IV.2 Partielle Ableitungen

Bevor wir das mit zwei Variablen angehen, kurz das aus Analysis I auffrischen. In einer Variable ist die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ die Steigung der Kurve genau dort. Formal: nimm einen winzigen Schritt $\Delta x$, miss wie stark $f$ sich ändert, teile durch $\Delta x$, und schau was passiert wenn $\Delta x$ gegen Null geht.

Drei Schreibweisen für dieselbe Sache: $f'(x)$, $\frac{df}{dx}(x)$ und $\frac{d}{dx}f(x)$. Welche du nutzt, hängt vom Geschmack ab. Inhaltlich identisch.

Stell dir den Graphen $z = f(x, y)$ als Hügelland vor. Über jedem Punkt $(x, y)$ der Ebene steht eine Höhe $f(x, y)$, und die Spitzen aller Höhen bilden eine Fläche im $\mathbb{R}^3$.

Bei einer Variable war die Ableitung die Steigung der Kurve. Bei zwei Variablen ist die Steigung des Hügels nicht eindeutig: je nach Himmelsrichtung kann es steil oder flach werden. Stell dir vor, du stehst auf einem Bergsattel. Nordwärts geht es bergauf, ostwärts bergab. Welche Steigung soll die Ableitung jetzt liefern?

Lösung der Vorlesung: zwei Spezial-Richtungen rauspicken, nämlich entlang der $x$-Achse und entlang der $y$-Achse. Pro Richtung eine Steigung. Beide zusammen heissen die partiellen Ableitungen. Allgemeinere Richtungen (beliebige Vektoren) kommen erst in IV.7 (Richtungsableitung).

Einfachster Trick aus der Vorlesung: $y$ festhalten und nach $x$ ableiten. Das nennen wir Slicing: wir schneiden den Hügel mit einer vertikalen Ebene $y = y_0$. Die Schnittkurve ist eine Kurve, und auf der können wir wie gewohnt ableiten.

Formal: setze $y_0$ fest und definiere die Hilfsfunktion $g(x) := f(x, y_0)$. Diese $g$ frisst nur noch eine Variable, ist also eine ganz normale Funktion in einer Variable. Klassisch differenzieren liefert $g'(x)$, und das ist genau die Steigung von $f$ in $x$-Richtung am Punkt $(x, y_0)$.

Schreiben wir den Slice-Trick aus 1.3 sauber als Definition auf. Statt $g'(x)$ schreiben wir $f_x(x_0, y_0)$ oder $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$, und meinen damit dieselbe Sache: die Steigung von $f$ in $x$-Richtung am Punkt $(x_0, y_0)$.

Das geschwungene $\partial$ liest sich 'del'. Es macht sichtbar, dass mehrere Variablen im Spiel sind und wir nur nach einer ableiten. Bei einer Variable braucht das niemand, da reicht $\frac{d}{dx}$. Bei zwei oder mehr Variablen wäre $\frac{d}{dx}$ missverständlich, weil unklar ist, welche anderen Variablen fix bleiben.

Nehmen wir das erste Beispiel der Vorlesung: ein Polynom mit gemischten Termen. Daran sieht man sofort, welche Terme verschwinden und welche überleben.

Ableitung nach $x$: behandle $y$ als Konstante. Der Mischterm $(x-\tfrac{5}{4})^3 (y-\tfrac{1}{2})^2$ liefert per Kettenregel den Faktor $3(x-\tfrac{5}{4})^2$, der $(y-\tfrac{1}{2})^2$-Faktor bleibt unangetastet. Der Term $-x$ liefert $-1$. Die reinen $y$-Terme $+3y$ und $+\tfrac{15}{2}$ sind beide Konstanten in $x$, also Ableitung null.

Ableitung nach $y$: jetzt ist $x$ konstant. Der Mischterm liefert $(x-\tfrac{5}{4})^3 \cdot 2(y-\tfrac{1}{2})$. Der Term $-x$ ist Konstante in $y$, fällt weg. $+3y$ liefert $+3$. $+\tfrac{15}{2}$ fällt auch weg.

$f_x$ und $f_y$ sind selber Funktionen in $x$ und $y$. Also kann man sie nochmal partiell ableiten. Pro Reihenfolge bekommt man eine sogenannte zweite partielle Ableitung.

Vier Möglichkeiten: erst nach $x$ und dann nochmal nach $x$ ($f_{xx}$), erst nach $x$ und dann nach $y$ ($f_{xy}$), erst nach $y$ und dann nach $x$ ($f_{yx}$), erst nach $y$ und dann nochmal nach $y$ ($f_{yy}$). Die ersten und letzten heissen rein, die mittleren beiden gemischt.

Lese-Konvention der Vorlesung: $f_{xy}$ heisst erst nach $x$, dann nach $y$. Die Reihenfolge der Indizes liest sich von links nach rechts. Manche Texte interpretieren $f_{xy}$ umgekehrt (erst $y$, dann $x$). Wir folgen der Mitschrift.

Wir rechnen alle ersten und zweiten Ableitungen einer Exponentialfunktion durch. Die Ableitung einer e-Funktion ist immer wieder die e-Funktion selbst, mal die innere Ableitung.

Erste Ableitungen via Kettenregel. Innere Ableitung nach $x$ ist $3x^2$, nach $y$ ist $3$. Die äussere Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion selbst.

Zweite Ableitungen: einfach nochmal ableiten. $f_{xx}$ braucht die Produktregel auf $3x^2 \cdot e^{x^3+3y}$:

$f_{xy} = (f_x)_y$: $3x^2$ ist Konstante in $y$, $e^{x^3+3y}$ liefert den Kettenregel-Faktor $3$. Dasselbe in der anderen Reihenfolge ($f_{yx}$) liefert dieselbe Form.

Beobachtung: $f_{xy}$ und $f_{yx}$ sind identisch. Die Reihenfolge der gemischten Ableitungen spielt also keine Rolle. Genau das ist der Inhalt des Satzes von Schwarz, den wir in IV.3 sauber beweisen.

$f_x$ und $f_y$ zusammen ergeben einen Vektor: den Gradienten von $f$. An jedem Punkt $(x_0, y_0)$ kannst du beide Steigungen ausrechnen und als Spaltenvektor stapeln.

'Gleich' heisst hier: für jede Stelle, an der $f$ partiell differenzierbar ist. Der Gradient ist damit selbst eine Funktion: jedem Punkt $(x_0, y_0)$ ordnet er einen Vektor im $\mathbb{R}^2$ zu. In der Sprache der Vektoranalysis: ein Vektorfeld.

Geometrisch sagt $\operatorname{grad}(f)$ mehr, als auf den ersten Blick zu sehen ist. In IV.2 nehmen wir den Gradienten rein algebraisch: zwei partielle Ableitungen, in einen Vektor gepackt. Das genügt vorerst.

Vorschau für IV.7: $\operatorname{grad}(f(x_0, y_0))$ zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs des Hügels $z = f(x, y)$ am Punkt $(x_0, y_0)$. Sein Betrag misst, wie steil dieser Anstieg ist. Und er steht senkrecht auf der Niveaulinie durch $(x_0, y_0)$. Hier weder Beweis noch eigene Herleitung. Beides kommt mit dem nötigen Werkzeug in IV.7.

Wann brauche ich den Gradienten? Drei Hauptanwendungen warten in den nächsten Kapiteln. Erstens: Tangentialebene an den Graphen $z = f(x, y)$ in IV.4 ($\operatorname{grad}(f)$ liefert die Steigungen der Ebene). Zweitens: Extrema in IV.5 (notwendige Bedingung $\operatorname{grad}(f) = \mathbf{0}$). Drittens: Richtung des steilsten Anstiegs in IV.7.

Drehen wir die Frage um. Was, wenn die partielle Ableitung gegeben ist und $f$ gesucht? In einer Variable wäre das Stammfunktion-Bilden: aus $f'(x) = g(x)$ wird $f(x) = \int g(x)\,dx + C$, mit $C \in \mathbb{R}$ als Integrationskonstante.

In zwei Variablen ist die Idee gleich, aber die 'Konstante' wird komplizierter. Aus $f_x \equiv 0$ folgt: $f$ ist in $x$-Richtung konstant. Nur in $x$-Richtung. Bezüglich $y$ kann sich $f$ frei verändern. Damit hängt $f$ nur von $y$ ab, ohne weitere Einschränkung.

Gegenprobe: leite $C(y)$ partiell nach $x$ ab. Da $C$ nur von $y$ abhängt, ist es eine Konstante in $x$. Ableitung null. Passt zur Voraussetzung $f_x \equiv 0$.

Jetzt mit nicht-trivialer rechter Seite. Aus $f_y(x, y) = \cos(y/x)$ mit $x \neq 0$ wird die Frage: integriere nach $y$, $x$ bleibt Parameter.

Substitution $u := y/x$ macht es einfach. Bei festgehaltenem $x$ ist $u$ linear in $y$ mit $\frac{du}{dy} = \frac{1}{x}$, also $dy = x\,du$. Damit wird $\int \cos(y/x)\,dy = \int \cos(u) \cdot x\,du = x \sin(u) + \text{const} = x \sin(y/x) + \text{const}$.

Die 'Konstante' beim Integrieren nach $y$ ist eine beliebige Funktion in $x$, nennen wir sie $u(x)$. Achtung Notations-Doppelbelegung: das $u$ aus der Substitution ($u = y/x$) ist hier weg; $u(x)$ ist eine neue beliebige Funktion in $x$.

Gegenprobe: $\partial_y \bigl[x \sin(y/x)\bigr] = x \cdot \cos(y/x) \cdot \frac{1}{x} = \cos(y/x)$. Plus $\partial_y u(x) = 0$. Stimmt zu $f_y = \cos(y/x)$.

Letzter Spezialfall. Was, wenn die gemischte zweite Ableitung verschwindet? Aus $f_{xy} \equiv 0$ folgt, dass $f_x$ konstant in $y$ ist (denn $(f_x)_y = 0$). Also $f_x(x, y) = u(x)$ mit $u$ beliebig in $x$.

Jetzt nach $x$ integrieren: Stammfunktion $U$ von $u$, plus die 'Integrations-Konstante' beim $\int \cdots dx$, die wieder eine beliebige Funktion ist, nennen wir sie $V(y)$. Damit:

Anschaulich: in Funktionen mit $f_{xy} \equiv 0$ kommen $x$ und $y$ nicht 'gemischt' vor, sondern jeder in seinem eigenen Summanden. Das ist die Aussage der Vorlesung in einer Zeile.

Zur Illustration ein Beispiel, das diese Form nicht hat. Wir rechnen alle ersten und zweiten Ableitungen von $f(x, y) = \operatorname{Artanh}(y/x)$ durch und schauen, was bei $f_{xy}$ rauskommt.

$f_x$: Kettenregel mit innerer Ableitung $\partial_x(y/x) = -y/x^2$. Den Bruch $1 - (y/x)^2$ schreibt man am besten gleich um: $1 - (y/x)^2 = (x^2 - y^2)/x^2$. Damit kürzt sich $x^2$ und übrig bleibt:

$f_y$: gleiche äussere Ableitung, innere Ableitung $\partial_y(y/x) = 1/x$. Wieder $x^2$ kürzen:

$f_{xy}$ und $f_{yx}$: Quotientenregel auf $f_x$ nach $y$ bzw $f_y$ nach $x$. Beide liefern dieselbe Form, beide identisch zueinander (Schwarz lässt grüssen):

Beobachtung: $f_{xy} = f_{yx}$, wieder die Schwarz-Gleichheit. Aber: $f_{xy} \neq 0$, deshalb 'mischt' $\operatorname{Artanh}(y/x)$ tatsächlich Variablen. Genau das passt zur Aussage von oben: $f_{xy} \equiv 0$ ist äquivalent zu 'kein Mischen', und unser Beispiel mischt, also ist $f_{xy}$ ungleich null.

Wenn die partielle Ableitung gegeben ist und $f$ gesucht: vier Standard-Situationen, vier Strategien. Schau auf die Tabelle, dann erinnerst du dich an die Antwort-Form.

Aufgaben werden vom Nutzer geliefert. Standard-Vorgehen: bei direkten Aufgaben Variable fixieren und partiell ableiten (jede andere Variable wie eine Konstante behandeln). Bei inversen Aufgaben (gegeben eine partielle Ableitung, gesucht $f$) integrieren mit beliebiger Funktion in der nicht-integrierten Variable als 'Konstante'. Cheat-Sheet aus 5.4 deckt die typischen Fälle ab.