IV.4 Linearisierung und Fehlerrechnung

Bevor wir in zwei Variablen linearisieren, kurzes Auffrischen aus Analysis I. In einer Variable beschreibt die Tangente $t$ an $f$ am Stützpunkt $x_0$ den Funktionsverlauf in einer Umgebung. Sie hat zwei Bauteile: den Funktionswert $f(x_0)$ am Stützpunkt und die Steigung $f'(x_0)$ mal die Veränderung $(x - x_0)$ in $x$-Richtung.

Das Differential $df$ ist die infinitesimale Variante der Steigung. Statt einer endlichen Veränderung $\Delta x$ in $x$ und der zugehörigen Veränderung $\Delta f = f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$ rechnen wir mit infinitesimalen Schritten $dx$ und $df$.

Approximations-Aussage: für kleine Schritte ist die Tangente eine gute Näherung. Identifiziert man $\Delta x = dx$, gilt $\Delta f \approx df$.

Anschaulich heisst das, du darfst die Kurve durch ihre Tangente ersetzen, solange du nicht zu weit weg vom Stützpunkt schaust. Je glatter $f$ und je kleiner $\Delta x$, desto besser. Genau diese Idee bauen wir gleich auf zwei Variablen aus, dort wird aus der Geraden eine Ebene.

Bei einer Variable gibt's nur eine Richtung, also eine Steigung $f'(x_0)$. Bei zwei Variablen kommen zwei Richtungen ins Spiel ($x$- und $y$-Richtung), also zwei Steigungen $f_x(x_0, y_0)$ und $f_y(x_0, y_0)$. Aus der Tangente an die Kurve wird die Tangentialebene am Hügel.

Stell dir den Hügel $z = f(x, y)$ vor. An jedem inneren Punkt liegt eine Tangentialebene am Hügel an, wie ein flaches Brett, das den Hügel an genau einem Punkt berührt und in der Umgebung möglichst eng anliegt. Das ist das Pendant der Tangente in zwei Variablen.

Wichtig: zwei Steigungen, nicht eine. $f_x$ misst, wie steil der Hügel ansteigt, wenn du ein Stück in $x$-Richtung gehst (also 'nach Osten'); $f_y$ ist die analoge Steigung 'nach Norden'. Eine einzige Zahl reicht nicht, weil der Hügel je nach Himmelsrichtung anders aussehen kann (im Extremfall: bergauf in eine Richtung, bergab in die andere).

Die formale Übersetzung des Tangentialebenen-Bilds ist die lineare Ersatzfunktion. Drei Bauteile, jedes anschaulich: der Stützpunkt $f(x_0, y_0)$ liefert die Starthöhe; der $x$-Term $f_x(x_0, y_0)\cdot(x - x_0)$ beschreibt das Ansteigen in $x$-Richtung; der $y$-Term $f_y(x_0, y_0)\cdot(y - y_0)$ macht dasselbe in $y$-Richtung.

Schau die drei Zeilen einzeln an. Der Stützpunkt $f(x_0, y_0)$ legt die Starthöhe am Anker fest. Der zweite Term wächst linear, wenn du in $x$-Richtung wegläufst, und zwar mit Steigung $f_x(x_0, y_0)$. Der dritte Term macht dasselbe für die $y$-Richtung. Zusammen ergibt sich die Ebene, die am Stützpunkt am Hügel klebt und in beiden Richtungen die richtige Steigung hat.

Konkrete Rechnung am Vorlesungs-Beispiel. Wir nehmen $f(x, y) = x^2 + y^2$ und linearisieren am Stützpunkt $(x_0, y_0) = (1, 2)$. Drei Werte am Stützpunkt rechnen, dann ins Schema einsetzen.

Werte einsetzen, ausmultiplizieren, Konstanten zusammenfassen. Die Konstanten beim Stützpunkt-Term ($5 - 2 - 8$) summieren sich zu $-5$, die linearen Terme zu $2x + 4y$.

Die Ersatzfunktion $t$ ist eine Funktion in zwei Variablen $(x, y) \mapsto t(x, y)$. Ihr Graph $\Gamma(t) = \{(x, y, z) : z = t(x, y)\}$ ist eine Ebene im $\mathbb{R}^3$. Diese Ebene heisst Tangentialebene.

Feststellung. $t$ ist linear, also ist $\Gamma(t)$ eine Ebene. Beide partiellen Ableitungen $t_x = f_x(x_0, y_0)$ und $t_y = f_y(x_0, y_0)$ sind konstant (sie hängen nicht mehr von $(x, y)$ ab). Die Ebene hat überall dieselben Steigungen, daher ist sie flach.

Anders bei der echten Funktion $f$: dort hängt die Steigung normalerweise vom Auswertungspunkt ab (auf dem Hügel ist sie an der Spitze flach, an den Flanken steil). Die Tangentialebene friert die Steigung am Stützpunkt ein und behält sie überall. Daher ist die Approximation in der Nähe von $(x_0, y_0)$ gut und weiter weg schlecht.

Im Beispiel oben ($f = x^2 + y^2$ am Punkt $(1, 2)$) ergibt das die konkrete Tangentialebene. Beide Schreibweisen, als $z = \dots$ und als implizite Ebenen-Gleichung:

Wie gut nähert die Ersatzfunktion $t$ die echte Funktion $f$ an? Antwort vorab: bei kleinem Schritt schrumpft der Approximations-Fehler schneller als die Schrittlänge. Dafür brauchen wir zuerst einen Namen für den Fehler.

Definition. Die Approximations-Differenz $\varphi$ ist die Differenz zwischen $f$ am verschobenen Punkt und der Ersatzfunktion am verschobenen Punkt:

Setzt man die Definition von $t$ aus §2.1 ein, kann man $\varphi$ direkt mit $f$ und den partiellen Ableitungen am Stützpunkt schreiben:

Satz. Für stetig differenzierbare $f$ schrumpft $\varphi$ schneller gegen Null als der Abstand $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$:

Dieselbe Aussage in der Landau-Schreibweise (Klein-o):

Beweis-Idee in einer Zeile: addiere und subtrahiere $f(x_0+\Delta x, y_0)$ in $\varphi$, dann zwei Anwendungen des Mittelwertsatzes, dann Stetigkeit der partiellen Ableitungen.

Aufspalten. Wir setzen den Hilfsterm $\pm f(x_0+\Delta x, y_0)$ ein und gruppieren so, dass die erste Differenz rein in $y$, die zweite rein in $x$ läuft.

MWS in $y$-Richtung. Es existiert ein $\eta$ zwischen $y_0$ und $y_0+\Delta y$ mit:

MWS in $x$-Richtung. Es existiert ein $\xi$ zwischen $x_0$ und $x_0+\Delta x$ mit:

Quotient zerlegen. Beides in $\varphi$ einsetzen, durch $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ teilen, Vorfaktoren $\Delta x$ und $\Delta y$ als beschränkte Brüche nach vorn ziehen:

Limes-Schluss. Limes $\Delta x, \Delta y \to 0$. Beide Vorfaktoren bleiben beschränkt durch $1$. Die Klammer-Differenzen $f_x(\xi, y_0) - f_x(x_0, y_0)$ und $f_y(x_0+\Delta x, \eta) - f_y(x_0, y_0)$ gehen wegen Stetigkeit der partiellen Ableitungen gegen Null (sowohl $\xi \to x_0$ als auch $\eta \to y_0$, und $f_x, f_y$ sind stetig). Beschränkt mal Null ist Null. Also $\varphi/\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \to 0$.

Verschiebt man das Koordinatensystem in den Stützpunkt $(x_0, y_0, f(x_0, y_0))$, wird die Ersatzfunktion zur kompakten Form mit zwei Termen. Statt 'Veränderung gegenüber dem Stützpunkt' rechnen wir 'Veränderung gegenüber dem Ursprung' der neuen Koordinaten.

Neue Variablen: $dx$ statt $\Delta x = x - x_0$, $dy$ statt $\Delta y = y - y_0$, $df$ statt der Differenz $t(x, y) - f(x_0, y_0)$. Die Schreibweise des totalen Differentials ist die kompakte Form:

Vergleich mit der Ersatzfunktion in den ursprünglichen Koordinaten: $t(x, y) = f(x_0, y_0) + f_x \cdot \Delta x + f_y \cdot \Delta y$. Die zwei Terme $f_x\,dx$ und $f_y\,dy$ entsprechen exakt den zwei Veränderungs-Beiträgen aus §2.1. Inhaltlich identisch, Schreibweise kompakter. Der Stützpunkt-Wert $f(x_0, y_0)$ verschwindet im neuen Ursprung.

Diese kompakte Form ist genau das, was die Fehlerrechnung in §5 und §6 braucht. Statt mit Differenzen zum Stützpunkt zu hantieren, behandelst du $dx$ und $dy$ wie kleine Stellschrauben, an denen $df$ proportional reagiert. Wenn du an $x$ um $dx$ drehst, verändert sich $f$ ungefähr um $f_x \cdot dx$, und das ohne Wenn und Aber.

Zwei verwandte, aber nicht identische Grössen. $\Delta f$ ist die echte Veränderung von $f$ zwischen Stützpunkt und neuem Punkt, $df$ ist die lineare Ersatzgrösse aus §4.1. Der Unterschied ist genau der Approximations-Fehler $\varphi$ aus §3.

Definition. Die echte Differenz: $\Delta f := f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0)$.

Identifizieren wir $\Delta x = dx$ und $\Delta y = dy$, dann ist $\Delta f - df$ exakt die Approximations-Differenz aus §3:

Lies die Zeile als 'echter Funktionsunterschied minus lineare Schätzung gleich Approximations-Fehler'. Der Approximations-Satz aus §3 sagt, dass dieser Fehler schneller schrumpft als der Schrittabstand $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$. Praktisch: wird der Schritt kleiner, wird der Fehler im Verhältnis zum Schrittabstand immer kleiner. Die lineare Näherung wird relativ zur Schrittgrösse also immer besser.

Aus dem Approximations-Satz folgt direkt: für kleine $\Delta x = dx$ und $\Delta y = dy$ ist $\Delta f \approx df$. Genau diese Identifikation macht das totale Differential zum praktischen Werkzeug der Fehlerrechnung.

Eingangsgrössen $x, y$ kommen oft mit Messfehlern oder Fertigungstoleranzen. Diese Fehler vererben sich auf die berechnete Grösse $f(x, y)$. Die Linearisierung aus §4 liefert die kompakte Schätzung für diese Vererbung.

Absoluter Fehler: $|\Delta f| \approx |df|$ für kleine Eingangsfehler. Relativer Fehler: $|\Delta f / f| \approx |df / f|$. Der relative Fehler ist dimensionslos und damit zwischen verschiedenen Grössen vergleichbar.

Werkzeug für die obere Schranke: Dreiecksungleichung.

Damit gilt $|df| \leq |f_x \cdot dx| + |f_y \cdot dy|$ und für den relativen Fehler analog. Die Dreiecksungleichung gibt die Worst-Case-Schranke.

Bei einer Funktion in Produkt-Potenz-Form $f = c \cdot x^a \cdot y^b$ gibt es eine Faustregel: relative Fehler addieren sich, gewichtet mit den Exponenten. Direkt aus dem totalen Differential $df = f_x\,dx + f_y\,dy$ rechnen, durch $f$ teilen, kürzen:

Mit Dreiecksungleichung folgt die Schranke $|df/f| \leq |a| \cdot |dx/x| + |b| \cdot |dy/y|$. Der Effekt: Variablen mit hoher Potenz beherrschen den Gesamtfehler. Bei einem $R^4$-Term wird der relative Fehler in $R$ vierfach gewichtet, bei einem $h$-Term einfach. Konkrete Anwendung in §6.1.

Anschaulich: bei einem Produkt wirkt jede Variable unabhängig auf das Resultat, und ihr Fehler-Beitrag ist ihr eigener relativer Fehler, gewichtet mit dem Exponenten. Verdoppelst du $x$ in einem $x^2$-Term, vervierfacht sich $f$. Daher zählt eine $1\%$-Toleranz in einem $x^2$-Term doppelt, in einem $x^4$-Term vierfach.

Standard-Klausur-Aufgabe aus Mechanik mit Werkzeugen aus §5. Vollzylinder mit Radius $R$, Höhe $h$, konstante Dichte $\rho$. Massenträgheitsmoment um die Rotationsachse:

Fertigungstoleranz in $R$ und $h$ je $1\%$, also $|dR/R|, |dh/h| \leq 1\%$. Wie gross ist der relative Fehler in $\Theta$?

Absoluter Fehler. Totales Differential mit $\Theta_R = \rho \cdot \tfrac{\pi}{2} \cdot 4 R^3 \cdot h$ und $\Theta_h = \rho \cdot \tfrac{\pi}{2} \cdot R^4$:

Relativer Fehler. Durch $\Theta = \rho \tfrac{\pi}{2} R^4 h$ teilen. Vorfaktor $\rho \tfrac{\pi}{2}$ kürzt sich exakt, $R^3 / R^4 = 1/R$, $h/h = 1$:

Beobachtung. Hauptanteil aus $R$ ($4\%$), kleiner Anteil aus $h$ ($1\%$). Das ist der Effekt der vierten Potenz: $R$ steckt in $\Theta$ mit Exponent 4, $h$ mit Exponent 1. Daher beherrscht der $R$-Fehler den Gesamtfehler.

Zweite Anwendungs-Aufgabe, hier mit Quotient und potenzieller Fehler-Explosion. Spezifisches Gewicht $\gamma = F_G / V$ einer Probe. Mit Archimedischem Prinzip: $x = \gamma V$ ist die Gewichtskraft in Luft, $y = (\gamma - 1) V$ ist die Gewichtskraft unter Wasser (Auftrieb subtrahiert).

Messtoleranz $|dx/x|, |dy/y| \leq 1\%$. Wie gross ist der relative Fehler in $\gamma$?

Absoluter Fehler. Quotientenregel auf $\gamma_x$ und $\gamma_y$. Mit $\gamma_x = \frac{(x-y) - x \cdot 1}{(x-y)^2} = \frac{-y}{(x-y)^2}$ und $\gamma_y = \frac{0 - x \cdot (-1)}{(x-y)^2} = \frac{x}{(x-y)^2}$:

Relativer Fehler. Wir teilen $d\gamma$ durch $\gamma = x/(x-y)$. Die Identität $\gamma - 1 = y / (x - y)$ macht das Ergebnis kompakt:

Dreiecksungleichung. Nach dem Teilen und Anwenden der $|\gamma - 1|$-Identität:

Beobachtung. Bei nahezu gleichen $x$ und $y$ wird $\gamma - 1$ gross, der relative Fehler explodiert. Das ist die generische Numerik-Falle 'Subtraktion fast-gleich-grosser Zahlen': wenn $x$ und $y$ sich fast aufheben, geht ein Grossteil der signifikanten Stellen in der Differenz $x - y$ verloren, und der relative Fehler wird riesig.

Aufgaben werden vom Nutzer geliefert. Standard-Vorgehen: Werte am Stützpunkt berechnen, Ersatzfunktion oder $df$ aufstellen, je nach Aufgabe Tangentialebene angeben oder Fehlerrechnung ausführen. Cheat-Sheet aus §6 deckt die typischen Fälle ab.