Kap. I: Zahnräder und Getriebe

Stell dir den Antriebsstrang eines Elektrofahrzeugs vor. Der Elektromotor liefert sehr hohe Drehzahl bei kleinem Drehmoment. Das Rad am Boden braucht das Gegenteil: niedrige Drehzahl, hohes Drehmoment. Zwischen Motor und Rad sitzt ein Getriebe, das die hohe Motor-Drehzahl in die niedrige Rad-Drehzahl wandelt und dabei das Drehmoment vergrössert.

Allgemein gesprochen: ein Zahnradgetriebe wandelt eine Drehbewegung in eine andere Drehbewegung. Vier Grössen können dabei verändert werden: Drehrichtung (links- oder rechtsdrehend), Drehachse (parallel, rechtwinklig, windschief), Drehzahl $n$ und Drehmoment $M_t$. Welche dieser vier Grössen wie verändert wird, entscheidet die Bauform des Getriebes.

Welche Bauform ein Getriebe hat, hängt davon ab, wie die beiden Drehachsen im Raum zueinander liegen. Zwei Achsen können parallel sein, sich rechtwinklig schneiden, oder windschief im Raum verlaufen (also weder parallel noch sich schneidend). Für jede dieser drei Lagen gibt es ein Standard-Zahnrad.

Drehrichtung wird durch die Art der Verzahnung bestimmt. Zwei aussenverzahnte Stirnräder, die kämmen, drehen gegenläufig (Drehrichtungs-Wechsel). Paart man ein aussenverzahntes Stirnrad mit einem innenverzahnten Hohlrad, drehen sie gleichsinnig (kein Wechsel).

Wenn zwei Räder mit Radien $r_1$ und $r_2$ am Berührpunkt schlupffrei abrollen, müssen ihre Umfangsgeschwindigkeiten gleich gross sein: $v_1 = v_2$. Daraus folgt der Zusammenhang zwischen Drehzahlen und Durchmessern.

Am Berührpunkt kann auch eine Tangentialkraft $F_t$ übertragen werden. Sie erzeugt am Rad ein Drehmoment $M_t = F_t \cdot r$. Da $F_t$ bei beiden Rädern gleich ist (actio = reactio), ergibt sich das Drehmoment am grösseren Rad als das $r_2/r_1$-Fache.

Ein reibungsloser Zylinder, der auf einem anderen Zylinder rollt, überträgt nur dann eine konstante Übersetzung, wenn die Berührfläche eben und glatt ist. Echte Zahnräder haben aber Zähne, und im Eingriff wandert der Berührpunkt entlang einer gekrümmten Kurve. Damit die Übersetzung trotzdem konstant bleibt, muss die Zahngeometrie eine bestimmte Bedingung erfüllen.

Im Berührpunkt zweier Zahnflanken kann nur eine Kraft normal zur Flanke übertragen werden. Die Normalrichtung im Berührpunkt heisst Normale. Auf dieser Normalen liegt die Eingriffslinie, längs derer sich der Berührpunkt von Eingriffsbeginn $A$ bis Eingriffsende $E$ bewegt.

Der Wälzpunkt $C$ ist ein fester Punkt auf der Verbindungslinie der beiden Wellenmittelpunkte. Er teilt diese Strecke im Verhältnis $r_1 : r_2$ und liegt auf den Wälzkreisen beider Räder. Auf dem Wälzkreis-Berührkontakt verhalten sich die beiden Räder so, als würden sie schlupffrei aufeinander abrollen.

Welche Zahnform erfüllt das Verzahnungsgesetz? Es gibt mehrere mathematisch korrekte Lösungen (Zykloide, Triebstockverzahnung, Wildhaber-Novikov, Kreisbogen). In der industriellen Praxis hat sich aber eine einzige Form durchgesetzt: die Evolvente. Sie kommt in Kap. I.2 dran.

Wenn der Berührpunkt über die Zahnflanke wandert, treten zwei Bewegungs-Anteile auf: ein Roll-Anteil (wie zwei abrollende Zylinder) und ein Gleit-Anteil (wie zwei aufeinander reibende Flächen). Die Kombination dieser beiden Anteile heisst Wälzen.

Wie gross der Gleit-Anteil im Vergleich zum Roll-Anteil ist, beschreibt das spezifische Gleiten $s = v_{gleit}/v_{roll}$.

Stell dir vor, du wickelst eine Schnur, die um einen Zylinder gewickelt ist, vom Zylinder ab. Am Ende der Schnur ist ein Bleistift. Wenn du den Bleistift während des Abwickelns auf einem Papier nachzeichnest, entsteht eine bestimmte Kurve: die Evolvente (Kreisevolvente).

Diese Kurve ist die Standard-Zahnform in praktisch jedem modernen Industriegetriebe. Ihre besondere Eigenschaft: der Zylinder, von dem die Schnur abgewickelt wird, heisst Grundkreis $d_b$, und die Tangente an die Evolvente in jedem Punkt steht senkrecht auf der gerade abgewickelten Schnur. Daraus folgt eine sehr nützliche Eigenschaft im nächsten Abschnitt.

Bei einer Evolventen-Verzahnung berührt der Grundkreis eines Zahnrads die Eingriffslinie in genau einem Punkt. Die Eingriffslinie ist eine Gerade (das ist die zentrale Eigenschaft der Evolventen-Verzahnung). Diese Gerade ist gegen die Verbindungslinie der Wellenmittelpunkte um den Eingriffswinkel $\alpha$ geneigt.

Der Eingriffswinkel ist also nicht eine beliebige Wahl, sondern ein Werkzeug-Parameter. Wenn das Werkstück mit einem $\alpha = 20°$-Wälzfräser hergestellt wurde, hat das fertige Zahnrad ebenfalls einen Eingriffswinkel von $20°$. Praktisch alle Norm-Zahnräder weltweit nutzen $\alpha = 20°$, deshalb können sie miteinander gepaart werden.

Warum hat sich gerade die Evolvente als Standard durchgesetzt? Zwei Gründe sind entscheidend für die industrielle Anwendung.

Die Evolvente ist nicht die einzige Zahnform, die das Verzahnungsgesetz erfüllt. Es gibt vier weitere Geometrien, die in bestimmten Nischen-Anwendungen eingesetzt werden. Wer in einer Klausur-Aufgabe nach 'Vorteilen der Evolvente' gefragt wird, sollte mindestens diese vier kennen.

Bevor wir Formeln aufschreiben, brauchen wir Namen für die Stellen am Zahnrad, die wir gleich rechnen werden. An jedem Zahnrad gibt es drei Kreise und drei Höhen, die zueinander gehören. Wer die einmal verinnerlicht hat, hat den Rest des Kapitels schon halb verstanden.

Zusätzlich definieren wir den Grundkreis $d_b$ (aus dem die Evolvente entspringt) und den Wälzkreis $d_w$ (auf dem sich das Zahnrad effektiv abwälzt). Bei einem Nullgetriebe ist $d_w = d$, bei einem V-Getriebe gilt $d_w \neq d$ (Kap. I.4).

Wie messen wir die Grösse eines Zahns? Eine Möglichkeit ist die Teilung $p$: der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zähnen, gemessen entlang des Teilkreises. Pro Umfang von $d \pi$ passen genau $z$ Teilungen rein.

Statt $p$ direkt zu verwenden, definiert die Norm den Modul $m = p/\pi$. Das schluckt den $\pi$-Faktor und macht die Formeln deutlich übersichtlicher.

Aus zwei Eingaben ($m$, $z$) lassen sich alle drei Durchmesser am Zahnrad berechnen. Die Zahnhöhe folgt einer einfachen Regel: $h_a = m$ (Zahnkopf) und $h_f = 1{,}1 \ldots 1{,}3 \cdot m$ (Zahnfuss, mit Kopfspiel).

Die Zähnezahl $z$ ist immer eine ganze Zahl. Bei der Paarung zweier Räder ergibt das Verhältnis $z_2/z_1$ die Übersetzung $i$. Bei einem Hohlrad zählen wir $z$ als negativ (Konvention für die Innenverzahnung).

Wie wenige Zähne darf ein Zahnrad haben? Bei sehr kleinen Zähnezahlen beginnt der Wälzfräser den Zahnfuss zu unterschneiden (er fräst Material ab, das eigentlich tragend sein sollte). Dieses Phänomen heisst Unterschnitt und passiert ab einer bestimmten Grenze.

An vielen Stellen, vor allem bei Profilverschiebung (Kap. I.4) und Achsabstands-Änderungen, taucht eine spezielle Funktion auf: die Involut-Funktion $\operatorname{inv} \alpha$. Sie beschreibt den Wickelwinkel der Evolvente und ist mathematisch eine Differenz zwischen Tangens und Winkel selbst.

Die Funktion ist nicht elementar umkehrbar. Wenn die Aufgabe $\operatorname{inv} \alpha_w$ gibt und $\alpha_w$ gesucht ist, brauchen wir eine Näherung.

Bevor wir die Profilverschiebung verstehen, müssen wir kurz wissen, wie ein Zahnrad überhaupt entsteht. Das Standard-Verfahren ist das Wälzfräsen: ein zahnstangenförmiger Fräser (Wälzfräser) dreht sich, während das Werkstück synchron mitrotiert. Der Fräser schält die Zahnlücken aus dem Rohling heraus.

Der Wälzfräser hat einen festen Eingriffswinkel (Standard $\alpha = 20°$) und einen festen Modul $m_n$. Beide werden direkt auf das fertige Zahnrad übertragen. Der einzige Freiheitsgrad bei der Fertigung ist: wie weit vom Werkstück-Zentrum der Fräser steht. Genau das ist die Profilverschiebung.

Die Profilverschiebung $V$ ist die Distanz, um die der Wälzfräser radial nach aussen oder innen verschoben ist (gegenüber dem Standard-Abstand). Sie wird in mm angegeben. Für dimensionslose Formeln dient der Profilverschiebungsfaktor $x$ als Modul-vielfache Grösse.

Eine positive Profilverschiebung ($x > 0$) bedeutet, dass der Fräser weiter aussen ansetzt; der Zahn wird am Fuss breiter und am Kopf schmaler. Das vermeidet Unterschnitt bei kleinen Zähnezahlen. Eine negative Profilverschiebung ($x < 0$) macht den Zahn am Fuss schmaler und am Kopf breiter.

Je nach Wert von $x$ unterscheiden wir drei Arten von Einzelrädern. Wichtig: das hängt nur vom einzelnen Rad ab, nicht von der Paarung. Wie sich V-Räder paarweise verhalten, kommt in I.4.4.

Wenn wir zwei Räder mit Profilverschiebung paaren, hängt die Eigenschaft des Getriebes von der Summe $\Sigma x = x_1 + x_2$ ab, nicht von den einzelnen Faktoren.

Bedingung für flankenspielfreien Eingriff: $s_{w1} = e_{w2}$ und $s_{w2} = e_{w1}$ (Zahndicke des einen entspricht der Lückenweite des anderen am Wälzkreis). Diese Bedingung ist beim V-Null-Getriebe automatisch erfüllt; beim V-Getriebe muss der Achsabstand passend gewählt werden.

Bei einem V-Getriebe ändern sich Achsabstand und Eingriffswinkel gegenüber dem Nullgetriebe. Die Übersetzung $i = z_2/z_1$ bleibt aber erhalten. Das ist der Clou der Evolventenverzahnung: Achsabstands-Änderungen ändern die Übersetzung nicht.

Wann nimmt der Konstrukteur welche Werte für $x_1, x_2$? Die Norm DIN 3992 gibt Erfahrungs-Bereiche an, die nach den Zähnezahlen und dem Anwendungs-Ziel sortiert sind.

Bisher haben wir die Geometrie betrachtet. Jetzt fragen wir: welche Kräfte wirken im Zahnkontakt? Im Berührpunkt kann nur eine Kraft normal zur Zahnflanke übertragen werden, also in Richtung der Eingriffslinie. Diese Kraft heisst Normalkraft $F_n$. Sie zerlegt sich in zwei für die Wellenberechnung wichtige Komponenten.

Beim getriebenen Rad sind Tangential- und Radialkraft betragsmässig gleich gross wie beim treibenden Rad: $F_{t2} = F_{t1}$ und $F_{r2} = F_{r1}$ (das ist actio = reactio). Nur die Richtungen drehen sich um.

Bei einer Schrägverzahnung stehen die Zähne unter dem Schrägungswinkel $\beta$ angestellt (siehe Kap. I.6.3). Das hat eine wichtige Folge: zu Tangential- und Radialkraft kommt eine Axialkraft $F_a$ dazu, die parallel zur Wellenachse drückt.

Die Axialkraft ist meist unerwünscht: sie belastet die Lager zusätzlich und braucht ein Axiallager. Ein Trick beseitigt sie: die Doppelschräg- oder Pfeilverzahnung. Dort sind zwei spiegelbildliche Schrägverzahnungen kombiniert, ihre Axialkräfte heben sich gegenseitig auf.

Auch beim Kegelrad (Kap. I.6.6) wirken drei Kraftkomponenten. Sie werden am mittleren Teilkreis $d_m$ ausgewertet, weil die Kegelradzähne über ihre Länge unterschiedlich gross sind. Der Teilkegelwinkel $\delta$ taucht in den Komponenten auf.

Wie viel Leistung überträgt ein Getriebe? Leistung ist Arbeit pro Zeit, und bei einer Drehbewegung ist sie das Produkt aus Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit.

Bisher haben wir so getan, als ginge keine Leistung verloren. In Wirklichkeit treten in Zahnkontakt und Lagern Reibungsverluste auf. Die verlorene Leistung $P_{Verlust}$ wird in Wärme umgewandelt. Der Kennwert dafür ist der Wirkungsgrad $\eta$.

Wo bricht ein Zahnrad, wenn es überlastet wird? Es gibt zwei kritische Stellen: die Zahnflanke (die Kontaktfläche, an der sich die Zähne berühren) und der Zahnfuss (die Übergangsstelle zum Radkörper). Jede hat ihre eigenen Schadensbilder und ihren eigenen Werkstoff-Kennwert.

Die Zahnflanke versagt durch Ermüdung der Oberfläche: kleine Grübchen (Pittings) brechen aus, die Fläche wird grau und rau. Der Zahnfuss versagt durch Biegewechsel-Belastung: ein Riss entsteht und der ganze Zahn bricht ab. Beide Versagensarten bestimmen, wie gross der Modul gewählt werden muss (Kap. I.7.6).

Wenn zwei Zahnräder kämmen, berühren sich ihre Flanken nicht ständig an derselben Stelle, sondern der Berührpunkt wandert. Wir brauchen drei Begriffe, um dieses Wandern zu beschreiben: Eingriffslinie, Eingriffsstrecke und Eingriffsteilung. Sie klingen ähnlich, meinen aber Verschiedenes.

Wie viele Zahnpaare sind im Schnitt gleichzeitig im Eingriff? Diese Frage beantwortet die Profilüberdeckung $\varepsilon_\alpha$. Sie ist das Verhältnis von Eingriffsstrecke zu Eingriffsteilung.

Bei einem geradverzahnten Zahnrad verlaufen die Zähne parallel zur Drehachse. Bei einer Schrägverzahnung sind die Zähne um den Schrägungswinkel $\beta$ angestellt, sie laufen also schräg über die Zahnbreite.

Der Vorteil: bei Schrägverzahnung kommt der Zahn nicht schlagartig auf seiner ganzen Breite in Kontakt, sondern kontinuierlich, von einer Seite zur anderen. Das macht den Lauf leiser und gleichmässiger.

Bei Schrägverzahnung gibt es zwei Module, und das ist eine klassische Verwechslungs-Quelle. Der Normalmodul $m_n$ ist der Modul, mit dem das Werkzeug schneidet (im Normalschnitt, senkrecht zum Zahn). Der Stirnmodul $m_t$ ist der Modul, der sich am realen Zahnrad im Stirnschnitt zeigt.

Weil die Zähne einer Schrägverzahnung schräg über die Zahnbreite laufen, ist der Eingriff über die Breite verschoben. Diese Verschiebung heisst Sprung $U$.

Ein Kegelradpaar lenkt eine Drehbewegung um einen Achsenwinkel $\Sigma$ um. Im Auto-Differential ist das genau die $90°$-Umlenkung von der Antriebswelle zu den Radachsen. Jedes Kegelrad sitzt auf einem Teilkegel mit dem Teilkegelwinkel $\delta$.

Du sollst ein Getriebe für eine Maschine auslegen. Antriebsleistung, Eingangsdrehzahl und gewünschte Ausgangsdrehzahl sind gegeben. Wo fängst du an? Mit Probieren? Nein. Es gibt eine feste Reihenfolge, in der die Grössen festgelegt werden.

Schritt 1. Der minimale Wellendurchmesser $d_{sh}$ ergibt sich aus der vorgeschalteten Wellenberechnung (Kap. II). Er begrenzt den kleinstmöglichen Zahnfuss- und Bohrungsbereich und damit die kleinste Ritzelgrösse: das Ritzel muss mindestens so gross sein, dass die Welle hindurchpasst.

Schritt 2. Aus Antriebs- und Abtriebsdrehzahl folgt die Gesamtübersetzung.

Schritt 3. Die Ritzel-Zähnezahl $z_1$ ist ein Kompromiss aus Bauraum, Beanspruchung, Laufruhe, Fertigbarkeit und Kosten. Die Rad-Zähnezahl folgt dann grob aus der Übersetzung.

Eine wichtige Empfehlung: der grösste gemeinsame Teiler von $z_1$ und $z_2$ sollte $\operatorname{ggT}(z_1, z_2) = 1$ sein (also teilerfremd). Dann wiederholen sich die Zahnkontakt-Paare nicht periodisch, die Kontaktpartner wandern über alle Zähne, was zu gleichmässigem Verschleiss führt.

Schritt 4. Im Vorentwurf sind die absoluten Abmessungen noch unbekannt, weil der Modul erst in Schritt 6 festgelegt wird. Die Tragfähigkeit hängt von Durchmesser und Breite gemeinsam ab. Deshalb gibt man die Breite nicht absolut, sondern als Verhältnis an: den Breitenfaktor $\psi_d$.

Schritt 5. Jetzt entscheidet sich, ob das Getriebe gerad- oder schrägverzahnt wird. Beide Optionen haben klare Vor- und Nachteile.

Der Bereich $\beta = 12° \ldots 18°$ deckt etwa 90 Prozent der technischen Anwendungen ab. Ziel ist meist eine Sprungüberdeckung von $\varepsilon_\beta \approx 1{,}0 \ldots 1{,}2$.

Schritt 6. Jetzt kommt der Modul. Er verknüpft die Geometrie (Schritte 1 bis 5) mit dem Werkstoff. Der Zahn wird im Modell als biegebeanspruchter Balken betrachtet. Welche der zwei kritischen Stellen (Zahnfuss oder Zahnflanke) massgebend ist, hängt vom Werkstoff ab.

Neben dem drehmoment-basierten Ansatz aus I.7.6 gibt es zwei weitere Abschätzungen für den Modul, die aus geometrischen Vorgaben kommen. Im Vorentwurf rechnet man oft alle drei und nimmt den grössten (sichersten) Modul.

Die letzte Festlegung im Vorentwurf ist der Werkstoff samt Wärmebehandlung. Sie bestimmt, welche der Modul-Formeln aus I.7.6 gilt und wie gross der Modul am Ende ausfällt.

Ein gehärteter Werkstoff erlaubt einen kleineren Modul und damit ein kompakteres, leichteres Getriebe. Der Nachteil: Härten ist ein zusätzlicher Fertigungsschritt und macht den Zahnfuss zur Schwachstelle (Zahnfuss-Formel I.7.6.1 ist dann massgebend).

Vorentwurf vs voller Nachweis. Der Vorentwurf liefert bewusst eine konservative, etwas zu grosse Lösung. Der vollständige Festigkeitsnachweis nach ISO 6336 (entspricht DIN 3990) berücksichtigt zusätzlich eine Reihe von Faktoren, die im Vorentwurf pauschal abgedeckt werden: Geometrie-Faktoren (Y für Zahnfuss, Z für Zahnflanke) und Belastungs-Faktoren (K). Mit dem vollen Nachweis darf der Modul oft kleiner gewählt werden als im Vorentwurf, weil die Reserven genauer ausgenutzt werden.

Bisher standen alle Zahnradachsen fest. Bei einem Umlaufgetriebe (auch Planetengetriebe) ist das anders: einige Zahnräder rotieren nicht nur um ihre eigene Achse, sondern wandern zusätzlich um ein zentrales Rad herum, wie Planeten um die Sonne.

Ein Planetengetriebe hat vier drehbare Elemente. Drei davon haben eine ortsfeste Achse und können deshalb als Antriebs- oder Abtriebswelle dienen. Das vierte (das Planetenrad) hat keine ortsfeste Achse, es kann nicht angekoppelt werden.

Damit ein Planetengetriebe geometrisch zusammenpasst, müssen die Durchmesser und Zähnezahlen bestimmte Bedingungen erfüllen. Das Sonnenrad in der Mitte, die Planeten ringsherum und das Hohlrad aussen können nicht beliebig gross sein.

Was passiert, wenn wir den Steg festhalten ($n_s = 0$)? Dann läuft kein Planet mehr um, das Getriebe verhält sich wie ein gewöhnliches Standgetriebe. Die Übersetzung von Sonne auf Hohlrad in diesem Zustand heisst Standübersetzung $i_0$.

Die Standübersetzung gilt nur für den Sonderfall $n_s = 0$. Was ist mit allen anderen Betriebszuständen? Hier hilft die Drehzahl-Grundgleichung, oft Willis-Gleichung genannt. Sie verknüpft die drei ankoppelbaren Drehzahlen und gilt für alle Betriebszustände.

Die Gleichung entsteht aus zwei bekannten Betriebszuständen: dem Standgetriebe ($n_s = 0$, liefert $i_0$) und dem Block-Zustand ($n_1 = n_s = n_3$, liefert den Faktor $1 - i_0$). Aus diesen beiden 'Stützpunkten' folgt die lineare Grundgleichung.

Aus der Willis-Gleichung leiten wir die Übersetzung für jeden Betriebszustand ab. Es gibt vier wichtige Fälle, je nachdem welches Element fixiert oder gekoppelt wird.