VI.7 Die Arbeit

1.1 Eine Frage zuerst

Stell dir vor, du schiebst eine Schubkarre einen Hügel hoch. Auf jedem Meter Weg drückst du gegen die Hangabtriebskraft an. Wie viel Kraft mal Weg insgesamt? Genau das ist Arbeit. Das ist die zweite zentrale Frage der Vektoranalysis (die erste war der Fluss aus Kap. VI.4): überall im Raum sitzt eine Kraft (das Vektorfeld $\mathbf{v}$), und ein Teilchen läuft auf einem Weg $W$ durch dieses Feld. Wir wollen die Gesamt-Arbeit, die das Feld am Teilchen leistet.

Dieselbe Frage taucht in vielen Disziplinen auf, mit unterschiedlichen Namen: in der Mechanik heisst sie Arbeit (Energie pro Teilchen), in der Strömungslehre Zirkulation (Netto-Umlauf), in der Elektrostatik Spannung (Energie pro Ladung), im Magnetismus Umlaufintegral. Eine Konstruktion, vier Bilder. Das Skalarprodukt $\mathbf{v} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$ ist in allen Fällen das Mini-Werkzeug, mit dem wir summieren.

1.2 Definition Weg

Bevor wir die Arbeit definieren, brauchen wir den Begriff des Wegs. Ein Weg $W$ von $P$ nach $Q$ ist eine Raumkurve mit Startpunkt $P$ und Endpunkt $Q$, die aus stückweise differenzierbaren Stücken besteht. Die Betonung liegt auf stückweise: einzelne Ecken oder Knicke sind erlaubt, solange jedes glatte Teilstück eine differenzierbare Parametrisierung hat.

Drei klassische Beispiele, die du gleich oft sehen wirst: (1) eine gerade Strecke von $P$ nach $Q$, also ein einziges glattes Stück. (2) ein gekrümmter Bogen, etwa ein Halbkreis oder eine Helix-Windung. (3) eine Polygonzug-Kombination, also mehrere gerade Stücke aneinandergehängt, mit Knicken zwischen den Segmenten.

1.3 Arbeit im homogenen, geradlinigen Spezialfall

Damit das Konzept zuerst greifbar ist, fangen wir mit dem einfachsten Fall an: das Feld $\mathbf{v}$ ist überall im Raum gleich (homogen), und der Weg ist eine gerade Strecke von $P$ nach $Q$. Sei $L = |\overrightarrow{PQ}|$ die Länge der Strecke und $\alpha$ der Winkel zwischen $\mathbf{v}$ und der Wegrichtung. Dann ist die Arbeit:

In Worten: nur der parallele Anteil der Kraft trägt zur Arbeit bei. Der senkrechte Anteil ($|\mathbf{v}|\sin\alpha$) ist „verlorene Kraft“ am tangentialen Weg, weil das Teilchen ja nicht in die senkrechte Richtung ausweicht. Die Identität $|\mathbf{v}|\,L\cos\alpha = \mathbf{v}\cdot\overrightarrow{PQ}$ ist nichts anderes als die Definition des Skalarprodukts.

1.4 Vom Spezialfall zur allgemeinen Formel

Im allgemeinen Fall ist $\mathbf{v}$ nicht konstant und $W$ nicht gerade. Trick aus Section 1.3: zerlege $W$ in infinitesimale gerade Stücke $\mathrm{d}\mathbf{r}$ (Vektor entlang Weg, infinitesimale Länge). Auf jedem Mini-Stück gilt der homogene Spezialfall: $\mathrm{d}A = \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$. Aufsummieren entlang $W$ gibt die Hauptdefinition:

In Worten: die Arbeit ist die Summe aller Mini-Skalarprodukte $\mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ entlang des Wegs. An jedem Punkt projiziert das Skalarprodukt das lokale Feld auf die lokale Wegrichtung. Wo das Feld stark in Wegrichtung zeigt, gibt's einen grossen Beitrag. Wo das Feld senkrecht zum Weg steht, gibt's null Beitrag. Wo das Feld gegen den Weg zeigt, gibt's einen negativen Beitrag, der die bisherige Arbeit reduziert.

2.1 Drei Fälle, drei Bilder

Die Arbeit ist eine vorzeichenbehaftete Grösse. Drei Fälle, jeder mit einem klaren Bild:

$A > 0$: Das Feld $\mathbf{v}$ schiebt das Teilchen entlang seines Wegs. Bild: Wind im Rücken, der Wanderer kommt schneller voran.

$A < 0$: Das Teilchen läuft gegen das Feld an, gibt dabei die Energie $|A|$ an das Feld ab. Bild: Wind ins Gesicht. Wer hochwandert gegen die Schwerkraft, leistet positive Arbeit gegen das Gravitationsfeld; das Feld leistet negative Arbeit am Wanderer.

$A = 0$: Feld steht überall senkrecht zum Weg, Skalarprodukt verschwindet. Bild: Wind weht von der Seite, treibt nicht voran und bremst nicht.

2.2 Wann ist die Arbeit trivial null?

Drei Bedingungen, unter denen $A = 0$ ohne jede Rechnung folgt:

(1) $\mathbf{v} \equiv \mathbf{0}$ auf $W$. Kein Feld, kein Drücken. Trivial.

(2) $\mathbf{v}(\mathbf{r}(t)) \perp \dot{\mathbf{r}}(t)$ für jedes $t$. Feld immer senkrecht zur Bewegung. Klassisches Beispiel: Gravitationsfeld $\mathbf{v} = -C\mathbf{r}/r^3$ entlang eines Kreises um den Ursprung. Das Feld zeigt radial nach innen, die Bahn ist tangential. Skalarprodukt überall null.

(3) Geschlossener Weg in einem wirbelfreien Feld. Wenn $\operatorname{rot}\mathbf{v} \equiv \mathbf{0}$ auf einer Fläche, die der Weg umrandet, und der Weg ist geschlossen ($P = Q$), dann ist die Arbeit null. Das ist der Vorgriff auf VI.10 (Potentialfelder) und folgt direkt aus dem Satz von Stokes (VI.8).

2.3 Vier physikalische Anwendungen

Dieselbe Konstruktion, vier Anwendungen mit eigenen Namen. Die Tabelle gibt einen Überblick; in Section 6 rollen wir jede Anwendung mit ihrer Schreibweise und Bedeutung aus.

3.1 Parametrisieren, was und warum

Um $\int_W \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ konkret auszurechnen, brauchen wir den Weg $W$ als Funktion eines Parameters $t$. Das ist die Übersetzung der Geometrie in eine Form, die man integrieren kann.

Sei $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))^{\top}$ mit $t \in [t_P, t_Q]$, wobei $\mathbf{r}(t_P)$ den Startpunkt $P$ und $\mathbf{r}(t_Q)$ den Endpunkt $Q$ liefert. Der Tangentialvektor ist $\dot{\mathbf{r}}(t) = (\dot{x}(t), \dot{y}(t), \dot{z}(t))^{\top}$, die komponentenweise zeitliche Ableitung der Parametrisierung.

Mit der Kettenregel folgt das Wegelement: $\mathrm{d}\mathbf{r} = \dot{\mathbf{r}}(t)\,\mathrm{d}t$. Eine differentielle Bewegung in Wegrichtung wird also zur Tangente mal infinitesimaler Zeitschritt.

3.2 Hauptformel parametrisiert

Setze $\mathrm{d}\mathbf{r} = \dot{\mathbf{r}}(t)\,\mathrm{d}t$ in die Definition $A = \int_W \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ ein. Das Integral wird zu einem gewöhnlichen Integral über $t$:

Komponentenweise ausgeschrieben sieht das Skalarprodukt unter dem Integral so aus:

3.3 Schritt-für-Schritt-Schema

Jede Aufgabe läuft nach demselben 4-Schritte-Schema ab. Schreib jeden Schritt explizit auf, bevor du den nächsten machst.

Schritt 1: Weg parametrisieren. Finde $\mathbf{r}(t)$ und das Intervall $[t_P, t_Q]$. Standard-Wege siehe Section 5: Geradenstück, Kreis, Ellipse, Helix, Polygonzug.

Schritt 2: Tangente bilden. Leite $\mathbf{r}(t)$ komponentenweise nach $t$ ab: $\dot{\mathbf{r}}(t) = (\dot{x}, \dot{y}, \dot{z})^{\top}$.

Schritt 3: Feld einsetzen. Setze in jeden Eintrag von $\mathbf{v}(x, y, z)$ die Parametrisierung ein, also $\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))$. Wer das vergisst, integriert am Ende über die falschen Variablen.

Schritt 4: Skalarprodukt und integrieren. Bilde $\mathbf{v}(\mathbf{r}(t))\cdot\dot{\mathbf{r}}(t)$ als Skalar; integriere über $t$ von $t_P$ bis $t_Q$.

4.1 Umkehrung

Sei $W$ ein Weg von $P$ nach $Q$. Der umgekehrte Weg $-W$ läuft denselben Pfad, aber vom Endpunkt $Q$ zurück zum Startpunkt $P$. Was passiert mit dem Wegintegral?

In Worten: die Tangente $\dot{\mathbf{r}}$ dreht sich um, Skalarprodukt flippt Vorzeichen, Integral flippt mit. Anschaulich: wer denselben Pfad rückwärts läuft, leistet die Arbeit mit umgekehrtem Vorzeichen. Das passt zur Energie-Lesart: was du auf dem Hinweg vom Feld bekommst, gibst du auf dem Rückweg ans Feld zurück.

4.2 Verkettung

Seien $W_1$ ein Weg von $P$ nach $Q$ und $W_2$ ein Weg von $Q$ nach $R$. Der zusammengesetzte Weg $W_1 + W_2$ ist der Weg von $P$ nach $R$, der erst $W_1$ und dann $W_2$ entlangläuft. Das Wegintegral spaltet sich auf:

4.3 Geschlossene Wege als Verkettung

Ein geschlossener Weg ist nichts anderes als $W + (-W')$ für zwei Wege $W, W'$ mit denselben Endpunkten: Hinweg minus Rückweg. Daher ist die Arbeit auf einem geschlossenen Weg $A_{\text{ges}} = A_{\text{Hin}} - A_{\text{Rück}}$.

Wegunabhängigkeit. Wenn die Arbeit nur von Start- und Endpunkt abhängt (also $A_{\text{Hin}} = A_{\text{Rück}}$ für jede Wahl der Pfade), verschwindet diese Differenz. Dann ist die Zirkulation auf jedem geschlossenen Weg null. Felder mit dieser Eigenschaft heissen konservativ oder Potentialfelder; sie sind das zentrale Thema von Kap. VI.10.

5.1 Übersichts-Tabelle

In Klausur-Aufgaben tauchen immer dieselben Weg-Typen auf. Die Tabelle listet Parametrisierung und Bereich auf einen Blick; die folgenden Subsections holen jede Geometrie einzeln raus mit Tangente und Anwendungs-Hinweis.

5.2 Geradenstück

Die häufigste Aufgabe: Arbeit auf einer geraden Verbindung von $\mathbf{r}_S$ nach $\mathbf{r}_E$. Die Standard-Parametrisierung interpoliert linear zwischen Start und Ende.

5.3 Kreis in der $xy$-Ebene

Ein Kreis vom Radius $R$ um den Ursprung in der $xy$-Ebene, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen:

5.4 Ellipse

Eine Ellipse mit Halbachsen $a$ (in $x$-Richtung) und $b$ (in $y$-Richtung), Mittelpunkt im Ursprung, in der $xy$-Ebene:

5.5 Helix (Schraubenlinie)

Eine Schraubenlinie, die um die $z$-Achse läuft mit konstantem Radius $R$ und Ganghöhe $h$ pro voller Umdrehung. Für $n$ Windungen:

5.6 Polygonzug und stückweise Wege

Ein Polygonzug aus $k$ Geradenstücken parametrisiert man stückweise: jedes Segment nach Schema 5.2 mit eigenem Intervall, dann via Verkettungs-Identität 4.2 aufsummieren.

Bei gemischten Wegen (Halbkreis plus Sehne, Bogen plus Gerade, Helix-Stück plus Kreis-Stück) dasselbe Vorgehen: jedes glatte Stück als eigene Subaufgabe behandeln, eigenes Intervall vergeben, Integral einzeln berechnen, am Ende addieren. Achte bei rückwärts-durchlaufenen Stücken auf das Vorzeichen aus 4.1.

6.1 Anwendungs-Tabelle

Vier physikalische Anwendungen, jede mit ihrer eigenen Schreibweise und Bedeutung. Die folgenden Subsections beschreiben drei davon mit Konzept und Bedeutung; konkrete Beispielrechnungen liefern die interaktiven Animationen unter den Standard-Wegen.

6.2 Strömung: Zirkulation

In einem Strömungsfeld $\mathbf{v}$ misst die Arbeit auf einem geschlossenen Weg den Netto-Umlauf der Strömung um die Schleife. Diese Grösse heisst Zirkulation und wird $\Gamma = \oint_W \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$ geschrieben. Der Kreis im Integralzeichen signalisiert: Start gleich Ende.

Anschaulich: stell dir ein Blatt vor, das auf einer Wasseroberfläche treibt und einer geschlossenen Bahn folgt. Dreht es sich nach einer vollen Runde um sich selbst, war die Zirkulation um diese Schleife ungleich null. Bleibt es ohne Drehung, ist die Strömung wirbelfrei innerhalb der Schleife (im Sinne von Section 4.3).

6.3 Elektrostatik: Spannung

In einem elektrischen Feld $\mathbf{E}$ misst die Arbeit pro Probeladung entlang eines Wegs die elektrische Spannung zwischen Start und Endpunkt: $U_{PQ} = \int_W \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}$, gemessen in Volt. Die Spannung sagt: wie viel Energie gewinnt eine Einheits-Ladung, wenn sie von $P$ nach $Q$ läuft.

Im konservativen elektrischen Feld (also dem statischen Feld der Elektrostatik) hängt $U_{PQ}$ nicht vom gewählten Weg ab, sondern nur von Start- und Endpunkt. Das ist die anwendungsorientierte Lesart der Wegunabhängigkeit aus Section 4.3.

6.4 Magnetfeld: Ampères Mini-Form

Um einen unendlichen geradlinigen Stromleiter mit Stromstärke $J$ entsteht ein Magnetfeld $\mathbf{B}$, dessen Feldlinien Kreise um den Leiter sind. Die Zirkulation dieses Feldes entlang eines geschlossenen Wegs $W$, der den Leiter einmal umschliesst, ist:

Das Faszinosum: das Resultat hängt nicht davon ab, wie weit weg der Weg vom Leiter ist, oder ob er kreisförmig oder eierförmig ist. Nur der umschlossene Strom zählt. Schiebst du den Weg von Radius 1 m auf Radius 100 m, bleibt $\oint \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = 4\pi J$. Verformst du ihn zu einer Ellipse, bleibt es. Ziehst du ihn neben den Leiter (Leiter nicht mehr umschlossen), springt es auf $0$.

7.1 Strategien-Liste

Bei jeder Klausur-Aufgabe läufst du die folgende Reihenfolge durch. Wer sie einhält, spart oft die ganze Integration und erreicht das Resultat in einer Zeile.

(1) Senkrechtheits-Check zuerst. Steht $\mathbf{v}$ überall senkrecht zu $\dot{\mathbf{r}}$? Typisch: radiales Feld (Gravitation, Coulomb, jeder radiale Fluss) auf einem Kreisweg um den Ursprung. Resultat $A = 0$ ohne Rechnung.

(2) Wirbelfreiheit und geschlossener Weg. Falls $\operatorname{rot}\mathbf{v} \equiv \mathbf{0}$ auf einer Fläche, die der Weg umrandet: Stokes-Argument liefert $A = 0$ in einer Zeile (Vorgriff Kap. VI.8). Falls Potentialfeld vorhanden: Differenz an Endpunkten, fertig (Vorgriff Kap. VI.10).

(3) Standard-Parametrisierung wählen. Geradenstück → 5.2. Kreis → 5.3. Ellipse → 5.4. Helix → 5.5. Stückweise → Verkettung 4.2.

(4) Vorzeichen kontrollieren. Aufgabentext lesen: „Gegenuhrzeigersinn“ oder „Uhrzeigersinn“? Standard-Parametrisierungen sind Gegenuhrzeigersinn; bei Uhrzeiger flippen oder $-\dot{\mathbf{r}}$ nehmen.

(5) Stückweise Wege per Verkettung. Polygonzüge oder Bogen-plus-Gerade segmentweise rechnen, am Ende per 4.2 addieren. Bei rückwärts-durchlaufenen Stücken Vorzeichen aus 4.1 nicht vergessen.

Aufgaben mit Musterlösungen

Übungsaufgaben werden in Kürze ergänzt.

Die Aufgaben für dieses Kapitel werden in einer zukünftigen Version ergänzt.