Kap. II: Welle-Nabe-Verbindung, Achsen und Wellen

Stell dir den Antriebsstrang einer Schweizer Standseilbahn vor. Ein Elektromotor liefert ein Drehmoment, ein Getriebe übersetzt es, eine Bremstrommel hält das ganze System sicher. Zwischen jeder dieser Einheiten endet eine Welle und beginnt das nächste Bauteil. Wie kommt die Drehleistung von der Welle auf das Zahnrad, ohne dass die beiden gegeneinander rutschen?

Genau diese Schnittstelle nennt sich Welle-Nabe-Verbindung (kurz WNV). Sie ist eine gestalterische Lösung, die ein Drehmoment $M_t$ zwischen einer Welle (zentrales, rotierendes Bauteil) und einer Nabe (das aufgesetzte Bauteil mit Bohrung, z. B. Zahnrad, Riemenscheibe, Kupplungshälfte) überträgt.

Wo treffe ich WNV? Praktisch an jeder Stelle eines Antriebsstrangs, an der ein rotierendes Bauteil auf einer Welle sitzt. Klassische Stellen: Zahnrad auf Getriebewelle, Kupplungshälfte auf Motorwelle, Riemenscheibe auf Pumpenwelle, Bremstrommel auf Antriebswelle. Eine Maschine mit drei Wellen und zwölf rotierenden Bauteilen hat zwölf Welle-Nabe-Verbindungen, und alle müssen sicher das geforderte Drehmoment übertragen.

Welche Aufgaben hat sie zusätzlich? Über die reine Drehmoment-Übertragung hinaus muss eine WNV häufig auch Axialkräfte $F_a$ aufnehmen (z. B. die Axialschübe eines Schrägstirnrads), die Nabe radial zentrieren (gute Rundlauf-Qualität für die Verzahnung), und sie soll wirtschaftlich herstellbar und montierbar sein.

Wenn du dir die Schnittstelle zwischen Welle und Nabe genauer ansiehst, gibt es drei grundsätzlich unterschiedliche Wege, ein Drehmoment durchzuleiten. Sie unterscheiden sich darin, welche physikalische Wirkung den Kraftfluss von Welle zu Nabe trägt.

Welche Schlussart die richtige ist, entscheidet sich an wenigen Praxis-Fragen. Drei davon sind so zentral, dass sie in fast jeder Klausur-Aufgabe explizit oder implizit gestellt werden: Wie hoch ist das Drehmoment? Soll die Verbindung lösbar sein? Wie wirtschaftlich muss es gehen?

Stell dir vor, du willst ein Zahnrad auf eine Welle aufstecken und mit ihr drehfest verbinden. Eine elegante und einfache Methode: du fräst eine Nut längs in die Welle, eine zweite längs in die Nabe-Bohrung, und legst ein passgenaues quaderförmiges Stahlstück (die Passfeder) zwischen die zwei Nuten. Das Drehmoment fliesst nun über die Seitenflächen der Passfeder von der Welle auf die Nabe.

Die genormte Bauform ist DIN 6885. Eine Kurzschreibweise wie „DIN 6885 - A - 10 × 8 × 32“ definiert: Form A, Breite $b = 10\,\text{mm}$, Höhe $h = 8\,\text{mm}$, Länge $l = 32\,\text{mm}$.

Das Drehmoment $M_t$ wird an der Passfeder durch eine Tangentialkraft $F_t = 2\,M_t/d$ umgesetzt. Diese Kraft drückt die Passfeder gegen ihre Anlagefläche an der Welle bzw. an der Nabe, und erzeugt dort eine mittlere Flächenpressung $p_m$. Damit der Werkstoff nicht eingedrückt wird, muss diese Pressung kleiner sein als die zulässige Pressung.

Umstellung nach $M_t$. In Aufgaben ist oft die zulässige Pressung gegeben und das maximal übertragbare Drehmoment gesucht. Die Formel umgestellt lautet:

Wenn eine einzelne Passfeder das Drehmoment nicht mehr trägt, ist der nächste Schritt eine Keilwelle. Statt eines einzelnen Mitnehmers fräst man mehrere Mitnehmer-Zähne (auch Keile) direkt in den Wellenabschnitt. Die Nabe bekommt eine passende Innenverzahnung. Das Drehmoment verteilt sich nun auf alle Keile gleichzeitig.

Eine typische Keilwelle hat $n = 6, 8$ oder $10$ Keile. Die Geometrie ist genormt: Aussendurchmesser $D$ (vom Wellenzentrum bis zur Keilflanke aussen), Innendurchmesser $d$ (vom Zentrum bis zum Kerbgrund zwischen den Keilen), Keilbreite $b$, Nutenlänge $L_N$ in der Nabe.

Zwei Zentrierungsarten. Eine Keilwelle muss nicht nur das Drehmoment übertragen, sondern die Nabe auch radial zentrieren. Es gibt zwei Wege, das zu tun:

Das Drehmoment $M_t$ erzeugt am mittleren Reibradius $d_m/2 = (D+d)/4$ eine Tangentialkraft, die auf die tragende Gesamtfläche $A$ verteilt wird. Daraus folgt die mittlere Pressung.

Umstellung nach $M_t$. Wenn die zulässige Pressung vorgegeben ist:

Stell dir eine glatte Welle vor, die du in eine glatte Bohrung pressen willst. Wenn der Wellendurchmesser geringfügig grösser ist als der Bohrungsdurchmesser ($d_\text{Welle} > D_\text{Nabe}$, ein sogenanntes Übermass), entsteht beim Aufpressen eine Pressung $p$ am Kontakt. Diese Pressung ist die Normalkraft pro Fläche, sie erzeugt eine Reibkraft $F_R = \mu \cdot F_N$, und über diese Reibkraft wird das Drehmoment übertragen.

Diese Bauform heisst Zylindrischer Pressverband (ZPV). Sie hat keinen Mitnehmer, keine Nut, keine Kerbe, sondern nur eine glatte Übermasspassung. Sie überträgt sehr hohe Drehmomente und gleichzeitig auch Axialkräfte.

Statt einer zylindrischen Welle in einer zylindrischen Bohrung kannst du auch einen kegeligen Wellenabschnitt in eine entsprechend kegelige Bohrung stecken und stirnseitig per Schraube oder Mutter axial zusammenziehen. Das Anziehen erzeugt eine Pressung an der Kontaktfläche, ganz analog zur ZPV, jetzt aber an einer geneigten Fläche.

Diese Bauform heisst Kegelpressverband (KPV). Im Unterschied zur ZPV ist sie lösbar und nachstellbar: einfach Mutter lockern, Wellenabschnitt herausziehen, sauber wieder einsetzen und mit anderem Anzugsmoment fest spannen.

Beide reibschlüssigen Bauformen leben vom Reibwert $\mu$ an der Kontaktfläche. Der Reibwert ist keine Materialeigenschaft allein, sondern hängt von Reibpaarung, Oberflächenqualität, Schmierungs-Zustand und Lastgeschichte ab.

Im Alltag werden „Achse“ und „Welle“ oft synonym gebraucht, im Maschinenbau gibt es einen klaren Unterschied. Beide sind zylindrische Bauteile, beide tragen Lasten, aber nur eines davon überträgt ein Drehmoment.

Wenn du eine Welle innerlich schneidest, treten an der Schnittfläche zwei Arten von Spannungen auf, die sich durch ihre Wirkrichtung unterscheiden.

Wirkt eine Querkraft $F$ am freien Ende einer einseitig eingespannten Achse, biegt sich die Achse durch, und in den Randfasern entstehen Zug- bzw. Druckspannungen. In der Mitte (auf der neutralen Faser) ist die Spannung null.

Wenn an einer einseitig eingespannten Welle ein Kräftepaar $\pm F/2$ am freien Ende wirkt, verdreht sich die Welle um ihre Längsachse. Das übertragene Torsionsmoment ist konstant zwischen Lasteinleitung und Einspannung, und in den Aussenfasern entstehen Schubspannungen $\tau_t$, die nach aussen hin maximal werden.

Wirken Biegung und Torsion gleichzeitig an einer Welle, entstehen am Querschnitt zur selben Zeit eine Normalspannung $\sigma_b$ und eine Schubspannung $\tau_t$. Diese beiden lassen sich nicht direkt zu einer Gesamtspannung addieren, weil sie verschieden wirken und der Werkstoff sie auch unterschiedlich gut ertragen kann. Stattdessen wird eine Vergleichsspannung $\sigma_v$ berechnet, die mit den Tabellenwerten direkt vergleichbar ist.

Mit Kerbwirkung. Wenn die Welle eine Kerbe trägt (Wellenabsatz, Ringnut, Passfedernut), werden die Nennspannungen mit den Kerbformzahlen $\alpha_{k,b}$ und $\alpha_{k,t}$ multipliziert, bevor die Vergleichsspannung berechnet wird:

Die Festigkeit eines Stahls wird durch zwei statische und drei dynamische Kennwerte beschrieben. Statisch: Streckgrenze $R_e$ (Beginn des Fliessens) und Zugfestigkeit $R_m$ (maximale Spannung vor dem Bruch). Dynamisch: $\sigma_{zd,WN}$ für Zug-/Druck-Wechsel, $\sigma_{b,WN}$ für Biegewechsel und $\tau_{t,WN}$ für Torsionswechsel.

Verwendung der Kennwerte. Statische $R_e$ und $R_m$ werden für Vergleichsspannungs-Tests bei einmaliger Überlast verwendet. Dynamische $\sigma_{b,WN}$ und $\tau_{t,WN}$ werden für die Vordimensionierung von Wellen unter Wechselbelastung verwendet.

Ein Bauteil hält, wenn die Festigkeit $R$ grösser ist als die Belastung $B$. Theoretisch wäre $R = B$ ideal: das Bauteil ist maximal ausgenutzt, kein Gramm wird verschenkt. In der Praxis darf $R$ nie nur knapp grösser als $B$ sein, weil Werkstoff, Geometrie und Belastung in der Realität streuen.

Beim ersten Entwurf einer Welle hilft eine Faustrechnung. Aus der Torsionsspannungs-Formel $\tau_t = 16\,M_t/(\pi\,d^3)$ und der zulässigen Torsionsspannung lässt sich der minimal nötige Durchmesser direkt herleiten.

Sobald die Welle eine geometrische Unstetigkeit hat, einen Wellenabsatz, eine Ringnut, eine Passfedernut, eine Bohrung, ändert sich der Spannungsverlauf an dieser Stelle dramatisch. Die Spannung steigt im Randbereich der Kerbe deutlich über die Nennspannung des reduzierten Querschnitts.

Ablesen aus Diagrammen (TB 3-5). Die Kerbformzahlen werden in der Praxis aus Standard-Diagrammen abgelesen, getrennt für verschiedene Kerbtypen (Wellenabsatz, Ringnut, Querbohrung) und Belastungsarten (Zug, Biegung, Torsion). Die zwei Eingangsgrössen sind $d/D$ (Durchmesserverhältnis im reduzierten Querschnitt) und $r/t$ (Kerbradius zu Kerbtiefe).

Reihenfolge der Rechnung bei einer Ringnut. Erst den reduzierten Querschnitt bestimmen ($d_2 = d - 2t$), dann die Nennspannungen $\sigma_b$ und $\tau_t$ im reduzierten Querschnitt rechnen, dann mit $\alpha_{k,b}$ und $\alpha_{k,t}$ auf die maximale Spannung am Kerbgrund multiplizieren, dann die Vergleichsspannung bilden.

Die Tabellenwerte $\sigma_{b,WN}$ und $\tau_{t,WN}$ gelten an der Normabmessung $d_N = 16\,\text{mm}$. Bei grösseren Wellendurchmessern sinkt die wirkliche Festigkeit ab, weil die gehärtete Randschicht nicht proportional mit dem Durchmesser dicker wird. Der Korrekturfaktor heisst $K_t$.

Eine versagende Welle zeigt eine von zwei typischen Bruchformen. Welche entsteht, hängt von der Belastungs-Geschichte ab. Ein erfahrener Konstrukteur erkennt sie auf einen Blick und schliesst auf die Ursache.

Gegeben. Eine Passfederverbindung DIN 6885 - A - 14 × 9 × 36. Die Welle hat einen Durchmesser $d = 50\,\text{mm}$ und die Passfedernut hat die Tiefe $t_1 = 5{,}5\,\text{mm}$. Die Nabenlänge beträgt $L_N = 48\,\text{mm}$.

Gesucht. Das übertragbare Drehmoment $M_t$, wenn die mittlere Pressung an der Nabe $p_m = 66{,}5\,\text{N/mm}^2$ nicht überschritten werden darf.

Gegeben. Eine innenzentrierte Keilwellenverbindung. Wellendurchmesser $d = 52\,\text{mm}$, Aussendurchmesser $D = 60\,\text{mm}$, Anzahl Keile $n = 8$, Nutenlänge in der Nabe $L_N = 74\,\text{mm}$.

Gesucht. Das maximal übertragbare Drehmoment $M_t$, wenn die mittlere Pressung an der Nabe $p_m = 66{,}5\,\text{N/mm}^2$ nicht überschritten werden soll.

Gegeben. Ein Zahnrad sitzt auf einer Welle in einer ZPV. Wellendurchmesser $d = 36\,\text{mm}$, Naben-Aussendurchmesser $D = 48\,\text{mm}$, Nabenbreite $b = 30\,\text{mm}$. Die Nabe hat beidseitig eine Montagefase, die zusammen die tragende Länge um $l_e = 2\,\text{mm}$ verkürzt. Übertragenes Drehmoment $M_{t,\max} = 350\,\text{Nm}$, Reibwert $\mu = 0{,}14$.

Gesucht. Die erforderliche Pressung $p_{erf}$ zwischen Welle und Nabe.

Gegeben. Eine Welle in einer Förderanlage. Sie soll das Drehmoment $M_t = 860\,\text{Nm}$ übertragen. Werkstoff: E295 mit $\tau_{t,WN} = 145\,\text{N/mm}^2$. Sicherheit gegen Dauerbruch $S_D = 4$.

Gesucht. Der minimale Wellendurchmesser $d_{\min}$.

Gegeben. Die Welle aus Aufgabe 4 ist nun mit Durchmesser $d = 50\,\text{mm}$ ausgeführt. An einer Stelle zwischen Krafteinleitung $F$ und Lager B befindet sich eine Ringnut für einen Sicherungsring. Geometrie der Ringnut: Tiefe $t = 2{,}5\,\text{mm}$, Radius $r = 2{,}5\,\text{mm}$. Die Welle überträgt das Torsionsmoment $M_t = 860\,\text{Nm}$, und an der Position der Ringnut wirkt zusätzlich das Biegemoment $M_b = 772{,}8\,\text{Nm}$ (linearer Abfall vom Maximum $M_{b,\max} = 1545{,}6\,\text{Nm}$ in der Mitte zu null am Lager B).

Gesucht. Die maximale Vergleichsspannung $\sigma_{v,\max}$ an der Ringnut.