“Nothing is too wonderful to be true, if it be consistent with the laws of nature.”
— Michael Faraday
Ein magnetisches Feld entsteht überall dort, wo elektrische Ladungen in Bewegung sind: ein stromdurchflossener Draht, der Spin der Elektronen in einem Permanentmagneten, oder die Konvektionsströme im Erdkern. Magnetische Feldlinien beschreiben Richtung und Stärke des Magnetfeldes. Sie verlaufen immer geschlossen, denn es gibt keine magnetischen Monopole (zweite Maxwell-Gleichung ).
Magnetische Feldlinien bilden geschlossene Kurven ohne Anfang und Ende. Ausserhalb eines Magneten verlaufen sie von Nord nach Süd, innerhalb von Süd nach Nord. Die Dichte der Feldlinien ist ein Mass für die Stärke des Feldes: je dichter die Linien, desto stärker das Feld. Zwei Feldlinien können sich nie schneiden (sonst wäre die Feldrichtung am Schnittpunkt nicht eindeutig).
Die Rechte-Hand-Regel für einen geraden Leiter lautet: Der Daumen zeigt in die Stromrichtung , die gekrümmten Finger umschliessen den Leiter in Feldrichtung . Für einen einzelnen langen Draht ergibt sich daraus ein konzentrisches Kreismuster um die Drahtachse, das mit zunehmendem Abstand schwächer wird.
Feldlinien eines geraden Leiters. Je dichter die Linien, desto stärker das Feld. Linien verlaufen immer geschlossen.
Die Lorentzkraft ist die Kraft, die ein Magnetfeld auf bewegte Ladungen ausübt. Sie steht senkrecht auf der Geschwindigkeit und auf , ihr Betrag hängt vom eingeschlossenen Winkel ab.
Eigenschaften der Lorentzkraft: steht stets senkrecht auf (). Sie verrichtet daher keine Arbeit, und der Betrag bleibt konstant. Ebenso gilt . Ist die Geschwindigkeit parallel zum Feld (), so verschwindet die Kraft (). Maximale Kraft tritt bei auf (). Für positive Ladungen zeigt in Richtung , für negative Ladungen entgegengesetzt.
Teilchen (gelb) auf Kreisbahn im B-Feld. Rot: Lorentzkraft . Grün: Geschwindigkeit .
Da immer senkrecht auf steht, ändert sie nur die Richtung, nicht den Betrag der Geschwindigkeit. Eine Kraft, die stets senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt, ist per Definition eine Zentripetalkraft. Das Ergebnis ist eine Kreisbahn.
Eine perfekte Kreisbahn entsteht nur im homogenen Magnetfeld. Nur wenn überall gleich ist, bleibt der Radius konstant. Bei inhomogenem ändert sich ständig: die Bahn driftet und ist kein geschlossener Kreis (Gradientendrift).
Im homogenen Magnetfeld mit bewegt sich eine Ladung auf einer perfekten Kreisbahn. Die Lorentzkraft liefert die nötige Zentripetalkraft. Aus dem Kräftegleichgewicht folgen alle wichtigen Bahngrössen.
B (blau, z-Achse), v (grün, tangential), F = q(v×B) zum Zentrum. F steht immer auf v und B.
Hat das Teilchen eine zusätzliche Geschwindigkeitskomponente parallel zu (), so überlagert sich die Kreisbewegung mit einer geradlinigen Bewegung längs der Feldlinien. Das Resultat ist eine Helix (Schraubenbahn). Der Radius bestimmt sich aus dem senkrechten Anteil , die Steigung aus .
Ein stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld erfährt eine Kraft. Diese ist die makroskopische Summe der Lorentzkräfte auf alle bewegten Ladungsträger. Pro Volumenelement wirkt die Kraftdichte mit der Stromdichte .
Integriert über den Leiterquerschnitt und entlang des Leiters folgt die Stromkraftformel. Sie ist die Grundlage aller Elektromotoren, Lautsprecher und Galvanometer.
Stromleiter im homogenen B-Feld. Die Kraft sinkt auf null, wenn Strom und Feld parallel sind.
Eine Stromschleife im Magnetfeld erfährt ein Drehmoment, das sie in Richtung des Feldes ausrichtet. Dies ist das Funktionsprinzip des Elektromotors. Die Schleife verhält sich wie ein magnetischer Dipol mit Moment , wobei die Flächennormale (Rechte-Hand-Regel zur Stromrichtung) ist.
Stromschleife dreht sich ins Gleichgewicht (). Drehmoment .
Im Vakuum existiert nur eine Feldgrösse, . In Materie unterscheidet man zwei verwandte Grössen: die magnetische Erregung oder Feldstärke (materialunabhängig, hängt nur von freien Strömen ab) und die magnetische Flussdichte (berücksichtigt zusätzlich die Magnetisierung des Materials).
Die beiden hängen über die relative Permeabilität und die Magnetisierung zusammen. Für lineare Materialien (dia- und paramagnetisch) ist eine Konstante; für ferromagnetische Stoffe hängt sie vom Feld ab (Hysterese).
. Verschiedene Materialien () bei gleichem -Feld zeigen verschiedene -Felder.
Im Magnetfeld werden bewegte Ladungsträger quer zur Stromrichtung abgelenkt. In einer dünnen Platte sammeln sie sich an einer Seitenfläche an, die andere wird positiv. Es baut sich eine Hallspannung auf, deren elektrisches Feld die magnetische Ablenkung gerade kompensiert: das Stromdichteprofil bleibt gleichförmig.
Das Vorzeichen von verrät den Typ der Ladungsträger: Elektronen () und Defektelektronen (, Löcher in Halbleitern) werden in entgegengesetzte Richtungen abgelenkt und liefern entgegengesetzte . So entdeckt man Halbleiter-Typ ( oder ) und Trägerdichte in einem Experiment.
Hall-Sensor: Strom fliesst horizontal, B-Feld senkrecht. Die Hallspannung entsteht quer dazu.
Im Massenspektrometer werden geladene Teilchen zunächst durch eine Beschleunigungsspannung auf eine bestimmte Geschwindigkeit gebracht und dann im homogenen Magnetfeld auf eine Halbkreisbahn umgelenkt. Da der Bahnradius direkt vom Verhältnis abhängt, lassen sich Teilchen verschiedener Masse oder Ladung nach Auftreffort räumlich trennen.
Drei Isotope mit verschiedenem werden im B-Feld auf verschiedene Radien abgelenkt.
Das Ampèresche Gesetz verknüpft die Zirkulation des -Feldes entlang einer geschlossenen Kurve mit dem von dieser Kurve eingeschlossenen Strom. Es ist das magnetische Analogon zum Gauss'schen Gesetz für das elektrische Feld und vereinfacht die Berechnung des Magnetfeldes drastisch, sobald genügend Symmetrie vorliegt.
Ampèrescher Integrationsweg (gestrichelt) um einen Leiter. .
Mit dem Ampèreschen Gesetz und der Kreissymmetrie berechnet man das -Feld eines unendlich langen geraden Leiters mit Radius . Innen () ist nur ein Teil des Stroms eingeschlossen, aussen () der gesamte Strom .
: Das Feld fällt ausserhalb des Leiters mit dem Abstand ab. Graph zeigt -Verlauf.
Beim Toroid (Donut-förmige Spule mit Windungen, Innenradius ) verläuft das Feld vollständig im Innern: aussen ist . Ein Ampèrescher Kreis mit Radius im Innern des Torus liefert das Feld direkt.
Toroid: Das Magnetfeld ist vollständig im Innern eingeschlossen. Aussen .
Im langen Solenoid (Spule mit Länge , Windungszahl , Windungen pro Länge) ist das Feld innen homogen und axial gerichtet, ausserhalb näherungsweise null. Mit einem Ampèreschen Rechteckweg, dessen ein Schenkel innen, der andere aussen liegt, folgt direkt das berühmte .
Solenoid mit Ampèreschem Rechteckweg. Homogenes Feld innen, Fransen an den Enden.
Die Maxwell-Gleichungen beschreiben alle Erscheinungen des Elektromagnetismus, von der elektrostatischen Anziehung bis zur Lichtwelle. Sie verknüpfen die elektrischen und magnetischen Felder und mit ihren Quellen (Ladungen und Strömen) und untereinander. James Clerk Maxwell vereinheitlichte 1865 die Arbeiten von Coulomb, Gauss, Ampère und Faraday und ergänzte sie durch den entscheidenden Verschiebungsstrom ().
Es gibt zwei äquivalente Formen: die Integralform (über Flächen und geschlossene Kurven) und die Differentialform (lokal, mit und ). Beide enthalten dieselbe Information; die Differentialform ist mathematisch eleganter, die Integralform anschaulicher. Hier in der Vakuumform mit und . In Materie (siehe § 3.12) kommen und als Hilfsfelder hinzu.
-Raster aller vier Maxwell-Gleichungen mit animierten Feldlinien und physikalischer Bedeutung.
Maxwell erweiterte das Ampèresche Gesetz um den Verschiebungsstrom . Ein zeitlich veränderliches -Feld wirkt wie ein Strom und erzeugt ein -Feld, obwohl gar keine Ladungen fliessen. Damit schliesst sich der Stromkreis sogar im Kondensatorzwischenraum: zwischen den Platten fliesst kein Leitungsstrom, aber das wachsende -Feld liefert genau den fehlenden Beitrag für .
Ohne den Verschiebungsstrom wäre das Ampère-Gesetz inkonsistent: ein Ampère-Kreis um den Kondensator-Zuleitungsdraht würde, je nachdem ob die Hilfsfläche durch den Draht oder zwischen die Platten gelegt wird, verschiedene Werte für den eingeschlossenen Strom liefern. Mit stimmen beide Wahlen überein, und die Kontinuität der Stromdichte ist erfüllt.
Ladender Kondensator: -Feld ändert sich. Verschiebungsstrom erzeugt -Feld zwischen den Platten.
Das Biot-Savart-Gesetz berechnet das -Feld eines beliebigen Stromelements am Aufpunkt . Es ist die Basis für die Berechnung von Spulen und Leitern jeder Form: Wo das Ampère-Gesetz wegen mangelnder Symmetrie nicht direkt anwendbar ist (z.B. endlicher Draht, Helmholtz-Spule, beliebige Kurven), liefert Biot-Savart das Resultat als Integral.
Die Struktur ist analog zum Coulomb-Gesetz: -Abfall, Vorfaktor statt , vektorielles Kreuzprodukt statt skalares . Während das Coulomb-Gesetz das radiale -Feld einer Punktladung gibt, liefert Biot-Savart das tangentiale -Feld eines Stromfadens.
Einzelnes Stromelement : Beitrag senkrecht auf und . -Abfall.
Integration des Biot-Savart-Gesetzes über einen endlichen geraden Leiter im Abstand liefert ein winkelabhängiges Resultat. Für einen unendlich langen Draht vereinfacht sich das Ergebnis zur bekannten Form , in voller Übereinstimmung mit dem Ampèreschen Gesetz.
Gerader Leiter: -Verlauf und Feldlinienmuster. Winkelabhängigkeit bei endlicher Länge.
Für eine kreisförmige Stromschleife (Radius , Strom ) berechnet Biot-Savart das axiale -Feld in Abstand vom Ringzentrum entlang der Symmetrieachse. Aus Symmetriegründen heben sich die Komponenten senkrecht zur Achse auf, übrig bleibt der axiale Beitrag , mit . Die Integration ist trivial, da am ganzen Ring konstant ist.
Kreisschleife: -Profil auf der Achse. Maximum im Zentrum, Abfall wie für grosse .
Zwei koaxiale, gleichsinnig durchflossene Kreisschleifen (Radius , Strom ) im Abstand erzeugen ein bemerkenswert homogenes Feld im Mittelpunkt zwischen ihnen. Die Anordnung ist optimal, wenn gewählt wird. Dann verschwinden im Zentrum nicht nur die erste, sondern auch die zweite Ableitung von , sodass das Feld über einen weiten Bereich nahezu konstant ist.
Zwei Spulen im Abstand : -Profil zeigt maximale Homogenität. Vergleich mit .
Eine Änderung des magnetischen Flusses durch eine Leiterschleife induziert eine elektromotorische Kraft (EMK , in V). Dies ist die Grundlage aller Generatoren, Transformatoren und induktiven Sensoren. Faraday entdeckte den Effekt 1831 und zeigte: Strom kann durch Magnetismus ohne Berührung erzeugt werden, sofern sich der Fluss ändert.
Der magnetische Fluss durch eine Fläche ist das Flächenintegral . Er kann sich aus drei Gründen ändern: (1) ändert sich (transformator-induktion), (2) ändert sich (Flächenänderung), oder (3) der Winkel zwischen und ändert sich (rotierende Schleife).
Oszillierender Fluss und induzierte EMK als Graphen. ist die zeitliche Ableitung von .
Die Lenz'sche Regel formuliert die Richtung des Induktionsstroms: Der induzierte Strom ist so gerichtet, dass sein Magnetfeld der Ursache seiner Entstehung entgegenwirkt. Sie ist eine direkte Konsequenz der Energieerhaltung: würde der Induktionsstrom die Ursache verstärken, ergäbe sich eine sich selbst verstärkende Kette und damit Energie aus dem Nichts.
Anziehender Magnet erzeugt zunehmenden Fluss. Der induzierte Strom erzeugt ein abstossendes Feld (Lenz).
Eine feste Schleife in einem zeitlich veränderlichen -Feld erhält eine induzierte EMK. Die Schleifenfläche bleibt konstant, aber ändert sich. Das ist der typische Fall im Transformator: Primärspule erzeugt , Sekundärspule fühlt und liefert eine Sekundärspannung.
Wachsendes in ruhender Schleife: ändert sich, .
Bewegt sich ein Teil der Leiterschleife (z.B. eine Schiene) bei konstantem , so ändert sich die eingeschlossene Fläche . Auch das ergibt eine induzierte EMK, die sogenannte Bewegungsspannung (engl. motional EMF). Sie lässt sich auf zwei Wegen herleiten: (1) per Faraday mit ; (2) per Lorentzkraft auf die Ladungsträger im bewegten Stab. Beide liefern dasselbe Resultat.
Gleitschiene in konstantem : wachsende Fläche . wächst, .
Ein bewegter Stabmagnet verändert den Fluss durch eine ruhende Spule. Das Galvanometer zeigt den induzierten Strom. Er ist proportional zur Geschwindigkeit des Magneten. Solange der Magnet ruht, ist und es fliesst kein Strom, egal wie nah der Magnet ist. Bewegt er sich auf die Spule zu, steigt und der induzierte Strom ist so gerichtet, dass sein Magnetfeld den Magneten abstösst (Lenz). Beim Herausziehen kehrt sich die Stromrichtung um.
Stabmagnet nähert sich einer Spule. Galvanometerausschlag proportional zur Annäherungsgeschwindigkeit.
Aus relativistischer Sicht sind beide Fälle physikalisch äquivalent: ob der Magnet sich bewegt oder die Schleife. Die induzierte EMK ist dieselbe. Im Bezugssystem der Schleife sieht man ein zeitlich veränderliches -Feld (Faraday-Induktion), im Bezugssystem des Magneten sieht man eine bewegte Schleife in konstantem -Feld (Lorentz-Induktion). Beide Beschreibungen liefern dasselbe Resultat, weil und sich beim Wechsel des Bezugssystems ineinander transformieren.
Seite-an-Seite-Vergleich: Magnet bewegt sich (links) vs. Schleife bewegt sich (rechts). Gleiche EMK.
Eine Spule erzeugt durch ihren eigenen Strom einen magnetischen Fluss durch sich selbst. Ändert sich , so ändert sich auch , und die Spule induziert in sich selbst eine Spannung. Dieses Phänomen heisst Selbstinduktion. Der Proportionalitätsfaktor zwischen Fluss und Strom ist die Induktivität , eine geometrieabhängige Materialkonstante.
Solenoid mit oszillierendem Strom. --Graph zeigt linearen Zusammenhang: Steigung = .
Die Spannung an einer Spule ist proportional zur zeitlichen Stromänderung. Das Minuszeichen entspricht der Lenz'schen Regel: die Spule widersetzt sich Änderungen. Schnelle Stromänderungen erzeugen sehr grosse Spannungen, was beim plötzlichen Abschalten gefährliche Spannungsspitzen erzeugen kann (Schaltüberspannungen).
Wechselstromkreis: und . Phasenverschiebung sichtbar.
Aus dem Solenoidfeld und der Induktivitätsdefinition berechnet man die Induktivität eines langen Solenoids. Das Ergebnis enthält drei wichtige Skalierungsregeln, die für jeden Spulenentwurf wichtig sind.
Solenoid mit variierendem . Balkendiagramm zeigt . Aktuell gewähltes hervorgehoben.
Zwei Spulen, die sich magnetisch beeinflussen, sind über die Gegeninduktivität gekoppelt. Sie misst, welcher Anteil des von Spule 1 erzeugten Flusses durch Spule 2 läuft. Der Kopplungsfaktor gibt diesen Anteil relativ zum geometrischen Maximum an: bedeutet keine Kopplung, ideale Kopplung (alle Feldlinien gemeinsam, wie in einem geschlossenen Eisenkern).
Primär- und Sekundärspule. Grüne Pfeile = gemeinsamer Fluss. Rote Pfeile = Streufluss.
Ein wechselnder Primärstrom induziert in der Sekundärspule eine Spannung . Bei sinusförmigem Verlauf eilt die induzierte Spannung dem Strom um nach (Cosinus statt Sinus, siehe Ableitung). Die Amplitude wächst proportional zu und zur Frequenz , was höhere Frequenzen für Transformatoren attraktiv macht (kleinere Bauformen).
Zwei Graphen: und . Sichtbare Phasenverschiebung.
Der ideale Transformator überträgt elektrische Energie verlustfrei. Spannungen verhalten sich wie Windungszahlen, Ströme umgekehrt. Leistung ist erhalten: . Die Idealisierung 'verlustfrei' bedeutet: keine ohmschen Wicklungsverluste, keine Streuverluste, keine Eisenverluste (Hysterese, Wirbelströme), .
E-Kern-Transformator: Primärspule (grün, ) und Sekundärspule (lila, ). .
Ein RL-Kreis (Batterie , Widerstand , Induktor in Serie) wird zum Zeitpunkt geschlossen. Die Spule verhindert einen sofortigen Stromanstieg (sie wirkt zunächst wie ein offener Schaltkreis). Der Strom steigt exponentiell mit der Zeitkonstante auf seinen Endwert an.
RL-Kreis mit Batterie, Schalter, Widerstand und Spule. Der Strom steigt exponentiell, während von auf fällt. Drei Graphen: , , .
Im stationären Zustand fliesst . Beim Öffnen des Schalters fällt die Batterie weg. Die Spule treibt den Strom weiter (sie 'wehrt sich' gegen die Stromänderung): er klingt exponentiell ab gemäss . Die im Magnetfeld gespeicherte Energie wird im Widerstand als Joule-Wärme dissipiert. Beim plötzlichen Öffnen (z.B. Relaiskontakt, Schalter) entstehen hohe Spannungsspitzen, die Schaltkontakte zerstören oder Funken erzeugen können.
RL-Kreis: Schalter öffnet. Strom klingt exponentiell ab, wird negativ (Spule als Quelle).
RL-Einschalten und RC-Laden gehorchen der gleichen DGL-Form: . Beim RL-Kreis steigt der Strom , beim RC-Kreis die Spannung . Die Spule hält den Strom konstant (wirkt wie ein 'Schwungrad' für Strom), der Kondensator die Spannung (wirkt wie ein 'Schwungrad' für Spannung). Die beiden Bauelemente sind Dualpartner: , .
Direktvergleich: RL-Kreis (links) vs. RC-Kreis (rechts). Beide Kurven: .
Ein stromdurchflossener Induktor speichert Energie im Magnetfeld. Die Arbeit zum Aufbau des Stroms von auf ergibt sich durch Integration der momentanen Leistung über die Zeit. Da , wird das ein einfaches Integral . Bei Wechselstrom oszilliert mit doppelter Frequenz () und ist stets .
Solenoid mit sinusförmigem Strom. Energiebalken zeigt . Graphen: und .
Die magnetische Energie ist nicht im Stromkreis lokalisiert, sondern im Feld selbst verteilt. Pro Volumen gilt die Energiedichte . Die Gesamtenergie folgt durch Integration über das Volumen: . Da , bedeutet doppeltes vierfache Energiedichte. Die Formel ist universell: sie gilt nicht nur im Solenoid, sondern überall wo ein -Feld existiert (auch bei elektromagnetischen Wellen, im Erdmagnetfeld, im interstellaren Raum).
Solenoid mit variierendem -Feld. Farbintensität zeigt lokale Energiedichte. Balkendiagramm vergleicht bei verschiedenen .
In Serie geschaltete Induktivitäten verhalten sich wie Widerstände in Serie: gleicher Strom durch alle, Spannungen addieren sich. . Das ist genau das Gegenteil von Kondensatoren in Serie (wo gilt). Voraussetzung: keine magnetische Kopplung zwischen den Spulen (); andernfalls kommen Mischterme hinzu.
Drei Induktivitäten in Serie. Gleicher Strom durch alle. Balkendiagramm mit Einzelwerten und Summe.
Parallel geschaltete Induktivitäten: gleiche Spannung an allen, Ströme addieren sich. . ist immer kleiner als das kleinste Einzel-. Mehr Strom fliesst durch das kleinere (geringerer induktiver Blindwiderstand ). Voraussetzung wie zuvor: keine Kopplung zwischen den Spulen.
Drei Induktivitäten parallel. Mehr Strom durch kleineres . Balkendiagramm zeigt .
Das allgemeine Induktionsgesetz fasst alle Mechanismen der elektromagnetischen Induktion in einer einzigen Formel zusammen. Egal ob sich ändert, die Fläche variiert oder beides gleichzeitig geschieht: die EMK ist immer . Die anschauliche Trennung in 'Faraday-Induktion' (zeitabhängiges , ruhende Schleife) und 'motional EMF' (bewegte Schleife, konstantes ) ist nur eine Aufteilung der totalen Ableitung.
Drei Szenarien: (1) Feste Schleife mit änderndem ( erzeugt -Wirbelfeld). (2) Bewegte Begrenzung bei konstantem (Lorentzkraft). (3) Beides gleichzeitig. Alle ergeben .
Das klassische Schienenexperiment: Ein leitender Stab gleitet auf zwei parallelen Schienen in einem homogenen -Feld. Die EMK entsteht mikroskopisch durch die Lorentzkraft auf Ladungen im bewegten Leiter und stimmt exakt mit der Faraday-Herleitung über überein. Das ist kein Zufall, sondern eine notwendige Konsistenz: beide Beschreibungen müssen dieselbe physikalische Spannung liefern.
Stab auf Schienen im -Feld. Oben: duale Herleitung (Faraday & Lorentz). Unten: -Graph proportional zu . Stromdots zeigen Lenz'sche Richtung.
Diamagnetismus ist in allen Materialien vorhanden. Elektronen auf Kreisbahnen erzeugen durch die Lenz'sche Regel ein entgegengesetztes magnetisches Moment, wenn ein äusseres -Feld angelegt wird. Der Effekt ist sehr klein () und temperaturunabhängig. Diamagnetische Stoffe werden aus Magnetfeldern leicht herausgedrängt (allerdings sehr schwach).
Links: Atom-Modell mit Elektronenbahnen. Rechts: Materialprobe im wechselnden -Feld. Die Präzessionsfrequenz ändert sich, induziertes zeigt gegen .
Paramagnetische Materialien besitzen permanente magnetische Momente (z.B. ungepaarte Elektronenspins), die ohne äusseres Feld zufällig orientiert sind. Ein äusseres -Feld richtet sie teilweise aus, was die Magnetisierung in Feldrichtung erhöht. Der Effekt ist temperaturabhängig: thermische Bewegung wirkt der Ausrichtung entgegen, daher das Curie-Gesetz .
Materialprobe mit 15 Dipolen. Ohne : zufällige Ausrichtung. Mit : teilweise Ausrichtung. Netto- und -Vergleichsbalken zeigen den schwachen Verstärkungseffekt.
Ferromagnetische Materialien (Fe, Ni, Co und ihre Legierungen) besitzen Weiss-Bezirke (magnetische Domänen). Innerhalb jeder Domäne sind die Spins parallel ausgerichtet, die Domänen aber zufällig orientiert, sodass die Probe makroskopisch unmagnetisch erscheint. Ein äusseres richtet die Domänen aus. Beim Abschalten kehrt nicht auf null zurück, ein Teil der Ausrichtung bleibt erhalten: Hysterese. Über der Curie-Temperatur wird das Material paramagnetisch, weil thermische Bewegung die Domänenstruktur zerstört.
Oben: Weiss-Bezirke mit farbigen Domänen. Domänen, die mit ausgerichtet sind, wachsen. Unten: Hysteresekurve mit Remanenz , Koerzitivfeldstärke und Sättigung .
Die drei Materialtypen (dia-, para-, ferromagnetisch) reagieren im gleichen äusseren -Feld dramatisch verschieden. Die Magnetisierung (magnetisches Moment pro Volumen, ) ist das Mass dafür, wie stark sich das Material magnetisiert. Die Grundgleichung verbindet und und beschreibt alle drei Fälle einheitlich.
Drei Materialproben nebeneinander mit - und -Pfeilen. Logarithmisches Balkendiagramm zeigt die dramatischen Grössenunterschiede von .
Eine rechteckige Leiterschleife ( Windungen, Fläche ) rotiert mit Winkelgeschwindigkeit in einem homogenen -Feld. Der magnetische Fluss ändert sich sinusförmig. Nach Faraday entsteht eine Wechselspannung . Das ist das Funktionsprinzip jedes Generators und jeder Lichtmaschine.
Die Spitzenspannung hängt von vier Grössen ab: Windungszahl , Feldstärke , Schleifenfläche und Drehzahl . In der Praxis gibt man Wechselgrössen als Effektivwert an: . Das europäische Netz hat , also eine Spitzenspannung von bei .
Rotierende Spule im -Feld erzeugt Wechselspannung. , .
Ein ohmscher Widerstand an Wechselspannung verhält sich genau wie bei Gleichstrom: gilt zu jedem Zeitpunkt. Strom und Spannung sind daher in Phase (). Beide erreichen ihr Maximum gleichzeitig.
Die gesamte zugeführte Leistung wird im Widerstand in Wärme umgewandelt (reine Wirkleistung, keine Blindleistung). Die Momentanleistung pulsiert mit doppelter Frequenz , ist aber nie negativ: der Widerstand gibt nie Energie zurück.
und in Phase. Momentanleistung pulsiert mit doppelter Frequenz, nie negativ.
Eine ideale Induktivität an Wechselspannung: Da , muss der Strom dem Spannungsverlauf um nacheilen. Die Amplitude ist mit dem induktiven Blindwiderstand .
steigt linear mit der Frequenz: bei hohen Frequenzen bremst die Spule den Strom stärker (Tiefpass-Verhalten). Bei Gleichstrom () ist . Die ideale Spule ist ein Kurzschluss für DC.
Da Strom und Spannung um verschoben sind, ist die mittlere Leistung . Die Spule nimmt in einer Viertelperiode Energie auf und gibt sie in der nächsten zurück: reine Blindleistung.
hinkt um nach. Merkspruch: 'Bei Induktivitäten die Ströme sich verspäten'.
Ein idealer Kondensator an Wechselspannung: Der Strom ist proportional zur Änderungsrate der Spannung (). Daher eilt der Strom der Spannung um vor, genau umgekehrt wie bei der Spule.
Der kapazitive Blindwiderstand sinkt mit steigender Frequenz: bei hohen Frequenzen fliesst mehr Strom durch den Kondensator (Hochpass-Verhalten). Bei Gleichstrom () ist . Der Kondensator sperrt DC vollständig.
Auch hier ist die mittlere Leistung . Der Kondensator speichert Energie im E-Feld und gibt sie wieder ab: reine Blindleistung, genau wie bei der Spule.
eilt um vor. Merkspruch: 'Am Kondensator der Strom eilt vor'.
Die komplexe Impedanz vereint Widerstand (Realteil ) und Reaktanz (Imaginärteil ) in einer einzigen Grösse. Sie ist die Verallgemeinerung des ohmschen Widerstands auf Wechselstromkreise: gilt für komplexe Amplituden genau wie für Gleichstrom.
Jedes Bauelement hat seine eigene Impedanz: (rein reell), (rein imaginär, positiv) und (rein imaginär, negativ). In der Gauss-Ebene liegt auf der reellen Achse, zeigt nach oben und nach unten.
Der Betrag bestimmt das Amplitudenverhältnis , die Phase die Phasenverschiebung zwischen und . Impedanzen addieren sich in Serie und folgen der Kehrwertregel parallel, genau wie Widerstände.
in der Gauss-Ebene: kapazitiv, Resonanz, induktiv je nach .
Ein Phasor ist ein rotierender Zeiger in der komplexen Ebene. Die Projektion auf die reelle Achse ergibt die physikalische Zeitfunktion: . Statt mit Sinus- und Cosinus-Funktionen zu rechnen, arbeitet man mit komplexen Amplituden .
Die mathematische Grundlage ist die Euler-Formel: . Sie verbindet die Exponentialfunktion mit Sinus und Cosinus. Multiplikation mit dreht den Zeiger um den Winkel . So wird Phasenverschiebung zur einfachen Multiplikation.
Im Phasordiagramm sieht man die Phasenbeziehung zwischen und auf einen Blick: Der Winkel zwischen den Zeigern ist . Bei zeigen beide in dieselbe Richtung, bei liegt vor , bei liegt vor .
Rotierende Phasoren für und . Die -Projektion ergibt die physikalische Zeitfunktion.
Das Impedanzdreieck ist die geometrische Darstellung von : liegt horizontal (Wirkanteil), liegt vertikal (Blindanteil), ist die Hypotenuse. Der Winkel zwischen und bestimmt die Phasenverschiebung.
Das Dreieck ändert sich mit der Frequenz: bei tiefen Frequenzen dominiert (kapazitiv, ), bei hohen (induktiv, ). Bei Resonanz ist und das Dreieck kollabiert auf die horizontale Achse: , .
Aus dem Impedanzdreieck liest man direkt den Leistungsfaktor ab: . Je näher an , desto mehr Wirkleistung wird übertragen, desto weniger nutzlose Blindleistung.
Impedanzdreieck mit variabler Frequenz: kapazitiv, Resonanz, induktiv.
In der RLC-Serieschaltung fliesst der gleiche Strom durch alle drei Elemente. Die Teilspannungen , , haben jedoch verschiedene Phasen und addieren sich daher vektoriell, nicht arithmetisch.
Die Gesamtimpedanz ist . Da und gegenphasig sind ( Unterschied), heben sie sich teilweise auf. Bei Resonanz gilt und die gesamte Quellenspannung fällt über ab.
Achtung: Die Betragsaddition ergibt nicht . Wegen der Phasenverschiebung gilt . Einzelne Teilspannungen können sogar grösser als sein (Spannungsüberhöhung bei Resonanz).
RLC-Serie: Schaltbild, Zeitverläufe und Phasorendiagramm. und sind gegenphasig.
Bei der Resonanzfrequenz sind die induktive und kapazitive Reaktanz gleich gross (). Sie heben sich auf, die Impedanz wird minimal () und der Strom maximal ().
Der Gütefaktor bestimmt die Schärfe der Resonanzkurve: hohes bedeutet eine schmale, scharfe Spitze (gute Frequenzselektivität), niedriges eine breite, flache Kurve. Die Bandbreite ist (Halbwertsbreite, ).
Im verlustfreien LC-Schwingkreis () pendelt die Energie zwischen und : und tauschen sich periodisch aus. Die Gesamtenergie bleibt konstant. Das elektromagnetische Analogon zum mechanischen Federpendel.
Resonanzkurve und . LC-Energieaustausch: const.
In Wechselstromkreisen unterscheidet man drei Leistungsarten: die Wirkleistung (tatsächlich verbrauchte Leistung, in W), die Blindleistung (zwischen Quelle und L/C pendelnde Leistung, in VAr) und die Scheinleistung (Gesamtbelastung der Leitung, in VA).
Die drei Grössen bilden das Leistungsdreieck: horizontal, vertikal, als Hypotenuse. Es gilt . Der Winkel ist derselbe wie im Impedanzdreieck. Der Leistungsfaktor gibt an, welcher Anteil der Scheinleistung tatsächlich Nutzarbeit verrichtet.
Energieversorger verlangen , da ein kleiner Leistungsfaktor höhere Ströme bei gleicher Nutzleistung bedeutet (höhere Leitungsverluste ). Kompensation mit einem Parallel-Kondensator reduziert die induktive Blindleistung und erhöht .
Leistungsdreieck: (Wirk-), (Blind-), (Schein-). : rein ohmsch.
Wähle eine Aufgabe und versuche sie selbst zu lösen. Aktiviere die Checkbox, um die vollständige Musterlösung mit Rechenweg zu sehen.
Die Aufgaben für dieses Kapitel werden in einer zukünftigen Version ergänzt.