VI.8 Der Satz von Stokes

1.1 Eine Frage zuerst

Stell dir eine geschlossene Schleife $\partial S$ irgendwo im Raum vor, etwa einen Drahtring, der schief im Wind hängt. Du willst die Arbeit eines Vektorfelds $\mathbf{v}$ entlang dieser Schleife. Erste Idee: Wegintegral aus Kap. VI.7 ansetzen, also Schleife parametrisieren, Tangente bilden, Skalarprodukt, integrieren. Bei einer krummen Schleife im 3D oft mühsam.

Stokes dreht die Frage um. Spann irgendeine Fläche $S$ in die Schleife, wie eine Seifenhaut in einen Drahtring. Dann ist die Arbeit auf dem Rand gleich dem Fluss der Rotation $\operatorname{rot}\mathbf{v}$ durch diese Fläche. Krummes Wegintegral wird Flächenintegral, oder umgekehrt. Du suchst dir aus, welche der zwei Rechnungen einfacher ist.

1.2 Theorem-Statement

Bevor wir die Formel hinschreiben, klären wir die Voraussetzungen. Die sind keine Beiwerk-Fussnote: sobald eine davon verletzt ist, gilt der Satz nicht mehr (Section 2). Vier Punkte:

(1) $\mathbf{v}$ ist ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einem Definitionsbereich $D(\mathbf{v}) \subset \mathbb{R}^3$. Heisst: alle partiellen Ableitungen, die in $\operatorname{rot}\mathbf{v}$ stecken, existieren und sind stetig.

(2) $S \subset \mathbb{R}^3$ ist eine beschränkte Fläche (zweidimensional, evtl. krumm im Raum) mit $S \subset D(\mathbf{v})$. Achtung: ganz $S$ muss im Definitionsbereich liegen, nicht nur ihr Rand.

(3) $\partial S$ ist der Rand von $S$, eine geschlossene Kurve (siehe Kap. VI.3). Bei einer Kreisscheibe etwa: der Kreisrand. Bei einer Halbkugelschale: der Äquator.

(4) $\mathbf{n}$ ist der Normaleneinheitsvektor auf $S$, orientiert nach Daumenregel der rechten Hand: Daumen zeigt in $\mathbf{n}$, die Finger krümmen sich in Durchlaufrichtung von $\partial S$.

In Worten: die Arbeit auf der Randkurve $\partial S$ ist gleich dem Fluss der Rotation durch die Fläche $S$. Linke Seite ist eine Rechnung auf einer 1D-Kurve, rechte Seite eine Rechnung auf einer 2D-Fläche. Welche der beiden leichter ist, hängt von der Aufgabe ab; die Sektionen 6 und 7 zeigen, wann welche Richtung lohnt.

1.3 Daumenregel als Bild

Die Konvention im Satz steckt in einem Handzeichen. Stell dir die rechte Hand vor: Daumen zeigt in Richtung $\mathbf{n}$, die Finger krümmen sich in Durchlaufsinn von $\partial S$. Bei einer flachen Kreisscheibe in der $xy$-Ebene mit $\mathbf{n} = +\hat{\mathbf{e}}_z$ (nach oben): $\partial S$ läuft im Gegenuhrzeigersinn (von oben gesehen). Drehst du die Normale um auf $\mathbf{n} = -\hat{\mathbf{e}}_z$: dann läuft $\partial S$ im Uhrzeigersinn.

Wer die Konvention vertauscht (Normale richtig, Durchlauf falsch oder umgekehrt), kriegt das Vorzeichen des Resultats geflippt. Die Aufgabentexte verstecken die Vorgabe gerne: „von oben gesehen“, „im Uhrzeigersinn“, „Normale mit positiver $z$-Komponente“. Lies die Aufgabe zweimal und notiere $\mathbf{n}$ und Durchlaufsinn explizit, bevor du integrierst.

1.4 Wozu der Trick taugt

Wann lohnt sich Stokes? Pragmatisch: immer dann, wenn eine der zwei Seiten der Identität deutlich einfacher ist als die andere. Drei dankbare Konstellationen:

(a) $\operatorname{rot}\mathbf{v} \equiv \mathbf{0}$ auf einer passenden Fläche $S$. Flussintegral verschwindet, also ist auch die Arbeit null. Bekanntes Beispiel: alle Gradientenfelder $\mathbf{v} = \nabla f$ erfüllen $\operatorname{rot}\nabla f = \mathbf{0}$ (Identität aus VI.2), das Coulombfeld $\mathbf{E} = e\mathbf{r}/r^3$ ausserhalb des Ursprungs.

(b) $\operatorname{rot}\mathbf{v}$ konstant auf $S$. Flussintegral ist Konstante mal Flächeninhalt, fertig in einer Zeile.

(c) $\operatorname{rot}\mathbf{v}$ einfach und $S$ in einer Koordinatenebene. Skalarprodukt $\operatorname{rot}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}$ pickt eine Komponente raus, Flächenintegral wird zum Doppelintegral in zwei Variablen.

2.1 Stetig differenzierbar auf ganz $S$

Diese Voraussetzung ist die wichtigste und die am häufigsten verletzte. Wie beim Divergenzsatz reicht es nicht, dass $\mathbf{v}$ auf der Randkurve $\partial S$ wohldefiniert ist. Auch ein einziger Punkt im Inneren der Fläche $S$, an dem $\mathbf{v}$ nicht stetig differenzierbar ist, killt den Satz.

Klassisches Gegenbeispiel. Das Magnetfeld eines geraden Stromleiters lautet $\mathbf{B} = 2J\,(-y/(x^2+y^2),\, x/(x^2+y^2),\, 0)$. Sein Definitionsbereich ist $\mathbb{R}^3$ ohne die $z$-Achse, denn auf der Achse explodiert der Nenner. Eine Kreisscheibe in der $xy$-Ebene um den Ursprung enthält den singulären Punkt; Stokes ist also nicht direkt anwendbar.

Die globale Aussage $\oint_W \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = 4\pi J$ gilt trotzdem (siehe VI.7 Sec 6.4), aber im Distributionssinne, nicht über einen direkten Stokes-Tausch.

2.2 Geschlossene Kurve Pflicht

Der Satz braucht $\partial S$ als Rand einer Fläche, also eine geschlossene Kurve. Eine offene Kurve mit zwei freien Enden (etwa ein Halbkreis-Bogen oder ein Spline-Stück) ist nicht der Rand einer Fläche und scheidet direkt aus.

Standard-Lösung. Ergänze ein Hilfsstück $W'$, sodass $W \cup W'$ geschlossen wird. Wähle $S$ als Fläche mit $\partial S = W \cup W'$, wende Stokes an, ziehe am Ende das Wegintegral über $W'$ ab.

2.3 $\mathbf{n}$-Orientierung konsistent mit Durchlaufsinn

Die Daumenregel ist Konvention im Satz, kein Beiwerk. Wer $\mathbf{n}$ falsch herum wählt oder $\partial S$ in der falschen Richtung durchläuft, kriegt einen Vorzeichen-Flip im Resultat.

Aufgaben verstecken die Vorgabe gerne in der Formulierung: „von oben gesehen“, „im Uhrzeigersinn“, „Normalenvektor mit positiver $z$-Komponente“, „äussere Normale“. Lies die Aufgabe zweimal, notiere $\mathbf{n}$ und Durchlaufsinn explizit, bevor du parametrisierst. Diese 30 Sekunden sparen oft fünf Minuten Vorzeichen-Suchen am Ende.

3.1 Rotation als Wirbelarbeit pro Fläche

Bisher hatten wir die Rotation aus Kap. VI.2 nur als Rechenrezept gesehen: $\operatorname{rot}\mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{v}$, ein formales Kreuzprodukt. Was die Vektor-Grösse an einem Punkt eigentlich bedeutet, blieb undurchsichtig: drei Komponenten, jede eine Differenz von zwei partiellen Ableitungen, ohne klare geometrische Lesart.

Mit Stokes in der Hand bekommen wir eine zweite Lesart, die viel anschaulicher ist. Die Rotation an einem Punkt $\mathbf{r}_0$, projiziert auf eine Achse $\mathbf{n}$, ist die Zirkulation pro Flächeneinheit einer kleinen Schleife um $\mathbf{r}_0$, deren Fläche senkrecht zu $\mathbf{n}$ steht. Wirbelarbeit pro Fläche, gemessen in einer Achse.

3.2 Mittelwertsatz-Argument

Wie kommen wir formal zur Limes-Definition? Sei $\mathbf{n}$ ein fester Einheitsvektor, $\mathbf{r}_0$ ein fester Punkt, und $S_r$ eine kleine Fläche um $\mathbf{r}_0$ mit $\mathbf{n}$ als Normale; $C_r = \partial S_r$ ist die Randkurve. Aus dem Mittelwertsatz für Flächenintegrale folgt: es gibt einen Punkt $P_r \in S_r$ mit

Anschaulich: $P_r$ ist der Punkt mit „durchschnittlicher Rotations-Komponente entlang $\mathbf{n}$“ über $S_r$. Schrumpft jetzt die Fläche $S_r$ auf $\mathbf{r}_0$ zu (also $\operatorname{Fläche}(S_r) \to 0$), so wird auch $P_r \to \mathbf{r}_0$ erzwungen ($P_r$ liegt in $S_r$). Aus der Stetigkeit von $\operatorname{rot}\mathbf{v}$ folgt $\operatorname{rot}\mathbf{v}(P_r) \to \operatorname{rot}\mathbf{v}(\mathbf{r}_0)$.

3.3 Limes-Definition

Setze die Mittelwert-Identität zusammen mit Stokes auf $S_r$. Aus $\iint_{S_r} \operatorname{rot}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}O = \int_{C_r} \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ wird mit dem Mittelwert eine Punkt-Aussage. Teile durch $\operatorname{Fläche}(S_r)$ und schicke die Fläche auf null:

In Worten: die Komponente der Rotation entlang einer Achse $\mathbf{n}$ ist der Limes der Zirkulation pro Fläche, gemessen auf einer schrumpfenden Schleife um den Punkt mit Achse $\mathbf{n}$. Damit hat das vorher abstrakte $\operatorname{rot}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}$ eine geometrische Bedeutung, die nicht von Koordinaten abhängt.

3.4 Maximal bei paralleler Stellung

Aus der Limes-Formel folgt eine starke geometrische Aussage. $\operatorname{rot}\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}$ ist ein Skalarprodukt: es wird maximal, wenn $\mathbf{n}$ und $\operatorname{rot}\mathbf{v}$ parallel zeigen, und null, wenn sie senkrecht aufeinander stehen.

Geometrisch heisst das: die Achse, um die das Feld am stärksten wirbelt, ist genau die Richtung von $\operatorname{rot}\mathbf{v}$ selbst, und der Betrag $|\operatorname{rot}\mathbf{v}|$ ist die Wirbelstärke. Das ist die mathematische Begründung für das Paddel-Rad-Bild aus Kap. VI.2: die Achse, in die sich das Rad am stärksten dreht, zeigt in $\operatorname{rot}\mathbf{v}$, und die Drehrate ist proportional zu $|\operatorname{rot}\mathbf{v}|/2$.

4.1 Definition wirbelfrei

Ein Vektorfeld $\mathbf{v}$ heisst wirbelfrei auf einem Gebiet $D$, wenn $\operatorname{rot}\mathbf{v} \equiv \mathbf{0}$ überall auf $D$. Anschaulich: ein Paddel-Rad an irgendeiner Stelle in $D$ dreht sich nicht, egal wie du es ausrichtest.

Bekannte Beispiele aus VI.2: alle Gradientenfelder $\mathbf{v} = \nabla f$ sind wirbelfrei (Identität $\operatorname{rot}\nabla f = \mathbf{0}$); das Coulombfeld $\mathbf{E} = e\mathbf{r}/r^3$ ist wirbelfrei ausserhalb des Ursprungs; jedes homogene Feld $\mathbf{v}(\mathbf{r}) = \mathbf{a}$ ist wirbelfrei.

4.2 Erste Konsequenz: $A = 0$ auf jedem Rand

Was sagt Stokes, wenn $\operatorname{rot}\mathbf{v} \equiv \mathbf{0}$ auf $S$? Die rechte Seite verschwindet, weil der Integrand überall null ist. Also auch die linke:

Anschaulich: bei einem wirbelfreien Vektorfeld ist die Arbeit auf jedem geschlossenen Weg null, der Rand einer Fläche $S \subset D(\mathbf{v})$ ist. Spart oft die ganze Rechnung. Voraussetzung ist allerdings, dass die Fläche $S$ ganz im Definitionsbereich von $\mathbf{v}$ liegt; das schliesst Wege aus, die einen singulären Punkt umrunden.

4.3 Zweite Konsequenz: gleicher Rand → gleicher Wert

Stell dir zwei verschiedene Flächen $S_1$ und $S_2$ vor mit demselben Rand $\partial S_1 = \partial S_2$. $S_1$ wölbt sich nach oben wie eine Halbkugelschale, $S_2$ ist flach wie ein Deckel; dazwischen liegt ein Volumen.

Wenn $\mathbf{v}$ wirbelfrei auf einer einfach zusammenhängenden Region ist, die beide Flächen enthält, dann gilt $\iint_{S_1} \operatorname{rot}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}O = \iint_{S_2} \operatorname{rot}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}O$. Beide Flächenintegrale messen dieselbe Wegintegral-Aussage über den gemeinsamen Rand. Die Wahl der Fläche ist also egal, nur ihr Rand zählt; das ist die topologische Tiefe des Stokes'schen Satzes.

4.4 Dritte Konsequenz: Wegunabhängigkeit

Aus 4.2 folgt direkt die Wegunabhängigkeit der Arbeit in einem wirbelfreien Feld auf einer einfach zusammenhängenden Region. Für zwei beliebige Wege $W_1, W_2$ von $P$ nach $Q$ im Gebiet gilt $\int_{W_1} \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_{W_2} \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$.

Begründung in zwei Sätzen: $W_1 + (-W_2)$ ist ein geschlossener Weg, also Rand einer Fläche im Gebiet, also Arbeit null nach 4.2. Daher heben sich Hinweg und Rückweg auf, und beide Hinweg-Arbeiten müssen gleich sein. Diese Charakterisierung führt direkt zum Begriff Potentialfeld in Kap. VI.10.

5.1 Idee

Wir beweisen Stokes für die einfachste Fläche: ein achsenparalleles Rechteck $S = [a,b] \times [c,d] \times \{e\}$, also ein flaches Rechteck in einer Ebene parallel zur $xy$-Ebene. Aussennormale $\mathbf{n} = (0,0,1)^\top$ (nach oben), Rand im Gegenuhrzeigersinn von oben gesehen.

Der Beweis für allgemeine Flächen folgt durch Triangulierung der Fläche in viele kleine Rechteck-artige Stücke; auf jedem Stück gilt die hier gezeigte Aussage, und die Beiträge der inneren Trennlinien heben sich beim Aufsummieren auf. Das Skelett des Arguments ist hier; die volle Triangulierungs-Ausarbeitung steht in der Mitschrift.

5.2 Setup und Komponenten

Mit $\mathbf{n} = \hat{\mathbf{e}}_z$ pickt das Skalarprodukt $\operatorname{rot}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}$ nur die $z$-Komponente von $\operatorname{rot}\mathbf{v}$ raus:

5.3 Hauptsatz pro Komponente

Wir zeigen $\iint_S (v_{2,x} - v_{1,y})\,\mathrm{d}O = \int_{\partial S} \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$. Linke Seite zerlegen wir in die zwei Summanden und werten jeden mit dem Hauptsatz der Analysis I aus, einmal in $x$, einmal in $y$.

5.4 Identifikation mit den 4 Seiten

Die vier Randintegrale aus 5.3 entsprechen genau den vier Seiten des Rechtecks im Gegenuhrzeigersinn. Schreibe pro Seite die Tangentenrichtung und das Skalarprodukt $\mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ explizit hin:

Rechte Seite: $x = b$, $y$ läuft von $c$ nach $d$, Tangente $+\hat{\mathbf{e}}_y$. Beitrag $+\int_c^d v_2(b,y,e)\,\mathrm{d}y$.

Obere Seite: $y = d$, $x$ läuft von $b$ nach $a$, Tangente $-\hat{\mathbf{e}}_x$. Beitrag $-\int_a^b v_1(x,d,e)\,\mathrm{d}x$.

Linke Seite: $x = a$, $y$ läuft von $d$ nach $c$, Tangente $-\hat{\mathbf{e}}_y$. Beitrag $-\int_c^d v_2(a,y,e)\,\mathrm{d}y$.

Untere Seite: $y = c$, $x$ läuft von $a$ nach $b$, Tangente $+\hat{\mathbf{e}}_x$. Beitrag $+\int_a^b v_1(x,c,e)\,\mathrm{d}x$.

Summe der vier Beiträge ist $\int_{\partial S} \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$. Vergleich mit den Hauptsatz-Resultaten aus 5.3 zeigt: $\iint_S (v_{2,x} - v_{1,y})\,\mathrm{d}O$ entspricht genau dieser Summe. ∎

6.1 Übersichts-Tabelle

In Klausur-Aufgaben mit Stokes tauchen immer wieder dieselben Standard-Flächen auf. Die Tabelle gibt einen Überblick auf einer Zeile pro Geometrie; die folgenden Subsections holen jede Fläche einzeln raus mit Parametrisierung, Bereich und Hinweis auf den Rand $\partial S$.

6.2 Kreisscheibe in Koordinatenebene

Die einfachste berandete Fläche und der häufigste Stokes-Trick: Kreisscheibe mit Radius $R$ in der $xy$-Ebene. Spezialfall einer Graph-Fläche mit $f \equiv 0$.

6.3 Halbkugelschale (oberer Halbraum)

Obere Halbkugelschale mit Radius $R$ um den Ursprung: $\{(x,y,z) : x^2+y^2+z^2 = R^2,\, z \geq 0\}$. Standard-Param mit Polarwinkel $v$ und Azimut $u$.

Vorzeichen-Disziplin. $\vec{r}_u \times \vec{r}_v$ zeigt für diese Param INNEN, also zum Ursprung hin. Für die Aussennormale $\mathbf{n} = +\hat{\mathbf{r}}$ braucht es ein zusätzliches Minus, wie in VI.4 Sec 5 für die Sphäre. Konvention im Satz: $\mathbf{n}$ per Daumenregel zum Durchlaufsinn von $\partial S$.

6.4 Zylindermantel (ohne Deckel)

Zylindermantel mit Radius $R$ und Höhe $h$, Achse auf der $z$-Achse, ohne obere und untere Kreisscheibe. Standard-Param mit Azimut $u$ und Höhe $v$.

6.5 Kegelmantel

Stehender Kegelmantel mit Spitze unten und Radius $R$ am offenen oberen Ende der Höhe $h$. Standard-Param mit Slant-Distanz $s$ und Azimut $u$.

6.6 Graph $z = f(x,y)$

Allgemeinster Standardfall: Fläche als Graph einer Funktion über einem Bereich $B$ in der $xy$-Ebene. Die natürliche Parametrisierung ist $(u, v, f(u,v))$, der Rand $\partial S$ ist das Bild der Bereichs-Berandung $\partial B$ unter $f$.

Anschauliche Beispiele. Bei zentrierten Bereichen $B =$ Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius $a$ ist $\partial B$ ein Kreis und $\partial S$ die gehobene Kurve $f(a\cos t, a\sin t)$. Spezialfälle: $f \equiv 0$ ergibt die flache Kreisscheibe aus 6.2; $f(u,v) = h\,(1 - \sqrt{u^2+v^2}/R)$ ergibt einen flachgedrückten Kegel.

6.7 Hilfsstücke: offene Kurve schliessen

Wenn die Aufgabe ein Wegintegral über eine offene Kurve $W$ verlangt (zwei freie Enden), lässt sich Stokes nicht direkt anwenden. Standard-Trick: ergänze ein Hilfsstück $W'$, sodass $W \cup W'$ geschlossen wird und Rand einer wählbaren Fläche $S$ ist.

Klassische Hilfsstücke. Geradenstück auf einer Koordinatenachse, Kreisbogen in einer Koordinatenebene, oder gerade Verbindung zwischen den zwei Endpunkten von $W$. Wahl so, dass $\int_{W'} \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ trivial wird: Standard-Param ist gerade, Skalarprodukt fällt einfach aus, oder $\mathbf{v}$ steht senkrecht zur Tangente von $W'$ (dann Beitrag null).

7.1 Strategien-Liste

Für jede Aufgabe mit Stokes oder Wegintegral entlang einer geschlossenen Schleife läufst du diese Reihenfolge durch. Wer sie einhält, erreicht das Resultat oft in einer Zeile.

(1) Wirbelfreiheits-Check zuerst. Falls $\operatorname{rot}\mathbf{v} \equiv \mathbf{0}$ auf einer Fläche $S$ mit $\partial S = W$: Arbeit ist null, Punkt. Beispiel: alle Gradientenfelder, das Coulombfeld ausserhalb des Ursprungs. Spart die ganze Integration.

(2) Stokes-Tausch in die einfachere Richtung. Wegintegral kompliziert, Rotation einfach (Konstante, simple Funktion in einer Koord.-Ebene)? Tausch zu Flussintegral. Umgekehrt: Flussintegral mühsam, Wegintegral leichter? Tausch zu Wegintegral.

(3) Fläche $S$ klug wählen. Bei Vorgabe nur der Schleife $\partial S$ ist $S$ frei wählbar. Nimm die Fläche, für die $\operatorname{rot}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}$ einfach wird. Standard-Wahl: flache Kreisscheibe in einer Koordinatenebene (Section 6.2), Halbkugel oder Kegel bei rotationssymmetrischer Schleife.

(4) Hilfsstück-Strategie für offene Wege. Schleife nicht geschlossen? Schliessungs-Stück $W'$ ergänzen, Stokes auf $W \cup W'$, Hilfsstück-Integral abziehen (Section 6.7).

(5) Singularitäten ausschneiden. Falls $\mathbf{v}$ in einem Punkt der Fläche singulär ist (z. B. Magnetfeld eines Stromleiters auf der Achse): kleine Scheibe um die Singularität rausschneiden, Stokes auf die Restfläche, Beitrag der Hilfsscheibe direkt rechnen. Vorgriff auf Kap. VI.9 (Faraday und Ampère).

Aufgaben mit Musterlösungen

Übungsaufgaben werden in Kürze ergänzt.

Die Aufgaben für dieses Kapitel werden in einer zukünftigen Version ergänzt.