2. Spannungstensor

In Kap. 1 hatten wir gesehen: am gleichen Punkt im Bauteil hat der Spannungsvektor $\vec{S}(\vec{X}, \vec{n})$ je nach Schnittrichtung $\vec{n}$ einen anderen Wert. Beim Zugstab unter $45°$ war das deutlich sichtbar. Diese ganze Familie von Vektoren wollen wir jetzt mathematisch sauber zusammenfassen, und das geht mit einem einzigen Objekt: dem Spannungstensor $\underline{\underline{T}}$.

Wir beschränken uns in diesem Kapitel auf den ebenen Spannungszustand (2D). Die ganze Spannungs-Information am Punkt steckt dann in einer $2 \times 2$-Matrix mit vier Einträgen: zwei Normalspannungen $\sigma_x, \sigma_y$ auf der Diagonale und zwei Schubspannungen $\tau_{xy}, \tau_{yx}$ ausserhalb. Die Diagonale beschreibt das Ziehen oder Drücken in $x$- bzw. $y$-Richtung; die Off-Diagonale beschreibt das tangentiale Schieben in den jeweiligen Schnittflächen.

Anschaulich kann man $\underline{\underline{T}}$ am infinitesimalen Würfel ablesen: an jeder Würfelseite wirken eine Normalspannung (senkrecht zur Fläche) und eine Schubspannung (in der Fläche). Die Indizes $\sigma_{ij}$ und $\tau_{ij}$ folgen einer einfachen Konvention. Erster Index: Schnittflächen-Normalrichtung, das heisst Richtung des Vektors welche senkrecht auf der Schnitt-Oberfläche steht. Dieser Index gibt also die Würfelseite an. Zweiter Index: Schubspannungs-Richtung, also wohin die Schubspannung in dieser Fläche zeigt.

Konkret: $\tau_{xy}$ ist die Schubspannung auf der Schnittfläche mit Normale in $x$-Richtung (also der Würfelseite senkrecht zu $\boldsymbol{e}_x$), die in $y$-Richtung wirkt. $\tau_{yx}$ ist umgekehrt: Schnittfläche mit Normale in $y$-Richtung, Spannung in $x$-Richtung. Im nächsten Abschnitt zeigen wir, dass diese beiden Komponenten aus Gleichgewichtsgründen gleich gross sein müssen.

Auf den ersten Blick hat $\underline{\underline{T}}$ vier unabhängige Einträge. Tatsächlich sind es nur drei, weil die beiden Schubkomponenten gleich gross sein müssen: $\tau_{xy} = \tau_{yx}$. Diese Symmetrie ist keine willkürliche Festsetzung, sondern folgt direkt aus dem Momentengleichgewicht eines infinitesimalen Würfel-Elements.

Argument. Betrachte einen kleinen Würfel mit Kantenlänge $dx = dy$ am Punkt. Auf seiner rechten Fläche (Normale $+\boldsymbol{e}_x$) wirkt eine Schubspannung $\tau_{xy}$ in $+y$-Richtung; auf der linken Fläche das negative Gegenstück. Diese beiden bilden ein Kräftepaar mit Hebelarm $dx$, also ein Drehmoment um die $z$-Achse. Damit der Würfel nicht in Rotation gerät, muss ein zweites Kräftepaar das Moment ausgleichen: $\tau_{yx}$ auf den oberen und unteren Flächen. Setzt man die beiden Momente gleich, fällt der Hebelarm raus, und es bleibt $\tau_{xy} = \tau_{yx}$. Die erste Abbildung hilft dir dabei, dir das vorzustellen. (Der Würfel wird von der Seite betrachtet mit der Normalen in z-Richtung, daher sieht man nur ein Quadrat.)

Das bedeutet: in 2D hat der Spannungstensor nur drei unabhängige Komponenten $\\$ ($\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$). Die Schubspannung in einer $x$-Schnittfläche ist gleich der Schubspannung in einer $y$-Schnittfläche, beide mit gleichem Vorzeichen. Diese symmetrische Struktur ist später beim Mohrschen Kreis und bei den Hauptspannungen entscheidend.

Wir hatten in Kap. 1 (Section 3.4) den Cauchy-Hauptsatz kurz vorgestellt: an einem Punkt $\vec{X}$ liefert das Matrix-Vektor-Produkt $\vec{S} = \underline{\underline{T}} \cdot \vec{n}$ den Spannungsvektor zur Schnittnormale $\vec{n}$. Hier in 2D wollen wir ihn explizit durchrechnen und sehen, wie er die Zerlegung in $\sigma_n$ und $\tau_n$ am Schnitt herstellt.

Sei $\vec{n} = (n_x, n_y)^\top$ ein Einheitsvektor (also $n_x^2 + n_y^2 = 1$) und $\underline{\underline{T}}$ der symmetrische Tensor aus 1.2. Komponentenweise ausgeschrieben: $s_x = \sigma_x n_x + \tau_{xy} n_y$, $s_y = \tau_{xy} n_x + \sigma_y n_y$. Das ist der ganze Cauchy-Hauptsatz in 2D, ohne Tricks.

Für die Zerlegung wählen wir den Tangenten-Einheitsvektor $\vec{t} = (-n_y, n_x)^\top$ (senkrecht zu $\vec{n}$ und in der Schnittebene). Dann sind die beiden Komponenten von $\vec{S}$ in dieser Basis: $\sigma_n = \vec{S} \cdot \vec{n}$ als Normalanteil und $\tau_n = \vec{S} \cdot \vec{t}$ als Schubanteil. Beide ergeben sich also aus zwei Skalarprodukten, sobald $\vec{S}$ bekannt ist.

Setzt man $\vec{S} = \underline{\underline{T}}\,\vec{n}$ in $\sigma_n = \vec{S} \cdot \vec{n}$ ein, wird $\sigma_n = \vec{n}^\top \underline{\underline{T}}\,\vec{n}$. Das ist eine quadratische Form in $\vec{n}$. Genau diese Form werden wir in Section 2 nutzen, um zu zeigen, wie $\sigma_n$ vom Drehwinkel des Schnitts abhängt.

Aufgabe (aus Übungsserie 2, H1). Ein Balken A-D der Länge $l$ ist an der Stelle D gelenkig mit dem Stab D-E verbunden. Am Gelenk D wirkt eine Kraft mit Betrag $F$ in positiver $y$-Richtung. An der Mitte (Stelle B) des Balkens A-D ist ein Kragarm B-C der Länge $l/2$ angeschweisst, an dem eine Horizontalkraft $F$ angreift. Der Stab D-E besitzt einen quadratischen Querschnitt mit Seitenlänge $d \ll l$. Bestimme: (a) die Normalspannung $\sigma_0$ im Querschnitt $a$-$a$ senkrecht zur Stab-D-E-Achse, (b) die Normalspannung $\sigma_{bb}$ am hypothetischen Schnitt $b$-$b$, der mit der Stab-D-E-Achse den Winkel $\gamma$ einschliesst (Geometrie aus Lageplan: $\sin\gamma = 2/\sqrt{5}$), und (c) den Betrag der Schubspannung $|\tau_{bb}|$ an demselben Schnitt.

Bisher haben wir den Spannungstensor in einem festen $xy$-Koordinatensystem ausgedrückt. Was passiert, wenn wir das Koordinatensystem drehen? Der physikalische Spannungs-Zustand am Punkt bleibt natürlich derselbe, aber seine Komponenten ändern sich, weil sie immer relativ zu einem Koordinatensystem definiert sind.

Setup. Das ursprüngliche Koordinatensystem mit Achsen $x, y$ und Einheitsvektoren $\boldsymbol{e}_x, \boldsymbol{e}_y$ wird um den Winkel $\alpha$ entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Das neue Koordinatensystem heisst $\xi\eta$ mit Einheitsvektoren $\boldsymbol{e}_\xi = (\cos\alpha, \sin\alpha)^\top$ und $\boldsymbol{e}_\eta = (-\sin\alpha, \cos\alpha)^\top$. Im gedrehten Koordinatensystem nennen wir die Tensor-Komponenten $\sigma_\xi, \sigma_\eta, \tau_{\xi\eta}$.

Idee. Da $\sigma_\xi$ die Normalspannung an einer Schnittfläche mit Normale $\boldsymbol{e}_\xi$ ist, können wir sie direkt aus dem Cauchy-Hauptsatz berechnen: $\sigma_\xi = \boldsymbol{e}_\xi^\top \underline{\underline{T}}\,\boldsymbol{e}_\xi$. Das ist genau die quadratische Form aus 1.3, ausgewertet bei $\vec{n} = \boldsymbol{e}_\xi$. Analog für $\sigma_\eta = \boldsymbol{e}_\eta^\top \underline{\underline{T}}\,\boldsymbol{e}_\eta$ und für $\tau_{\xi\eta} = \boldsymbol{e}_\xi^\top \underline{\underline{T}}\,\boldsymbol{e}_\eta$.

Bedeutung. Die Drehung des Koordinatensystems ist äquivalent dazu, den Schnitt am Bauteil unter dem Winkel $\alpha$ zu legen. Die Frage was sind die Spannungen, wenn ich das Koordinatensystem um $\alpha$ drehe? ist also identisch mit was passiert am Schnitt unter Winkel $\alpha$?. Beide Sichtweisen führen auf die gleichen Formeln, die wir gleich aufschreiben.

Setzt man $\boldsymbol{e}_\xi$ und $\boldsymbol{e}_\eta$ in die quadratischen Formen aus 2.1 ein, fallen die Skalarprodukte explizit auf trigonometrische Ausdrücke. Wir erhalten drei Formeln, eine pro neue Komponente, alle in $\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$ und Trigonometrie von $\alpha$ ausgedrückt. Diese Form mit $\sin\alpha\cos\alpha$ und $\sin^2\alpha, \cos^2\alpha$ ist die direkte Auswertung.

Mit den Doppelwinkel-Identitäten $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ und $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ lassen sich diese drei Ausdrücke kompakter schreiben. Diese Doppelwinkel-Form ist die Brücke zum Mohrschen Kreis: jeder Eintrag ist eine Sinus- oder Kosinus-Welle in $2\alpha$ um einen Mittelwert. Genau dieses Pattern wird der Mohr-Kreis grafisch darstellen.

Aufgabe (aus Übungsserie 2, H2). Der ebene Spannungszustand in einem Punkt $P$ eines Körpers ist durch die Hauptachsen und die Hauptspannungen gegeben: $\sigma_1 = 5k$, $\sigma_2 = -2k$ (mit $k\,[\text{N/m}^2]$). Bestimme die Normalspannung $\sigma$ und die Schubspannung $\tau$ am Flächenelement, dessen Schnittnormale $\vec{n}$ um $30°$ zur $x$-Achse geneigt ist (mit der $x$-Achse entlang der ersten Hauptrichtung).

Der Mohrsche Kreis ist die geometrische Visualisierung der Doppelwinkel-Form aus 2.2. Trägt man $\sigma_\xi$ horizontal und $-\tau_{\xi\eta}$ vertikal in einem Diagramm auf und lässt $\alpha$ von $0$ bis $\pi$ laufen, fährt der Punkt $(\sigma_\xi(\alpha), -\tau_{\xi\eta}(\alpha))$ einen Kreis ab. Das ist der Mohrsche Kreis.

Konstruktion in drei Schritten. Erstens: trage die zwei Punkte $X = (\sigma_x, -\tau_{xy})$ und $Y = (\sigma_y, +\tau_{xy})$ ins $\sigma\tau$-Diagramm ein. Sie liegen auf gegenüberliegenden Seiten des Kreises. Zweitens: ihr Mittelpunkt liegt auf der $\sigma$-Achse bei $M = (\sigma_x + \sigma_y)/2$. Drittens: der Radius ist der Abstand von $M$ zu einem der Punkte, $R = \sqrt{(\sigma_x - \sigma_y)^2/4 + \tau_{xy}^2}$.

Diese Konstruktion folgt direkt aus der Doppelwinkel-Form. Setze $\alpha = 0$: dann sind $\sigma_\xi = \sigma_x$ und $\tau_{\xi\eta} = \tau_{xy}$, der Punkt $X$ landet bei $(\sigma_x, -\tau_{xy})$ (mit Vorzeichen-Konvention für die $\tau$-Achse). Setze $\alpha = \pi/2$: dann sind $\sigma_\xi = \sigma_y$ und $\tau_{\xi\eta} = -\tau_{xy}$, der Punkt $Y$ landet bei $(\sigma_y, +\tau_{xy})$. Beide Punkte liegen $180°$ auseinander am Kreis (entspricht $\alpha$-Differenz $\pi/2$, also Faktor 2 in Mohr).

Wenn man $\alpha$ jetzt von $0$ in kleinen Schritten erhöht, wandert der Punkt $X$ entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Kreis. Bei $2\alpha =$ einer halben Umdrehung ($\alpha = \pi/4$, also Schnitt unter $45°$) ist man genau auf der Spitze des Kreises, wo $\tau$ maximal ist. Bei $2\alpha = 180°$ ($\alpha = 90°$) hat man den Punkt $Y$ erreicht.

Sobald der Kreis konstruiert ist, lassen sich die wichtigsten Grössen ohne weitere Rechnung ablesen. Die Hauptspannungen $\sigma_1, \sigma_2$ sind die Schnittpunkte mit der $\sigma$-Achse, also $\sigma_{1,2} = M \pm R$. Die maximale Schubspannung $\tau_{\max}$ ist der höchste Punkt des Kreises, also $\tau_{\max} = R$. Der Drehwinkel zur Hauptachse, im Mohr-Kreis als $2\alpha_1$ ablesbar, ist im Bauteil halbiert: $\alpha_1$.

Ablese-Schritte. Erstens: $\sigma$-Achsen-Schnittpunkte des Kreises markieren, beschriften als $\sigma_1$ (rechts) und $\sigma_2$ (links). Zweitens: höchster Punkt markieren als $\tau_{\max}$. Drittens: im Mohr-Kreis den Winkel von Punkt $X$ zur $+\sigma$-Achse messen, das ist $2\alpha_1$, halbieren zu $\alpha_1$. Damit hat man Hauptspannungen, max. Schub und Hauptwinkel auf einen Blick.

Für eine Schnittfläche unter beliebigem Winkel $\alpha$ am Bauteil sucht man den Punkt am Kreis mit Winkel $2\alpha$ vom Eingangspunkt $X$ aus (im Mohr-Kreis im gleichen Drehsinn wie am Bauteil). Die $\sigma$-Koordinate dieses Punktes ist $\sigma_n(\alpha)$, die $\tau$-Koordinate ist $-\tau_n(\alpha)$. So bekommt man jede Drehung am Bauteil als geometrische Auswertung am Kreis.

Aufgabe (aus Übungsserie 3, H1). Gegeben sei die Matrix $\{\underline{\underline{T}}\}_{xy} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} k$ mit $k > 0$, die den Spannungstensor im $xy$-Koordinatensystem repräsentiert. (1) Bestimme die Matrix $\{\underline{\underline{T}}\}_{\xi\eta}$ im $\xi\eta$-Koordinatensystem, das um $45°$ gegenüber dem $xy$-Koordinatensystem gedreht ist. (2) Bestimme die Hauptspannungen $\sigma_I$ (Maximum) und $\sigma_{II}$ (Minimum) auf Basis von $\{\underline{\underline{T}}\}_{xy}$. (3) Konstruiere den zugehörigen Mohrschen Spannungskreis und trage die Punkte $(\sigma_\xi, \tau_{\xi\eta})$, $(\sigma_I, 0)$ und $(\sigma_{II}, 0)$ ein. (4) Bestimme die Hauptspannungsrichtungen analytisch.

Eine Schnittrichtung heisst Hauptrichtung, wenn dort die Schubspannung verschwindet, also $\tau_n(\alpha) = 0$. Die zugehörige Normalspannung heisst Hauptspannung, üblicherweise mit $\sigma_1, \sigma_2$ bezeichnet. Anschaulich: an einer Hauptrichtung wirkt nur reines Ziehen oder Drücken, kein seitliches Schieben.

Eigenwert-Bild. Mathematisch sind Hauptspannungen genau die Eigenwerte des Tensors $\underline{\underline{T}}$, und die Hauptrichtungen sind seine Eigenvektoren. Das ist ein direktes Resultat aus der linearen Algebra: $\underline{\underline{T}}\,\vec{n} = \sigma\,\vec{n}$ heisst, dass $\vec{S} = \underline{\underline{T}}\,\vec{n}$ parallel zu $\vec{n}$ ist, also keinen Tangentialanteil hat. Das ist genau die Hauptachsen-Bedingung.

Wozu nützlich. In der Festigkeitslehre testen alle wichtigen Kriterien (Tresca, von Mises, Druckbehälter-Auslegung) primär die Hauptspannungen, nicht die Komponenten in irgendeinem zufälligen $xy$-Koordinatensystem. Hauptspannungen sind unabhängig vom Koordinatensystem, also ist der Spannungs-Zustand invariant beschrieben. Wer sie kennt, hat alles physikalisch Relevante über den Punkt in der Hand.

Aus dem Mohr-Kreis ist die Berechnung der Hauptspannungen ein Einzeiler: $\sigma_{1,2}$ sind die Schnittpunkte des Kreises mit der $\sigma$-Achse, also $M \pm R$. Mit den Formeln für $M$ und $R$ aus 3.1 lassen sich die Hauptspannungen direkt aus den Tensor-Komponenten ablesen, ohne den Kreis erst zu zeichnen.

Hauptwinkel. Die Richtung der ersten Hauptachse zur $x$-Achse ergibt sich aus der Bedingung $\tau_{\xi\eta}(\alpha_1) = 0$ in der Doppelwinkel-Form (Section 2.2). Auflösen liefert $\tan(2\alpha_1) = 2\tau_{xy}/(\sigma_x - \sigma_y)$, also $\alpha_1 = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}\right)$. Konventionsgemäss wählen wir die Lösung mit $0 \leq \alpha_1 \leq 90°$. Die zweite Hauptachse steht senkrecht dazu: $\alpha_2 = \alpha_1 + 90°$.

Der Faktor $\frac{1}{2}$ vor dem Arkustangens kommt aus dem $2\alpha$ in der Doppelwinkel-Form. Wer den Faktor vergisst, dreht doppelt so weit wie nötig und landet auf einer ganz anderen Schnittfläche. Eselsbrücke: Mohr arbeitet mit $2\alpha$, deshalb am Schluss durch 2 teilen.

Die maximale Schubspannung $\tau_{\max}$ ist der höchste Punkt des Mohrschen Kreises, also genau der Radius: $\tau_{\max} = R$. Der zugehörige Winkel im Mohr-Kreis ist $90°$ entfernt vom Punkt $X$, im Bauteil also $45°$ versetzt zur ersten Hauptachse. Anders ausgedrückt: zwischen Hauptspannungen und max. Schub liegt genau $45°$ Drehung.

Wichtig. An der Schnittfläche mit max. Schub verschwindet die Normalspannung im Allgemeinen nicht. Stattdessen ist sie dort genau gleich dem Mittelwert $M = (\sigma_x + \sigma_y)/2$. Das sieht man am Mohr-Kreis: am höchsten Punkt liegt der $\sigma$-Wert genau am Mittelpunkt, also bei $M$. Bei einem Spannungszustand mit $\sigma_x = \sigma_y$ verschwindet auch das, aber im allgemeinen Fall hat die max-Schub-Fläche eine Mittelwert-Normalspannung gleichzeitig.

Aufgabe (aus Übungsserie 2, H3). Gegeben sei der Spannungstensor im $xy$-Koordinatensystem ($\sigma_0 > 0$): $\{\underline{\underline{T}}\}_{xy} = \begin{pmatrix} -10 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}\sigma_0$. Bestimme die maximale und die minimale Hauptspannung sowie die zugehörigen Hauptrichtungen (Winkel bezüglich der $x$-Achse in Grad).