VI.10 Potentialfelder

1.1 Eine Beobachtung

Stell dir vor, du läufst in einem Kraftfeld $\mathbf{v}$ von Punkt $P$ nach Punkt $Q$. Du kannst den geraden Weg nehmen, einen Umweg über einen Berg, oder eine Schraubenlinie wählen. Im allgemeinen Fall hängt die Arbeit, die das Feld am Teilchen leistet, vom gewählten Weg ab. Die Wegintegrale aus Kap. VI.7 müssen für jede Parametrisierung neu durchgerechnet werden, und die Resultate dürfen ruhig verschieden ausfallen.

Aber in manchen Vektorfeldern spielt die Pfadwahl keine Rolle. Drei beliebige Wege $W_1, W_2, W_3$ von $P$ nach $Q$ liefern alle dieselbe Arbeit. Diese Felder heissen konservativ, und sie sind das Hauptthema dieser Page. Wenn du am Ende dieser Page weisst, wie man konservative Felder erkennt und ihr Potential konstruiert, hast du die ganze Vektoranalysis-Werkzeugkiste komplett.

1.2 Definition konservativ

Definition. Ein Vektorfeld $\mathbf{v}$ heisst konservativ, wenn die Arbeit zwischen zwei beliebigen Punkten $P, Q$ unabhängig vom gewählten Weg ist. Formal:

Wichtige Bemerkung. Für verschiedene Punktepaare darf die Arbeit aber durchaus verschieden gross sein. Die Wegunabhängigkeit gilt nur, wenn Start- und Endpunkt fix sind. Verschiebst du den Endpunkt $Q$ um ein Stück, ändert sich der Wert des Wegintegrals; das ist der ganze Sinn der Sache, der Wert misst Energie zwischen zwei Lagen, nicht die Pfad-Form.

1.3 Erste Konsequenz: $A = 0$ für $P = Q$

Wähle als Spezialfall $P = Q$, also Start gleich Endpunkt. Der konstante Weg $\mathbf{r}(t) = P$ erfüllt trivialerweise $\dot{\mathbf{r}}(t) = \mathbf{0}$, sein Wegintegral ist also null. Wegen Wegunabhängigkeit muss dann auch jede andere Verbindung $P \to P$ den Wert null liefern.

Folgerung: in einem konservativen Feld ist die Arbeit auf jedem geschlossenen Weg null.

2.1 Hauptsatz

Die Definition über alle Punktepaare ist für konkrete Aufgaben unhandlich. Eine prüfbare Charakterisierung erleichtert das Leben. Sie folgt aus 1.3 plus einem kleinen Argument.

In Worten: ein Vektorfeld ist genau dann konservativ, wenn die Arbeit auf jedem geschlossenen Weg verschwindet. Eine prüfbare Bedingung, die du im konkreten Fall an einer Schleife testen kannst, statt für alle möglichen Punktepaare quantifizieren zu müssen.

2.2 Beweis-Skizze

Die Richtung ‚konservativ ⇒ $\oint = 0$' folgt direkt aus 1.3 (geschlossener Weg ist Spezialfall $P = Q$, Trivialweg liefert null, Wegunabhängigkeit drückt es auf alle Schleifen durch).

Spannender ist die andere Richtung. Angenommen, alle geschlossenen Integrale verschwinden. Wir wollen daraus die Wegunabhängigkeit folgern.

3.1 Definition Potentialfeld

Ein Skalarfeld $f: D \to \mathbb{R}$ liefert über den Gradienten ein Vektorfeld. Aus VI.2 wissen wir, was das in Komponenten heisst:

Definition Potentialfeld. Ein Vektorfeld der Form $\mathbf{v} = \operatorname{grad} f$ mit $D(\mathbf{v}) = D(f)$ heisst Potentialfeld oder Gradientenfeld. Die Funktion $f$ heisst Potential von $\mathbf{v}$.

In Worten: ein Potentialfeld ist ein Vektorfeld, das aus einem Skalarfeld via Gradient gewonnen wird. Statt drei Komponenten $v_1, v_2, v_3$ einzeln zu spezifizieren, reicht eine einzige skalare Funktion $f$, und das Vektorfeld folgt durch Ableitung. Anschaulich: $f$ ist das ‚Höhenprofil', $\mathbf{v}$ zeigt überall in Richtung des steilsten Anstiegs.

Konkretes Beispiel aus der Physik. In der Mechanik ist die potentielle Energie $f(x, y, z) = mgh$ ein Höhenpotential, und ihr Gradient $\operatorname{grad} f$ liefert die Gravitationskraft. In der Elektrostatik ist das elektrische Potential $\varphi(x, y, z)$ ein Skalarfeld, und das elektrische Feld $\mathbf{E} = -\operatorname{grad}\varphi$ folgt durch (negative) Differenzierung. Die Vorzeichen-Konvention unterscheidet sich je nach Disziplin, das Konstruktionsprinzip ist identisch.

Diese Konstruktion ist nicht selbstverständlich: nicht jedes Vektorfeld lässt sich als Gradient eines Skalarfelds schreiben. Welche Vektorfelder das überhaupt erlauben, ist das Hauptthema der Sections 3.2 bis 5: konservativ, wirbelfrei, einfach zusammenhängend sind die drei Stichworte.

3.2 Potentialfeld ⇒ konservativ

Sei $\mathbf{v} = \operatorname{grad} f$ und $W$ ein Weg von $P$ nach $Q$ mit Parametrisierung $\mathbf{r}(t)$, $t \in [t_P, t_Q]$. Wir rechnen die Arbeit aus, schreiben das Skalarprodukt komponentenweise auf, und erkennen die Kettenregel für mehrere Variablen:

Das Resultat hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab, nicht vom Weg dazwischen. Also ist $\operatorname{grad} f$ konservativ. Die zentrale Identität verdient einen eigenen Hauptmerker:

3.3 Konservativ ⇒ Potentialfeld (Konstruktion)

Die Umkehrrichtung ist konstruktiv: wir bauen das Potential explizit aus dem Wegintegral. Sei $\mathbf{v}$ konservativ und wähle einen festen Referenzpunkt $P_0 \in D(\mathbf{v})$. Definiere für jeden Punkt $Q \in D(\mathbf{v})$:

Zu zeigen: $\operatorname{grad} f = \mathbf{v}$, also $f_x = v_1$, $f_y = v_2$, $f_z = v_3$ punktweise.

3.4 Beweis-Skizze für $f_x = v_1$

Wir zeigen die erste Komponente, die anderen zwei laufen analog. Setze $Q = (x, y, z)$ und $Q' = (x+h, y, z)$ mit kleinem $h > 0$. Wähle als Weg $L$ von $Q$ nach $Q'$ das gerade Segment in $x$-Richtung: $L(t) = (t, y, z)$ mit $t \in [x, x+h]$. Tangente $\dot{L} = (1, 0, 0)^\top$, also reduziert sich das Skalarprodukt: $\mathbf{v}(L(t)) \cdot \dot{L} = v_1(t, y, z)$.

Analog für $f_y$ und $f_z$. Damit ist $\operatorname{grad} f = (v_1, v_2, v_3)^\top = \mathbf{v}$.

3.5 Eindeutigkeit bis auf Konstante

Das konstruierte Potential $f$ hängt von der Wahl des Referenzpunkts $P_0$ ab: ein anderes $P_1$ liefert ein anderes Potential $g$. Beide unterscheiden sich aber nur um eine Konstante:

Lehre: Potentiale konservativer Vektorfelder sind nicht eindeutig, ihre Gradienten aber schon. In der Physik wird die Konstante typischerweise durch Wahl eines Bezugspotentials fixiert (Coulomb-Potential null im Unendlichen, Gravitations-Potential null am Erdboden, etc.). Mathematisch ist die Wahl beliebig.

3.6 Hauptsatz

Sec 3.2 hat ‚Potentialfeld ⇒ konservativ' gezeigt, Sec 3.3 und 3.4 die Umkehrung ‚konservativ ⇒ Potentialfeld'. Beide Richtungen zusammen ergeben den Hauptsatz dieser Page:

4.1 Identität rot grad = 0

Sei $\mathbf{v} = \operatorname{grad} f$ ein Potentialfeld. Was ist die Rotation davon? Wir setzen die Komponenten ein und nutzen das Schwarz-Lemma (Vertauschbarkeit zweiter partieller Ableitungen).

4.2 Folgerung: Potentialfeld ⇒ wirbelfrei

Aus 4.1 folgt unmittelbar:

Anwendung als Test: wenn du $\operatorname{rot}\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ an irgendeinem Punkt findest, kann $\mathbf{v}$ KEIN Potentialfeld sein und ist auch NICHT konservativ. Eine sehr billige Vorab-Prüfung mit drei partiellen Ableitungen, drei Differenzen, fertig. Sie ersetzt nichts (du musst danach noch konstruieren), aber sie schliesst Vektorfelder schnell aus.

4.3 Umkehrschluss-Frage

Ist jedes wirbelfreie Vektorfeld auch ein Potentialfeld? Direkter Beweisversuch via Stokes.

Sei $\operatorname{rot}\mathbf{v} \equiv \mathbf{0}$ und $W$ ein geschlossener Weg in $D(\mathbf{v})$. Falls $W$ der Rand einer Fläche $S \subset D(\mathbf{v})$ ist:

Damit ist $\oint = 0$ für diese Schleife, und nach Section 2 wäre $\mathbf{v}$ konservativ, also Potentialfeld. Aber: der Beweis verlangt, dass jeder geschlossene Weg in $D(\mathbf{v})$ Rand einer Fläche in $D(\mathbf{v})$ ist. Das ist eine topologische Bedingung an $D$, die nicht für alle Definitionsbereiche gilt.

4.4 Was schiefgeht: Löcher im Definitionsbereich

Wenn $D(\mathbf{v})$ ein Loch hat (ein Punkt oder eine Linie, die fehlt), gibt es geschlossene Wege $W$, die das Loch umschliessen. Für solche Wege gibt es keine Fläche in $D(\mathbf{v})$, deren Rand $W$ ist. Stokes ist nicht anwendbar, und $\oint \neq 0$ ist möglich, obwohl $\operatorname{rot}\mathbf{v} \equiv \mathbf{0}$ überall in $D(\mathbf{v})$ gilt.

Klassisches Gegenbeispiel. Das Magnetfeld $\mathbf{B}$ eines geraden Stromleiters auf der $z$-Achse erfüllt $\operatorname{rot}\mathbf{B} = \mathbf{0}$ auf $D(\mathbf{B}) = \mathbb{R}^3 \setminus \{z\text{-Achse}\}$. Aber für einen Kreisweg um die $z$-Achse ist $\oint \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = 4\pi J \neq 0$ (siehe VI.7 Sec 6.4). Das Magnetfeld ist also wirbelfrei, aber NICHT konservativ und kein Potentialfeld auf seinem Definitionsbereich.

5.1 Definition einfach zusammenhängend

Die topologische Bedingung, die der Stokes-Beweis aus 4.3 braucht, hat einen eigenen Namen.

Definition. Ein Gebiet $D \subset \mathbb{R}^3$ heisst einfach zusammenhängend (kurz EZH), wenn sich jeder geschlossene Weg in $D$ stetig auf einen Punkt zusammenziehen lässt, ohne dass $D$ verlassen werden muss.

5.2 Anschauliches Bild: Gummiband und Pfähle

Stell dir die Wege in $D$ als elastische Gummibänder vor. Kannst du jedes Gummiband zu einem Punkt zusammenziehen, ohne über die Grenzen von $D$ zu rutschen? Dann ist $D$ einfach zusammenhängend.

Falls nicht (zum Beispiel weil ein Pfahl mitten in $D$ steht, an dem das Gummiband hängenbleibt), ist $D$ NICHT einfach zusammenhängend. Der Pfahl ist hier Bild für ‚fehlender Punkt' (in 2D) oder ‚fehlende Linie' (in 3D), die das Zusammenziehen blockiert.

5.3 Beispiele

Sieben Standard-Gebiete und ob sie einfach zusammenhängend sind. Lies die Tabelle Zeile für Zeile durch und versuche die Anschauung pro Gebiet im Kopf zu durchspielen.

5.4 Faszinierender Unterschied: 2D vs 3D

Schau noch einmal auf Zeile 2 und Zeile 4 der Tabelle aus 5.3. $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ ist NICHT einfach zusammenhängend (eine Schleife um den Ursprung lässt sich nicht zusammenziehen, ohne über die Lücke zu rutschen). Aber $\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$ IST einfach zusammenhängend.

Der Unterschied: in 3D kannst du eine Schleife um den fehlenden Punkt einfach nach oben oder unten heben, über den fehlenden Punkt hinweg, und sie dann zusammenziehen. In 2D geht das nicht, weil keine dritte Dimension zum Ausweichen da ist.

5.5 Hinreichend-Satz

Mit dem EZH-Begriff können wir den Hinreichend-Satz aus Sec 4.3 sauber formulieren:

Beweis-Idee: wegen einfacher Zusammenhängbarkeit ist jeder geschlossene Weg $W \subset D(\mathbf{v})$ Rand einer Fläche $S \subset D(\mathbf{v})$ (das ist die topologische Konsequenz von EZH, formal nicht ganz trivial, aber anschaulich klar). Stokes liefert dann $\oint_W = \iint_S \operatorname{rot} = 0$. Nach Section 2 ist $\mathbf{v}$ konservativ und damit nach Section 3 ein Potentialfeld.

5.6 Achtung: hinreichend, nicht notwendig

Es gibt Potentialfelder mit nicht-EZH Definitionsbereich, die der Satz nicht aufgreift. Das ist der Witz: EZH ist eine bequeme Hinreichend-Bedingung, aber kein Muss.

Wenn $D(\mathbf{v})$ Löcher hat, kann $\mathbf{v}$ trotzdem konservativ sein, nur müsste man das anders nachweisen, zum Beispiel ein Potential explizit konstruieren und zeigen, dass es für alle Wege funktioniert. In der Praxis passiert das selten; meistens fragst du dich nur ‚EZH ja oder nein', und EZH liefert dir die schnelle Antwort.

6.1 Drei-Test-Schema

Bei jeder Frage ‚ist $\mathbf{v}$ ein Potentialfeld?' läufst du drei Tests in dieser Reihenfolge. Das Schema fasst die ganze Page in einer Tabelle zusammen.

Lesart der Tabelle: Schritt 1 ist der billige Vorab-Test. Schritt 2 entscheidet, ob die Topologie schon ein Potentialfeld garantiert. Nur wenn Schritt 2 fehlschlägt, brauchst du den manuellen Konstruktions-Versuch in Schritt 3.

6.2 Integrabilitätsbedingung in 3D

Die Bedingung $\operatorname{rot}\mathbf{v} = \mathbf{0}$ schreibt sich komponentenweise als drei Gleichungen, oft Integrabilitätsbedingung genannt. Für $\mathbf{v} = (\varphi, \psi, \chi)^\top$:

In Worten: die drei Komponenten von $\mathbf{v}$ müssen ‚zusammenpassen' im Sinne der Vertauschbarkeit zweiter Ableitungen. Das ist genau die Aussage $\operatorname{rot}\mathbf{v} = \mathbf{0}$ in Komponentenform.

6.3 Zwei Konstruktions-Methoden für $f$

Hat man festgestellt, dass $\mathbf{v}$ ein Potentialfeld ist, gibt es zwei Standard-Wege, $f$ explizit zu finden.

Methode A (sukzessive Antiderivierung). Integriere $v_1 = f_x$ nach $x$, mit $y$ und $z$ als Konstanten: $f(x,y,z) = \int v_1\,\mathrm{d}x + g(y,z)$. Bestimme die Integrationsfunktion $g(y,z)$ aus der zweiten Bedingung $v_2 = f_y$, dann den Rest aus $v_3 = f_z$. Rein algebraisch, ohne Wegintegral.

Methode B (Wegintegral nach Section 3.3). Wähle einen festen Referenzpunkt $P_0$ (oft den Ursprung) und einen einfachen Weg von $P_0$ nach $(x, y, z)$. Setze $f(x,y,z) := \int_W \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$. Funktioniert immer, ist aber meist umständlicher als Methode A.

6.4 Standard-Beispiele aus der Physik

Drei prominente Potentialfelder, die du auswendig kennen solltest. Konkrete Walkthroughs liefern die Animationen, hier nur die Resultate als Spickzettel.

7.1 Strategien-Liste

Zum Abschluss der Vektoranalysis-Reihe: die fünf Strategien für Aufgaben mit Potentialfeldern. Wenn du diese Reihenfolge einhältst, kommst du in den meisten Fällen in einer halben Seite zur Lösung.

(1) Rotation zuerst. $\operatorname{rot}\mathbf{v} = \mathbf{0}$ ist die billigste Vorab-Prüfung. Drei partielle Ableitungen, drei Differenzen. Wenn nicht null: definitiv kein Potentialfeld, fertig.

(2) Definitionsbereich prüfen. Ist $D(\mathbf{v})$ ganz $\mathbb{R}^3$? Oder $\mathbb{R}^3$ ohne einen Punkt (Coulomb-artig)? Beide Fälle sind EZH, also genügt schon Schritt 1. Ist $D(\mathbf{v})$ aber $\mathbb{R}^3$ ohne eine Linie (Magnet-Stromleiter), $\mathbb{R}^3$ mit einem Torus-Loch, oder $\mathbb{R}^2$ ohne einen Punkt: Vorsicht, EZH ist verletzt.

(3) Potential konstruieren mit Methode A. Wenn EZH erfüllt ist: wähle eine Komponente, integriere, schau auf die nächste Komponente, korrigiere. Iteratives Verfahren in drei Schritten für 3D, in zwei Schritten für 2D.

(4) Methode B als Fallback. Falls Methode A frustrierend wird (komplizierte Funktionsformen): nimm das Wegintegral mit einem geraden Weg vom Ursprung nach $(x, y, z)$, oft entlang der Koordinaten-Achsen.

(5) Potentialfeld → Arbeit als Differenz. Sobald du das Potential hast, ist jedes Arbeitsintegral ein Einzeiler: $A = f(Q) - f(P)$. Spart oft die mühsame Wegparametrisierung aus VI.7.

Aufgaben mit Musterlösungen

Übungsaufgaben werden in Kürze ergänzt.

Die Aufgaben für dieses Kapitel werden in einer zukünftigen Version ergänzt.