IV.1 Funktionen von zwei Variablen

Stell dir vor, du stehst auf einem Hügel. Zu jedem Punkt $(x, y)$ auf der Karte gehört eine Höhe über Meer. Genau das ist eine Funktion in zwei Variablen: jedem erlaubten Punkt der Ebene wird eine reelle Zahl zugeordnet.

In der Vorlesung definieren wir das so: nimm eine Teilmenge $A \subset \mathbb{R}^2$ der Ebene. Eine Funktion in zwei Variablen auf $A$ ist eine Vorschrift $f$, die jedem Punkt $(x, y) \in A$ genau eine reelle Zahl $f(x, y) \in \mathbb{R}$ zuordnet. Pingelig wichtig: pro Punkt genau eine Zahl, sonst keine Funktion.

Wie zeichnet man eine Funktion in zwei Variablen? In der Vorlesung haben wir den einfachen Trick gesehen: setze $z := f(x, y)$ und trage den Funktionswert als Höhe über der $xy$-Ebene auf.

Was rauskommt, ist eine Fläche im $\mathbb{R}^3$. Stell dir den Definitionsbereich $A$ als Wiese am Boden vor; über jedem Punkt $(x, y)$ markierst du eine Höhe $z = f(x, y)$. Positive Werte liegen über der $xy$-Ebene, negative darunter. Diese Höhenpunkte bilden die Fläche. In Section 4 geben wir der Fläche einen offiziellen Namen ($\Gamma(f)$, der Graph).

Bevor du eine Funktion auswertest, beantworte zwei Fragen. Wo darfst du einsetzen ($D(f)$)? Welche Werte kommen heraus ($W(f)$)?

In der Vorlesung haben wir das am Beispiel $g(x, y) = x^2 + y^2$ gesehen. Definitionsbereich: Quadrieren und Addieren funktioniert für jedes Paar reeller Zahlen, also $D(g) = \mathbb{R}^2$. Wertebereich: Quadrate sind nie negativ. Wert $0$ wird bei $x = y = 0$ erreicht, beliebig grosse Werte für grosse $|x|$ oder $|y|$. Damit $W(g) = [0, \infty)$.

Das einfachste Beispiel kennt jeder, der schon mal eine Wanderkarte gelesen hat: $f(x, y) =$ Höhe über Meer am Punkt $(x, y)$. Aus der Vorlesung kennen wir das als allererstes Beispiel.

Die berühmten Höhenlinien einer topografischen Karte sind genau die Niveaulinien dieses Höhenfelds. Section 5 holt das Konzept formal ein.

Ein zweites Beispiel kommt aus der Thermodynamik. Die Zustandsgleichung des idealen Gases verbindet Druck $p$, Volumen $V$, Stoffmenge $n$ und Temperatur $T$ über die Gaskonstante $R$.

In der Vorlesung lesen wir das als Funktion in zwei Variablen $T(p, V)$: gegeben Druck und Volumen, ergibt sich die Temperatur. Die zwei Variablen heissen hier nicht $x$ und $y$, sondern $p$ und $V$. Eine Funktion in zwei Variablen kann beliebige Buchstaben für ihre Argumente nehmen.

Als drittes Beispiel ein Klassiker aus der Physik. Eine harmonische Welle ist eine Sinusschwingung, die zugleich vom Ort $x$ und von der Zeit $t$ abhängt. Die zwei Variablen sind Ort und Zeit, der Funktionswert ist die Auslenkung der Welle.

In der Vorlesung sind die wichtigen Konstanten beschriftet: Amplitude $A$ ist der maximale Ausschlag, Periode $T$ die Dauer eines vollen Schwingungszyklus, Phasengeschwindigkeit $c$ die Geschwindigkeit, mit der ein Wellenberg wandert, Phasenverschiebung $\varphi$ der Startwert des Sinus.

Was ist die Phasengeschwindigkeit $c$? In der Vorlesung haben wir das so gesehen: setze $x = c \, t$. Dann wird $\frac{x}{c} - t = 0$, das Argument des Sinus bleibt konstant, und damit auch der Funktionswert. Anschaulich: ein Wellenberg wandert mit Geschwindigkeit $c$.

Die einfachste Form einer Funktion in zwei Variablen ist linear. In der Vorlesung haben wir das so gesehen: für gegebene $a, b, c \in \mathbb{R}$ heisst $f(x, y) = a\,x + b\,y + c$ eine lineare Funktion in zwei Variablen.

Definitionsbereich ist immer ganz $\mathbb{R}^2$. Wertebereich ist ganz $\mathbb{R}$, solange $(a, b) \neq (0, 0)$. Geometrisch: der Graph ist eine Ebene im $\mathbb{R}^3$. Die Konstante $c$ schiebt die Ebene in der Höhe, $a$ und $b$ regeln die Steigungen in $x$- und $y$-Richtung.

In 1.2 hatten wir schon das Bild: über jedem Punkt $(x, y)$ markieren wir die Höhe $z = f(x, y)$, und diese Höhenpunkte bilden eine Fläche. Jetzt geben wir dieser Fläche einen Namen.

In der Vorlesung haben wir den Graphen von $f$ so definiert: $\Gamma(f)$ ist die Menge aller Punkte $(x, y, z)$ im $\mathbb{R}^3$ mit $z = f(x, y)$ und $(x, y) \in D(f)$. Welche Form $\Gamma(f)$ hat, hängt von $f$ ab: Ebene bei linearer Funktion, Paraboloid bei $f = x^2 + y^2$, Sattel bei $f = x^2 - y^2$, Halbsphäre bei $g = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$.

Eine Höhenkarte zeichnet keinen Hügel, sie zeichnet Höhenlinien. Mathematisch heissen die Niveaulinien.

Die Idee: statt die ganze Fläche $\Gamma(f)$ im $\mathbb{R}^3$ zu zeichnen, sammeln wir alle Punkte $(x, y)$ mit gleichem Funktionswert in eine Kurve. Pro Niveauwert eine Kurve. Mehrere Niveaus zusammen ergeben eine Karte der Funktion.

In der Vorlesung haben wir das so definiert: für ein fixes $C \in \mathbb{R}$ ist die Niveaulinie zum Niveau $C$ die Menge aller Punkte $(x, y) \in D(f)$ mit $f(x, y) = C$. Zwei Niveaulinien zu verschiedenen Werten schneiden sich nie, sonst hätte $f$ am Schnittpunkt zwei Werte gleichzeitig.

Schauen wir auf das einfachste Beispiel mit konzentrischen Kreisen: $f(x, y) = x^2 + y^2$. Aus 1.3 wissen wir $D(f) = \mathbb{R}^2$, $W(f) = [0, \infty)$.

Setze $f(x, y) = C$, also $x^2 + y^2 = C$. Für $C \geq 0$ ist das eine Kreisgleichung um den Ursprung mit Radius $\sqrt{C}$. Für $C < 0$ keine reelle Lösung, also leer. Für $C = 0$ schrumpft der Kreis auf den einzigen Punkt $(0, 0)$. Geometrisch ist $\Gamma(f)$ ein Paraboloid (eine nach oben offene Schüssel).

Drehen wir das Vorzeichen um, kippt die Schüssel zu einem Sattel. Aus dem Paraboloid wird die Sattelfläche, die Niveaulinien werden zu Hyperbeln. In der Vorlesung haben wir das als wichtigstes Sattel-Beispiel gesehen.

Niveau-Gleichung $x^2 - y^2 = C$. Bei $C = 0$ hilft die dritte binomische Formel: $(x + y)(x - y) = 0$, also $y = x$ oder $y = -x$. Die Niveaulinie zum Niveau $0$ besteht aus zwei Geraden durch den Ursprung.

Für $C \neq 0$ kommen Hyperbeln. Bei $C > 0$ öffnen sich die Äste entlang der $x$-Achse (Probe $y = 0$: $x = \pm\sqrt{C}$). Bei $C < 0$ formen wir um zu $y^2 - x^2 = -C$, die Äste öffnen sich entlang der $y$-Achse.

Jetzt ein Beispiel, in dem der Definitionsbereich nicht ganz $\mathbb{R}^2$ ist. Die Wurzel verlangt $1 - (x^2 + y^2) \geq 0$, also $D(g) = \{x^2 + y^2 \leq 1\}$, die geschlossene Einheitskreisscheibe. Die Wurzel ist nichtnegativ und maximal $1$ (am Ursprung), also $W(g) = [0, 1]$.

Niveaulinien: setze $g(x, y) = C$, quadriere beide Seiten (beide nichtnegativ, also Äquivalenzumformung). Aus $C^2 = 1 - x^2 - y^2$ wird $x^2 + y^2 = 1 - C^2$. Das ist wieder eine Kreisgleichung, mit Radius $R(C) = \sqrt{1 - C^2}$. Definiert für $0 \leq C \leq 1$.

Hübsche Identität: Radius und Niveau erfüllen $R(C)^2 + C^2 = 1$. Die Punkte $(R(C), C)$ liegen selbst auf einem Einheitskreis. Genau das macht $g$ zur oberen Halbsphäre, also zur oberen Hälfte der Einheitssphäre $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ mit $z \geq 0$.

Manchmal schrumpft eine Niveaulinie zu einem Punkt, manchmal verschwindet sie ganz, manchmal füllt sie eine Region im $\mathbb{R}^2$ aus. Wir illustrieren das an der Halbsphäre $g$ aus 5.4.

Bei $C = 1$ gilt $x^2 + y^2 = 0$, also $x = y = 0$: die Niveaulinie schrumpft auf den einzigen Punkt $\{(0, 0)\}$. Bei $C > 1$ oder $C < 0$ liegt $C$ ausserhalb von $W(g) = [0, 1]$, die Niveaulinie ist die leere Menge.

Allgemein kann eine Niveaulinie auch eine ganze Fläche füllen, wenn $f$ auf einem Gebiet konstant ist.

Niveaulinien sind nicht abstrakt: jedes $pV$-Diagramm zeigt sie. Aus 2.2 kennen wir die Zustandsgleichung $T(p, V) = \frac{pV}{nR}$. Ihre Niveaulinien sind Punkte gleicher Temperatur im $pV$-Diagramm. Setzen wir $T = T_0$ konstant, ergibt sich $V = \frac{n R T_0}{p}$, eine Hyperbel im ersten Quadranten. Diese Hyperbeln heissen Isothermen.

Analog heissen Niveaulinien zu konstantem Druck Isobaren. Beides sind Niveaulinien einer Funktion in zwei Variablen, nur in der Sprache der Thermodynamik.

Vier Funktionen, die du auf einen Blick erkennen solltest. Sie decken praktisch alle Klausur-Beispiele für IV.1 ab.