V.3 Das Volumenintegral

In V.1 haben wir das Volumen unter einer Hügellandschaft gemessen, also den Inhalt zwischen einem ebenen Gebiet $B \subset \mathbb{R}^2$ und einem Funktionsgraph darüber. Aber was, wenn wir nicht das Volumen unter einer Funktion brauchen, sondern eine Eigenschaft eines räumlichen Körpers selbst? Masse einer Granitsäule, Schwerpunkt eines Werkstücks, Trägheit eines drehenden Schwungrads. Genau dafür ist das Volumenintegral da.

Notation einführen. Wir starten mit einer Funktion $f: A \to \mathbb{R}$ in drei Variablen, mit Definitionsbereich $A \subset \mathbb{R}^3$. Das Integrationsgebiet $B$ ist eine Teilmenge dieses Definitionsbereichs, also $B \subset A \subset \mathbb{R}^3$. Den Wert des Integrals nennen wir $V$, das Volumenelement von $B$ heisst $\mathrm{d}V$.

Wie kommen wir an diese Zahl heran? Genau wie in V.1, nur eine Dimension höher. Zerlege $B$ in immer kleinere Würfelchen $\Delta V$, werte $f$ an einem Punkt im Würfelchen aus, addiere die Beiträge $f(x, y, z) \cdot \Delta V$ auf. Im Limes liefert die Summe den Wert des Integrals. Genau diese Summe meint die Schreibweise $\iiint_B f\,\mathrm{d}V$.

Genauso wie in V.1, nur mit einer dritten Variable. Drei Iterationen statt zwei, Reihenfolge tauschbar mit angepassten Grenzen. In kartesischen Koordinaten ist das Volumenelement das Produkt der drei Differentiale, was direkt aus dem Riemann-Würfelchen mit Seiten $\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z$ folgt:

Damit ist das Volumenintegral ein dreifach iteriertes Integral. Die Reihenfolge $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$ kann beliebig vertauscht werden, wenn die Grenzen entsprechend angepasst werden. Das ist die direkte Verallgemeinerung der Variante-1-vs-Variante-2-Diskussion aus V.1 §4, jetzt mit drei Optionen statt zwei (insgesamt sechs Permutationen). Differentiale tauschen ohne Grenzen mit-zu-tauschen ist falsch: aus $\int_0^1\int_0^{1-z}\int_0^{1-y-z}$ wird nicht $\int_0^{1-y-z}\int_0^{1-z}\int_0^1$, sondern eine andere Grenzkette, die wieder aus der Geometrie folgt.

Wofür rechnet man Volumenintegrale konkret? Überall, wo eine Grösse mit einer Volumendichte verteilt ist. Die folgende Tabelle listet die wichtigsten Anwendungen, jeweils als Volumenintegral $\iiint_B (\text{Dichte})\,\mathrm{d}V$ mit unterschiedlichen Dichten als Integrand.

Wann ist das einfach? Drei Sonderfälle machen das Leben kurz. Erstens: wenn $B$ ein Quader $[a_1, a_2] \times [b_1, b_2] \times [c_1, c_2]$ ist, sind alle Grenzen konstant und die Reihenfolge ist egal. Zweitens: wenn die Dichte $\rho$ konstant ist (homogener Körper), kommt $\rho$ aus dem Integral raus und es bleibt nur ein geometrisches Integral. Drittens: wenn der Integrand in den Variablen separiert ($f = g(x)\,h(y)\,k(z)$), zerfällt das Integral in das Produkt von drei Standard-Integralen in einer Variable.

Klassiker aus der Mechanik. Würfel mit homogener Massendichte, drehe ihn um eine Mittelachse parallel zu einer Würfelkante. Wieviel Trägheit hat er? Genau dieses Beispiel rechnet die Mitschrift vor, und es ist einer der Klausur-Klassiker.

Setup. Würfel mit Kantenlänge $2a$ (also Halbkantenlänge $a$, das ist die Standard-Wahl, weil die Achsen dann durch die Würfelmitte laufen), homogene Massendichte $\rho$, Drehachse durch die Würfelmitte parallel zur $z$-Achse. Lege den Ursprung in die Würfelmitte, dann liegt der Würfel als $B = [-a, a]^3$. Die Distanz eines Punktes $(x, y, z)$ zur $z$-Achse ist $\sqrt{x^2 + y^2}$, ihr Quadrat ist $x^2 + y^2$. Damit:

Tetraeder mit Ecken am Ursprung und auf den drei Achsen. Dieselbe Frage wie beim Würfel, nur mit nicht-konstanten Integrationsgrenzen, weil die Schräge der Begrenzungs-Ebene das erzwingt. Mitschrift rechnet das vor; wir füllen die Stelle aus, an der die Mitschrift mit „$= \dots$" einen Schritt überspringt.

Setup. $T$ bezeichnet hier den Einheitstetraeder mit Ecken $(0, 0, 0)$, $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$, $(0, 0, 1)$. Homogene Massendichte $\rho$, gesucht ist die Trägheit um die $x$-Achse. Die Distanz eines Punktes zur $x$-Achse ist $\sqrt{y^2 + z^2}$, ihr Quadrat $y^2 + z^2$. Die Begrenzungs-Ebene gegenüber dem Ursprung erfüllt $x + y + z = 1$. Daraus folgt für die Grenzen: bei festem $z \in [0, 1]$ liegt die Schnitt-Fläche im Dreieck $y + z \leq 1$, also $y \in [0, 1-z]$. Bei festem $y, z$ läuft $x$ vom Ursprung bis zur Ebene, also $x \in [0, 1-y-z]$. Die Reihenfolge $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$ ergibt sich genau aus dieser Einschachtelung.

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