich die Dipole der Diagonalen gegenseitig aufheben. Im Fernfeld () führt diese Kompensation zu einem extrem steilen Feldabfall: Das Potential sinkt proportional zu und die Feldstärke mit . Symmetrisch zeigt das Feld im geometrischen Zentrum einen Sattelpunkt mit , während das Potential auf den Hauptachsen bei und exakt beträgt und die vier Quadranten abwechselnd positive und negative Vorzeichen tragen.
Jede begrenzte Ladungsverteilung lässt sich weit weg über eine Multipolentwicklung als mathematische Reihe darstellen. Die niedrigste nicht-verschwindende Ordnung bestimmt das Verhalten in der Ferne. Fehlt wie hier das Monopolmoment () und das Dipolmoment (), dominiert der Quadrupol-Term ().
Anwendungen: Massenspektrometer nutzen Quadrupol-Felder zur Massenseparation von Ionen, Paul-Fallen sperren einzelne Ionen über zeitveränderliche Quadrupol-Felder ein (Nobelpreis 1989), und die Multipolentwicklung von Kern- und Molekül-Ladungsverteilungen ist Standard in Kern- und Molekülphysik.
Ein Kondensator besteht aus zwei Leitern mit Ladungen und , zwischen denen eine Spannung anliegt. Die Kapazität ist das Verhältnis . Einheit: Farad (F), typische Werte liegen im Bereich , , .
Warum ist das Verhältnis überhaupt konstant? Weil das elektrostatische Problem linear in den Quellen ist: verdoppelt man die Ladung, verdoppelt sich nach dem Superpositionsprinzip das E-Feld und damit auch . Das Verhältnis hängt daher nur von der Geometrie und dem Dielektrikum ab, nicht von oder selbst.
Nützliche Analogie: Der Kondensator ist wie ein Wasserkrug. Die Spannung entspricht dem Wasserstand, die Ladung dem eingefüllten Volumen, und die Kapazität der Grundfläche des Krugs. Ein breiter Krug (grosses ) nimmt viel Wasser (Ladung) bei geringem Anstieg (Spannung) auf; ein schmales Glas (kleines ) füllt sich schnell.
Die Knotenregel drückt Ladungserhaltung an jedem Knoten aus: was an Ladung hineinfliesst, muss auch wieder abfliessen. Die Maschenregel verlangt, dass die Summe aller Spannungen in einem geschlossenen Umlauf verschwindet.
Woher stammt die Maschenregel? Genau aus dem Ringintegral aus 2.2.4. Läuft man einen geschlossenen Stromkreis ab, addieren sich die einzelnen Spannungen (Teilintegrale von entlang der Kondensatoren und Quellen) zu Null; die Maschenregel ist nichts anderes als diese Aussage in Schaltungssprache.
Die Ladung auf einem Kondensator entspricht dem Strom-Zeit-Integral: , und umgekehrt ist der Strom die Zeitableitung der Ladung . Diese beiden Beziehungen steuern das zeitliche Verhalten jeder RC-Schaltung. Die Animation illustriert einen Ladezyklus: Strom fliesst, bis die Kondensatorspannung der Quellenspannung gleichkommt und der Strom auf Null absackt. Die vollständige Dynamik mit der Zeitkonstante wird in 2.5 diskutiert.
In Serie haben alle Kondensatoren dieselbe Ladung , aber unterschiedliche Spannungen . Die Gesamtspannung ergibt sich als Summe: , woraus unmittelbar folgt.
Warum tragen alle Kondensatoren dieselbe Ladung? Die Innen-Platten zweier benachbarter Kondensatoren sind isoliert und hatten vor dem Anlegen der Quelle die Gesamtladung Null. Durch Ladungserhaltung muss die auf einer Innen-Platte induzierte negative Ladung genau die positive Ladung der nächsten Innen-Platte ausgleichen; deshalb zwingen die Platten einander auf , unabhängig von den Einzelkapazitäten.
Wichtige Regel: Bei Kondensatoren in Reihe ist die Gesamtkapazität stets kleiner als der kleinste Einzelkondensator in der Kette. Das wirkt auf den ersten Blick verwirrend, da es sich genau umgekehrt zur bekannten Reihenschaltung von Widerständen verhält. Es lässt sich aber logisch erklären: Schaltet man Kondensatoren hintereinander, reihen sich auch ihre Plattenabstände aneinander. Der effektive Gesamtabstand wird also größer. Da die Kapazität umgekehrt proportional zum Abstand ist (), führt ein größerer Abstand zu einer kleineren Gesamtkapazität.
Bei Parallelschaltung liegt an allen Kondensatoren dieselbe Spannung . Grund: alle linken Platten hängen an einem gemeinsamen Knoten (und damit am Pluspol der Quelle), alle rechten Platten am anderen Knoten (Minuspol). Jeder Kondensator sieht also denselben Potentialunterschied .
Die Ladungen unterscheiden sich entsprechend den Einzelkapazitäten: . Die Gesamtladung ist , also . Anschaulich entspricht die Parallelschaltung einer Vergrösserung der effektiven Plattenfläche, was bei festem Abstand die Kapazität proportional erhöht (`` im Plattenkondensator).
ist grösser als der grösste Einzelkondensator, wieder das Gegenteil der Widerstände parallel. Faustregel: Kondensatoren verhalten sich bei Verschaltung wie inverse Widerstände, weil sie Ladung sammeln, nicht Strom durchlassen.
Ein Plattenkondensator besteht aus zwei parallelen, leitenden Platten mit der Fläche im Abstand . Im Inneren bildet sich bei einer angelegten Spannung ein homogenes elektrisches Feld der Stärke .
Aus dem Satz von Gauss und der Flächenladungsdichte folgt für das Feld idealisierter Platten . Die Integration über den Abstand liefert die Spannung . Eingesetzt in die Definition ergibt sich die Kapazität: . Eine grosse Fläche oder ein kleiner Abstand maximieren somit die Speicherfähigkeit.
An den Rändern treten Streufelder auf, da die Näherung der unendlichen Ausdehnung zusammenbricht und dort inhomogen wird. Für sind diese Randeffekte jedoch vernachlässigbar. In der Animation verdeutlichen die von nach fliegenden Testteilchen den Verlauf der Feldlinien im homogenen Innenraum sowie im Streufeld.
Ein Zylinderkondensator besteht aus zwei koaxialen Zylindern mit Innenradius , Aussenradius und der Länge . Um Randeffekte zu vernachlässigen, nehmen wir idealisiert an. Nach dem Satz von Gauss nimmt das elektrische Feld im Zwischenraum () radial ab: . Das Feld ist somit direkt am Innenleiter am stärksten ().
Die Spannung ergibt sich durch das Wegintegral dieses Feldes über den Radius. Da über integriert wird, entsteht ein natürlicher Logarithmus: . Mit der Längenladungsdichte und der Definition folgt die Kapazität: . Dieser logarithmische Faktor ist der physikalische Hauptunterschied zum Plattenkondensator.
Anwendung: Jedes Koaxialkabel verhält sich wie ein langer Zylinderkondensator. Seine Kapazität pro Länge (der Kapazitätsbelag) bestimmt zusammen mit der Induktivität massgeblich den Wellenwiderstand des Kabels (typischerweise ).
Zwei konzentrische Kugeln mit Innenradius und Aussenradius bilden einen Kugelkondensator. Zwischen ihnen gilt nach Gauss das bekannte Coulomb-Feld der Innenkugel: für ; aussen liegt , weil die beiden Gesamtladungen und einander kompensieren.
Die Kapazität folgt aus der Potentialdifferenz zwischen den Kugelschalen. Mit für eine Punktladung im Zentrum ergibt sich , und daraus .
Grenzfall isolierte Kugel (): die Aussenschale verschwindet und man erhält . Das ist die Selbstkapazität eines einzelnen Leiters gegen das Unendliche; für die Erde () sind das etwa , praktisch eine riesige Ladungssenke.
Die Energie eines Kondensators lässt sich in drei äquivalenten Formen schreiben: . Alle drei folgen mit auseinander; welche Form am bequemsten ist, hängt davon ab, welche zwei Grössen man als bekannt annimmt.
Der Faktor ist kein Zufall und verdient eine genaue Erklärung: er kommt aus der Integration während des Ladens. Hat der Kondensator bereits die Ladung , herrscht zwischen den Platten die Spannung . Um ein weiteres kleines Ladungspaket gegen diese Spannung auf den Kondensator zu schieben, braucht man die Arbeit . Integriert man von bis , wächst die bereits vorhandene Spannung linear mit, und man erhält . Der Faktor bedeutet also: im Mittel wurde jede Ladungsportion bei halber Endspannung gegen das Feld geschoben.
Die Energiedichte im E-Feld ist , Einheit . Überraschend: die Energie steckt im Feld selbst, nicht in den Ladungen auf den Platten. Integriert man über das gesamte Feldvolumen zwischen den Platten, erhält man . Die beiden Sichtweisen (Energie in den Platten vs. Energie im Feld) sind exakt äquivalent.
Das Konzept der Feld-Energiedichte ist allgemein: gilt überall dort, wo ein E-Feld existiert, nicht nur zwischen Kondensatorplatten. In 2.7 werden wir darauf aufbauen, wenn es um Kräfte zwischen geladenen Leitern geht.
Wird ein Kondensator geladen, wirkt er im ersten Moment wie ein Kurzschluss: Der Anfangsstrom ist maximal und wird nur durch den Widerstand begrenzt. Je mehr Ladung in den Kondensator fliesst, desto mehr Gegenspannung baut sich auf und der Ladestrom nimmt ab. Die Dauer dieses Vorgangs hängt von zwei Faktoren ab: Ein grösserer Widerstand drosselt den Stromfluss, während eine grössere Kapazität die aufnehmbare Ladungsmenge erhöht. Beide verlängern somit die Ladezeit.
Daraus ergibt sich die Zeitkonstante als das fundamentale Mass für die Lade- und Entladezeit jedes RC-Kreises. Eine Dimensionsanalyse bestätigt, dass dies die einzige sinnvolle Zeitgrösse ist, die sich aus den Bauteil-Werten kombinieren lässt: Das Produkt aus (in ) und (in ) liefert , hat also exakt die Einheit einer Zeit.
In der Praxis dient als wichtige Faustregel: Bei ist der Kondensator auf von geladen. Nach sind bereits rund erreicht, weshalb der Prozess dann als „voll geladen" gilt. Beispiel: Ein Kamera-Blitzkondensator mit lädt an einem Widerstand von in auf , nach einer halben Sekunde () ist er praktisch voll.
Die Maschenregel liefert den Schlüssel zum Verständnis beider Prozesse: Zu jedem Zeitpunkt gilt (bzw. ). Der leere Kondensator hat anfangs keine Spannung, weshalb der Ladestrom maximal ist. Je mehr Ladung auf den Kondensator fliesst, desto mehr drückt die wachsende Kondensatorspannung die verbleibende Spannung am Widerstand und damit den Strom zurück.
Wegen dieses Rückkopplungseffekts verlaufen alle Kurven exponentiell: Die Spannung wächst gemäss und die Ladung gemäss , während der Ladestrom exponentiell zerfällt: .
Wird die Quelle entfernt, entlädt sich der Kondensator. Die Maschenregel wird zu . Die Ladung und Spannung zerfallen nun ebenfalls exponentiell: und . Der Strom fliesst rückwärts, folgt aber derselben abklingenden Kurvenform: (das Minuszeichen zeigt die entgegengesetzte Richtung).
Für die Werte gilt eine einfache Faustregel: Alles, was anwächst (Spannung und Ladung beim Laden), erreicht nach ca. und ist nach bei fast . Alles, was abfällt (Strom bei beiden Prozessen, sowie Spannung und Ladung beim Entladen), schrumpft nach auf ca. und ist nach praktisch bei Null.
Die exponentielle Form der Lade- und Entladekurven ist kein Zufall, sondern die direkte mathematische Konsequenz der Maschenregel. Setzt man in die Zusammenhänge und ein und nutzt die Definition des Stroms , so erhält man eine Differentialgleichung (DGL) erster Ordnung: .
Die homogene DGL (Entladen). Beim Entladen fehlt die äussere Spannungsquelle (). Die Gleichung reduziert sich auf die Form . Umgestellt nach der Ableitung steht dort . Das bedeutet: Die Änderungsrate der Ladung ist stets proportional zur noch vorhandenen Ladung. Dies ist die exakte mathematische Definition eines exponentiellen Zerfalls.
Die Strom-DGL (Laden & Entladen). Betrachtet man den Ladevorgang, so stört zunächst die Konstante . Leitet man jedoch die gesamte Lade-Gleichung einmal nach der Zeit ab, fällt weg und man erhält (mit ) direkt . Auch der Strom gehorcht also exakt derselben homogenen DGL: . Deshalb fällt der Strom bei beiden Prozessen abklingend exponentiell ab.
Speicherenergie (Repetition). Um Ladung auf einen Kondensator mit momentaner Spannung zu bringen, braucht man die Arbeit . Integration von bis liefert . Äquivalente Formen: . Grafisch ist die Fläche unter der -Geraden.
Die Quellarbeit. Ein überraschendes und wichtiges Ergebnis beim Ladevorgang aus einer idealen Spannungsquelle ist die Energiebilanz: Die Quelle pumpt die Endladung bei konstanter Spannung in den Kreis. Dabei verrichtet sie insgesamt die Arbeit . Das ist exakt doppelt so viel, wie am Ende als nutzbare Energie im Kondensator gespeichert ist (). Die andere Hälfte () geht unweigerlich verloren.
Verlust im Widerstand. Diese Verlusthälfte wird im Widerstand in Wärme umgewandelt. Bemerkenswert ist: Die Menge der Verlustenergie ist völlig unabhängig von der Grösse von . Ob man schnell (kleines ) oder langsam (grosses ) lädt, spielt keine Rolle. Bei wird die Ladezeit zwar extrem kurz, aber der Stromstoss dafür riesig. Das Integral der Heizleistung über die gesamte Ladezeit ergibt immer exakt dieselbe verlorene Energiemenge . Um dieses '50/50-Problem' zu umgehen, müsste man die Quelle langsam hochfahren (variables ) oder LC-Schwingkreise nutzen.
Energiedichte (Repetition). Die Energiedichte im E-Feld gilt universell, nicht nur für Plattenkondensatoren. Integration über das Feldvolumen reproduziert stets die Gesamtenergie .
Ein Dielektrikum ist ein nichtleitendes Material, das zwischen die Platten eines Kondensators gebracht werden kann. Es reduziert das elektrische Feld im Inneren auf , wobei die dimensionslose relative Permittivität des Materials ist. Die Kapazität steigt entsprechend auf ; bei konstanter Spannung (angeschlossene Batterie) wächst die Ladung auf .
Physikalischer Mechanismus: die Moleküle des Dielektrikums tragen entweder permanente Dipolmomente (polare Moleküle wie ) oder werden vom externen Feld polarisiert (Elektronenwolke gegenüber dem Kern verschoben). In beiden Fällen richten sich die Dipole entlang aus; die resultierende Polarisation erzeugt an den Oberflächen gebundene Ladungen, die ein Gegenfeld erzeugen. Das Nettofeld im Material ist , das um kleiner ist als .
Formal: mit der elektrischen Suszeptibilität (dimensionslos). Je polarisierbarer das Material, desto grösser und damit . Typische Werte: Luft , Glas bis , Wasser (stark polar), (Ferroelektrikum) .
Die totale Permittivität des Materials ist , und alle Vakuum-Formeln bleiben gültig, wenn man durch ersetzt. Zum Beispiel wird der Plattenkondensator zu .
Die elektrische Flussdichte (auch Verschiebungsdichte) ist , mit Einheit . Die erste Form zeigt den physikalischen Inhalt: kombiniert das Feld im Vakuum () mit der Materialpolarisation () zu einer Grösse, die nur von freien Ladungen auf den Platten erzeugt wird.
Die entscheidende Eigenschaft ist die Materialunabhängigkeit: ohne Dielektrikum ist ; mit Dielektrikum ist . Die freien Ladungen bleiben auf den Platten gleich, die polarisationsbedingten gebundenen Ladungen kompensieren sich mit der Reduktion von .
Darauf aufbauend gibt es eine modifizierte Gauss-Variante, die nur freie Ladungen betrachtet: bzw. . Diese Form ist praktisch, weil man die gebundenen Ladungen im Inneren des Dielektrikums nicht explizit kennen muss, um auszurechnen.
Gebundene Ladungen entstehen dort, wo divergiert oder Grenzflächen schneidet: eine Oberflächenladungsdichte (Normalkomponente von ) und eine Volumendichte . In homogen polarisiertem Material ist und nur die Oberflächen tragen gebundene Ladung.
Drei Typen dielektrischer Materialien unterscheiden sich nach ihrer Abhängigkeit von Temperatur und Feldstärke. Alle drei erhöhen die Kapazität (); die Art der Polarisation (und damit die Stabilität gegenüber thermischer Bewegung und äusserem Feld) ist für jede Klasse anders.
Linear dielektrisch: mit konstantem . Die Molekül-Polarisierbarkeit dominiert; Beispiele Glas, Keramik. Paraelektrisch: permanente Dipole kämpfen gegen thermische Unordnung, daher (Curie-Gesetz). Wasser ist das Paradebeispiel. Ferroelektrisch: spontane Ausrichtung unterhalb der Curie-Temperatur, Hysterese ähnlich wie bei Ferromagneten. Materialien wie nutzt man für Kondensatoren höchster Kapazität.
| Klasse | , Abhängigkeit | Beispiel |
|---|---|---|
| Linear dielektrisch | , temperatur- und feldunabhängig | Glas, Keramik ( bis ) |
| Paraelektrisch | , temperaturabhängig () | Wasser () |
| Ferroelektrisch | , temperatur- und feldabhängig, Hysterese | () |
Beim Einschieben eines Dielektrikums hängt das Verhalten davon ab, was festgehalten wird. Zwei Grenzfälle decken das gesamte Spektrum ab: der Kondensator ist entweder von der Quelle isoliert ( bleibt konstant, kann sich anpassen) oder an die Batterie angeschlossen ( bleibt konstant, kann nachfliessen).
Isoliert (): steigt um , also sinkt um denselben Faktor auf , und mit ihm das Feld . Die gespeicherte Energie nimmt um den Faktor ab; die fehlende Energie wurde für die Polarisation des Dielektrikums aufgewendet (das Dielektrikum wird in den Kondensator hineingezogen, eine Kraft verrichtet Arbeit).
An Batterie (): steigt um , also steigt um denselben Faktor und es fliesst zusätzliche Ladung nach. Die gespeicherte Energie nimmt um zu; die zusätzliche Energie liefert die Batterie, und sie verrichtet dabei Arbeit sowohl am Feld als auch beim Einziehen des Dielektrikums.
Diese Zwei-Fall-Betrachtung ist das Standardbeispiel, an dem man lernt, bei Kondensator-Aufgaben immer zuerst die Randbedingung zu prüfen. Verwechslung der beiden Regime ist eine der häufigsten Fehlerquellen in Prüfungen.
In einem stromdurchflossenen Draht existiert ein sehr schwaches, aber nicht-verschwindendes E-Feld entlang der Leiterachse. Dieses Feld übt auf jedes Elektron die Kraft aus (Minuszeichen wegen negativer Ladung); zwischen den Stössen mit den Gitterionen beschleunigt das Feld die Elektronen, und insgesamt entsteht eine mittlere Driftgeschwindigkeit gegen die Feldrichtung.
Konventionsgemäss zeigt das E-Feld von nach und die konventionelle Stromrichtung folgt dem E-Feld; tatsächlich aber bewegen sich die (negativen) Elektronen entgegen dazu. Diese Unterscheidung ist historisch bedingt und wirkt sich nur auf das Vorzeichen aus; die Physik bleibt konsistent.
Energetisch: das Feld verrichtet pro durchlaufener Spannung und pro transportierter Ladung die Arbeit . Für ein einzelnes Elektron wird diese Arbeit an das Gitter abgegeben (Stösse) und erscheint als Wärme; das ist der mikroskopische Ursprung der Ohmschen Dissipation , die wir in 2.7.6 quantifizieren.
Für eine leitende Kugel mit Radius und Gesamtladung sitzt alle Ladung homogen auf der Oberfläche (elektrostatisches Gleichgewicht, siehe 2.1.5). Oberflächenladungsdichte , und (trivial). Ausserhalb der Kugel wirkt die Konfiguration nach aussen wie eine Punktladung im Zentrum; innerhalb gilt .
Für ergibt sich damit: , , und . Der Zusammenhang liefert die -Abnahme des Feldes aus der -Abnahme des Potentials, was ein wiederkehrendes Motiv der gesamten Elektrostatik ist.
An der Oberfläche () hat das Potential den Wert ; das ist zugleich das Potential der gesamten Kugel (innen heisst ). Die Kapazität eines solchen isolierten Leiters gegen das Unendliche ist , wie in 2.4.7 hergeleitet.
Das Coulomb-Gesetz (bereits in 2.1.1 eingeführt) ist die Kraft, die zwei Punktladungen aufeinander ausüben. zeigt von Ladung 1 zu Ladung 2; gleichnamige Ladungen führen zu parallel zu (Abstossung), ungleichnamige zu antiparalleler Kraft (Anziehung).
Der -Abfall hat tief gehende Konsequenzen: er ist derselbe wie bei der Gravitation, und beide Kräfte sind konservativ (Potential ). Der numerische Vorfaktor macht die elektrische Kraft um etwa mal stärker als die Gravitation zwischen zwei Elementarteilchen; deshalb dominiert die Elektrostatik die Struktur von Atomen und Molekülen.
Mit als Vakuum-Permittivität lässt sich die Kraft zwischen zwei Elementarladungen im Abstand (typische Atomgrösse) explizit ausrechnen: . Für mikroskopische Systeme eine enorme Kraft, für Objekte unseres Alltags (Coulomb vs. Coulomb auf ) sogar .
Die Arbeit, die das elektrostatische Feld an einer Ladung verrichtet, wenn sie von nach verschoben wird, ist . Für infinitesimale Verschiebungen gilt bei konstantem ; bei zeitlichem Stromfluss ist .
Die Einheit zeigt die Gleichwertigkeit mit der mechanischen Arbeit. Ein Coulomb, das Potentialdifferenz durchläuft, gewinnt oder verliert genau Energie.
Wegunabhängigkeit folgt aus dem Ringintegral für stationäre Felder (siehe 2.2.4). Die Arbeit hängt nur von den Endpunkten ab, nicht vom gewählten Pfad. Jeder noch so verschlungene Weg zwischen zwei Äquipotentialflächen liefert dieselbe Arbeit.
Eine unmittelbare Konsequenz: verschiebt man eine Ladung auf einer geschlossenen Bahn, so ist die Gesamtarbeit Null (). Kinetische Energie kann das Feld nur übertragen, wenn der Weg Start und Ziel auf verschiedenen Äquipotentialflächen verbindet.
Wird ein Elektron aus der Ruhe durch eine Spannungsdifferenz beschleunigt, so geht die elektrische Arbeit (mit als Elementarladung) vollständig in kinetische Energie über (keine Reibung, keine Abstrahlung). Energieerhaltung: , also .
Zahlen: , . Bei ergibt sich , etwa der Lichtgeschwindigkeit. Oberhalb einiger muss man relativistisch rechnen, weil die klassische Formel die Geschwindigkeit überschätzt.
Die Einheit Elektronenvolt wird in dieser Situation natürlich: bei , also . Das Elektron in obigem Beispiel hat also Energie; in Beschleunigern der Teilchenphysik erreicht man bis .
Anwendung Kathodenstrahlröhre (CRT): Elektronen werden in einer Elektronenkanone durch beschleunigt und treffen mit etwa auf den Leuchtschirm. Diese Technik steuerte alle Röhrenfernseher bis zum Übergang auf Flachbildschirme.
Die Momentanleistung ist die zeitliche Änderung der Energie: . Aus folgt sofort , die fundamentale Leistungsformel für jeden elektrischen Zweipol. Einheit: .
Für einen Ohmschen Widerstand () lassen sich drei äquivalente Formen schreiben: . Welche am bequemsten ist, hängt davon ab, welche Grössen bekannt sind: bei vorgegebenem Strom nutzt man , bei vorgegebener Spannung .
Im Widerstand wird diese Leistung in Wärme umgewandelt (Joule-Erwärmung). Mikroskopisch: die Elektronen geben die aus dem E-Feld aufgenommene kinetische Energie bei Stössen an das Atomgitter ab, was sich als Temperaturanstieg bemerkbar macht. Diesen Effekt nutzen Heizwiderstände, Glühlampen und elektrische Sicherungen.
Am Kondensator ist die Leistung dagegen nicht dissipativ: . Die Leistung fliesst in die Feldenergie und kann beim Entladen wieder entnommen werden. Das unterscheidet kapazitive von resistiven Lasten grundlegend.
Im Plattenkondensator lässt sich die gespeicherte Energie sowohl global () als auch lokal als Volumenintegral schreiben. Die lokale Sicht führt auf die Energiedichte mit Einheit .
Das E-Feld selbst trägt Energie. Wo immer ein elektrisches Feld existiert (nicht nur zwischen Kondensatorplatten), herrscht auch eine Energiedichte , und die gesamte Energie folgt durch Integration: .
Die äquivalenten Ausdrücke und sind zwei Sichtweisen desselben Sachverhalts: ob man die Energie den Ladungen auf den Platten oder dem Feld zwischen ihnen zuschreibt, ist formell austauschbar. Physikalisch bedeutsam wird die Feld-Sicht erst bei elektromagnetischen Wellen, wo sich Energie im Vakuum fortpflanzt, ohne dass Ladungen am Weg beteiligt sind.
Im Dielektrikum wird die Energiedichte zu . Die zweite Form gilt allgemein und ist auch dann brauchbar, wenn und nicht exakt proportional sind (anisotrope Medien).
Der elektrische Fluss misst, wie viel E-Feld durch eine Fläche tritt. Formal ist er das Flächenintegral über die Fläche , wobei das Flächenelement einen Betrag (die Fläche) und eine Richtung (die Flächennormale ) hat.
Für ein homogenes Feld und eine ebene Fläche vereinfacht sich das zu , mit dem Winkel zwischen und . Die Extremfälle erklären die Physik: (Fläche senkrecht zum Feld) ergibt maximalen Fluss ; (Fläche parallel zum Feld) ergibt , weil das Feld keine Feldlinie durch die Fläche schickt.
Anschaulich zählt der Fluss die Anzahl Feldlinien, die durch die Fläche treten, mit Vorzeichen je nach Richtung: Linien, die in Richtung von hindurchgehen, zählen positiv, entgegengesetzte negativ. Einheit: .
Für eine geschlossene Fläche wird das Integral mit geschrieben und zählt netto, wie viele Feldlinien die Fläche verlassen (positiv) oder eintreten (negativ). Dieser Spezialfall führt direkt zum Satz von Gauss in 2.8.2.
Der Gauss'sche Satz (bereits in 2.1.2 eingeführt) verknüpft den Fluss mit der eingeschlossenen Ladung: . Der gesamte elektrische Fluss durch eine geschlossene Fläche hängt ausschliesslich von der eingeschlossenen Gesamtladung ab; Form der Fläche, Position der Ladung innerhalb und Ladungen ausserhalb sind irrelevant.
Die Invarianz unter Deformation der Gauss-Fläche ist keine Vermutung, sondern Konsequenz des -Abfalls des Punktladungsfeldes: dieser sorgt genau dafür, dass die Anzahl austretender Feldlinien für jede einhüllende Fläche konstant ist (siehe Argumentation in 2.1.2).
Wird die Ladung stattdessen als kontinuierliche Verteilung beschrieben, ersetzt man die eingeschlossene Summe durch ein Volumenintegral: . Die Gauss-Gleichung lautet dann , eine Form, die direkt auf die differentielle Maxwell-Gleichung in 2.8.3 führt.
Praktische Anwendung: bei hoher Symmetrie wird auf einer passenden Gauss-Fläche konstant, und das Integral reduziert sich auf eine Multiplikation. Die drei Standard-Symmetrien Kugel (Punktladung, Vollkugel, Kugelschale), Zylinder (Draht) und Ebene (Platte) wurden bereits in 2.1.4 bis 2.1.9 durchgerechnet.
Aus der Integralform des Gauss-Satzes folgt via Divergenzsatz (Gauss-Ostrogradsky aus Analysis II) die differentielle Form: . Sie ist eine der vier Maxwell-Gleichungen und verknüpft lokal (an einem Punkt) die Divergenz des E-Feldes mit der dortigen Ladungsdichte.
Die Divergenz misst die „Quellenstärke" des Feldes an einem Punkt: bedeutet positive Ladung (Quelle, Feldlinien entspringen dort); bedeutet negative Ladung (Senke, Feldlinien enden dort); heisst quellenfrei. Letzteres gilt im Vakuum oder in Leiter-Innenbereichen, wo .
Herleitung aus der Integralform: nach dem Divergenzsatz gilt für jedes Volumen. Setzt man die Gauss-Gleichung rechts ein, erhält man . Da das für jedes Volumen gelten muss, müssen die Integranden punktweise übereinstimmen: .
Analog gilt : das -Feld hat als Quellen ausschliesslich die freien Ladungen, unabhängig vom Dielektrikum. Das ist die in 2.6.2 erwähnte „modifizierte Gauss-Variante" in differentieller Form.
Als konkrete Anwendung der Gauss-Methode: unendlich langer geladener Draht mit Linienladungsdichte . Die zylindrische Symmetrie (Translationsinvarianz entlang der Achse, Rotationsinvarianz um die Achse) erzwingt, dass überall radial zur Drahtachse steht und dass nur vom Abstand zur Achse abhängt.
Darauf passt als Gauss-Fläche ein koaxialer Zylinder mit Radius und Länge . Die beiden kreisförmigen Deckflächen tragen nichts bei, weil dort ist und . Die Mantelfläche dagegen hat , also ; auf ihr ist konstant und das Integral wird zu .
Einsetzen in Gauss und auflösen liefert . Das Feld fällt mit , nicht mit wie bei der Punktladung; der Unterschied liegt in der Skalierung der Gauss-Fläche (Zylindermantel vs. Kugelfläche ).
Ein Dipol (Ladungen und im Abstand ) liegt vollständig innerhalb einer Gauss-Kugel. Die eingeschlossene Nettoladung ist , und deshalb liefert Gauss sofort .
Das Feld des Dipols selbst ist aber keineswegs null; es hat eine komplizierte Struktur mit Feldlinien, die von ausgehen und auf enden. Wie vereinbart sich das mit ? Jede einzelne Feldlinie, die die Gauss-Kugel verlässt, tritt an anderer Stelle wieder ein; der ausfliessende und einfliessende Fluss kompensieren sich exakt: .
Dieses Beispiel illustriert eine zentrale Eigenschaft von Gauss: das Integral zählt nur die Netto-Ladung im Inneren, unabhängig davon, wie kompliziert die Einzelfelder der beteiligten Ladungen aussehen. Wandert man den Dipol so, dass eine Ladung aus der Kugel hinausgeschoben wird, springt auf .
Nun zwei Ladungen in unterschiedlicher Lage zur Gauss-Fläche: am Ursprung (innerhalb einer Gauss-Kugel um den Ursprung), bei grossem (ausserhalb der Kugel). Der Fluss durch die Kugel beträgt , beeinflusst nur von der inneren Ladung.
Die äussere Ladung erzeugt zwar auch Feldlinien, die die Gauss-Kugel durchqueren; diese treten aber an einer Seite ein und an der anderen wieder aus, und ihre Beiträge zum Flächenintegral heben sich exakt auf. Dasselbe Argument wie beim Dipol (s8-5), nur in anderer Konfiguration.
Diese Universalität ist die Stärke des Gauss-Satzes für Anwendungen: man braucht nie das globale Feld zu kennen, nur die innerhalb der Gauss-Fläche liegende Nettoladung. Bei hoher Symmetrie (Kugel, Zylinder, Ebene) folgt daraus direkt; asymmetrische Aussenladungen beeinflussen den Gesamtfluss nicht, wohl aber die lokale Feldrichtung.
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