V.1 Das Gebietsintegral

Bisher haben wir Funktionen in zwei Variablen abgeleitet. Jetzt drehen wir den Spiess um und integrieren sie. Konkrete Frage: wieviel Volumen liegt zwischen einem Gebiet $B$ in der $xy$-Ebene und dem Graphen $\Gamma(f)$ darüber im Raum?

Stell dir eine Hügel-Landschaft über $B$ vor. Über jedem Punkt $(x, y) \in B$ steht eine Stange der Länge $f(x, y)$ (das hatten wir in IV.1 als Bild für den Graphen). Die Stangen-Spitzen bilden die Fläche $\Gamma(f)$. Gesucht ist die Erdmenge unter dieser Fläche, also der Volumeninhalt zwischen $B$ und $\Gamma(f)$.

Notation einführen. Wir starten mit einer Funktion $f: D(f) \to \mathbb{R}$ in zwei Variablen, mit $D(f) \subset \mathbb{R}^2$ (aus IV.1). Das Integrationsgebiet $B$ ist eine Teilmenge des Definitionsbereichs, also $B \subset D(f) \subset \mathbb{R}^2$. Den Wert des Gebietsintegrals nennen wir $V$, das Flächenelement von $B$ heisst $\mathrm{d}F$.

Wie kommen wir an diese Zahl heran? Analog zur Riemann-Idee aus einer Variable: zerlege $B$ in immer kleinere Flächenstücke $\Delta F$, messe an einem Punkt im Stück die Höhe $f(x, y)$, addiere die kleinen Quader $f(x, y) \cdot dF$ auf. Im Limes liefert die Summe den Volumeninhalt. Genau diese Summe meint die Schreibweise $\iint_B f(x, y)\,\mathrm{d}F$.

Erste Idee, die direkt aus Analysis I funktioniert: für jedes feste $x$ schneiden wir den Volumenkörper senkrecht zur $x$-Achse ab und bestimmen die Querschnittsfläche $F(x)$. Diese Querschnittsflächen summieren wir dann über alle $x$ in $[\alpha, \beta]$ auf.

Bei festem $x$ läuft $y$ zwischen einer unteren Funktion $\gamma(x)$ (untere Randkurve von $B$) und einer oberen Funktion $\delta(x)$ (obere Randkurve). Die Querschnittsfläche ist also ein Integral in einer Variable, wie aus Analysis I gewohnt.

Beispiel. Bestimme das Gebietsintegral von $f(x, y) = x$ über die rechte Halbellipse $B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0,\; \tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} \leq 1\}$ mit Konstanten $a, b > 0$. Das ist genau das Mitschrift-Beispiel.

Genau dasselbe nochmal, nur mit vertauschten Rollen: jetzt halten wir $y$ fest und schneiden senkrecht zur $y$-Achse. Die Querschnittsfläche nennen wir $G(y)$. Anschliessend summieren wir über alle $y$ in $[\gamma, \delta]$ auf.

Bei festem $y$ läuft $x$ zwischen einer linken Funktion $\alpha(y)$ (linke Randkurve von $B$) und einer rechten Funktion $\beta(y)$ (rechte Randkurve). Damit verschwinden $\gamma(x)$ und $\delta(x)$ aus dem äusseren Integral und werden durch Konstanten $\gamma, \delta$ ersetzt.

Beispiel. Das gleiche Halbellipsen-Integral wie in Section 2, jetzt aber mit Variante 2 gerechnet. $f(x, y) = x$, $B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0,\; \tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} \leq 1\}$, $a, b > 0$. Wir erwarten dasselbe Resultat $V = \tfrac{2}{3}\,a^2\,b$.

Wir haben jetzt zwei Wege zum gleichen Volumen. Zeit für die formale Definition aus der Mitschrift und drei praktische Bemerkungen: wann ist die Reihenfolge tauschbar, wann lohnt sich welche Variante, und wann muss das Gebiet sogar zerlegt werden?

Bemerkung 1, Reihenfolge. Die Integrationsreihenfolge kann vertauscht werden, wenn dabei die Grenzen angepasst werden. Das heisst: man darf $\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$ zu $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ machen, aber die Grenzen wechseln mit. Aus $\alpha, \beta, \gamma(x), \delta(x)$ werden $\gamma, \delta, \alpha(y), \beta(y)$. Stur die Differentiale tauschen, Grenzen aber stehen lassen, ist falsch.

Bemerkung 2, welche Variante? Es lohnt sich, vor dem Rechnen kurz zu überlegen, welche Variante einfacher zu rechnen ist. Faustregel: wenn $\gamma(x), \delta(x)$ unangenehme Funktionen sind ($\arcsin$, gebrochen-rational, ...), aber $\alpha(y), \beta(y)$ Polynome, dann Variante 2 nehmen. Bei rechteckigem $B = [\alpha, \beta] \times [\gamma, \delta]$ sind beide Reihenfolgen gleich einfach: die Grenzen sind dann konstant, kein Funktionsausdruck.

Bemerkung 3, nicht-konvexes $B$. Wenn $B$ nicht konvex ist (ein Querschnitt schneidet den Rand in mehr als zwei Punkten), reicht eine einzige Variante nicht aus. Dann zerlegt man $B$ in zwei oder mehr Teilstücke, in denen die Querschnitte sauber definiert sind, integriert separat, und addiert die Resultate. Alternative: Integrationsreihenfolge tauschen, oft reicht das.

Volumenintegral klingt erst einmal nach Geometrie, ist aber eines der wichtigsten Werkzeuge der Physik. Überall, wo eine Grösse mit einer Flächendichte verteilt ist, kommt ein Gebietsintegral ins Spiel: Masse einer dünnen Platte, Ladung auf einer Oberfläche, Druck auf eine Wand, Schwerpunkt, Trägheitsmoment.

Die folgende Tabelle listet die fünf wichtigsten Anwendungen aus der Mitschrift. Jede ist ein Gebietsintegral $\iint_B (\text{Dichte})\,\mathrm{d}F$ mit einer anderen Dichte als Integrand.

Beispiel 1, Schwerpunkt der Halbellipse. Bestimme die $x$-Koordinate $x_S$ des Schwerpunkts des Gebiets $B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0,\; \tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} \leq 1\}$ aus Section 2, mit $a, b > 0$.

Beispiel 2, polares Flächenträgheitsmoment des gleichseitigen Dreiecks. Bestimme $J_0 = \iint_B (x^2 + y^2)\,\mathrm{d}F$ für ein gleichseitiges Dreieck mit Kantenlänge $a > 0$, bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt $S$ senkrecht zur Dreiecksfläche. Lege $S$ in den Ursprung.

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