IV.6 Verallgemeinerte Kettenregel

In einem Gebiet $A = D(f)$ liegt eine Kurve $K$ mit Parametrisierung $\vec{r}: [a, b] \to A$. Wie verhält sich die Funktion $f$ entlang dieser Kurve?

Stell dir vor, $f$ ist eine Höhen-Landschaft (Hügel und Täler), und die Kurve $K$ ist ein Wanderweg quer durchs Gelände. Die Frage 'wie verändert sich $f$ entlang $K$' wird konkret zu 'wie steil geht es auf dem Weg bergauf oder bergab?'.

Wir definieren die Höhen-Funktion entlang des Weges als Komposition aus Bahn und Skalarfeld. Wichtig: $F$ ist eine Funktion in einer Variable $t$ (dem Wegparameter), obwohl $f$ in zwei Variablen lebt. Gesucht ist die Ableitung $F'(t)$.

Anwendungs-Vorschau. Falls $K$ der Rand des Definitionsbereichs $D(f)$ ist und $F'(t_0) = 0$ an einem Wegpunkt gilt, dann ist $\vec{r}(t_0)$ ein Kandidat für eine lokale Extremalstelle entlang des Randes (siehe IV.5 §3.1, notwendige Bedingung Typ (i)).

Ableitung von $F$ rechnen wir aus dem Differenzenquotienten und nutzen den Approximations-Satz aus IV.4. Erster Schritt: schreibe $F'(t)$ als Limes.

Setze $\Delta x := x(t+\Delta t) - x(t)$ und $\Delta y := y(t+\Delta t) - y(t)$. Dann ist $x(t+\Delta t) = x(t) + \Delta x$ und entsprechend für $y$.

Damit gilt $F(t+\Delta t) - F(t) = f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x, y)$. Genau diese Differenz haben wir in IV.4 §3.1 schon studiert: sie zerlegt sich in den linearen Anteil aus dem totalen Differential plus die Approximations-Differenz $\varphi$.

Auflösen nach der echten Differenz: $f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x, y) = \varphi(\Delta x, \Delta y) + f_x\,\Delta x + f_y\,\Delta y$. Einsetzen in den Differenzenquotienten liefert eine Summe aus drei Termen, die wir gleich einzeln behandeln.

Den Term mit $\varphi$ erweitern wir mit einem $1$-Faktor: multipliziere und dividiere mit $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$. Damit bekommen wir das Stück $\varphi/\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ rein, das per Klein-o gegen $0$ geht.

Das Reststück $\Delta x / \Delta t$ und $\Delta y / \Delta t$ konvergieren bei $\Delta t \to 0$ gegen die Komponenten der Bahngeschwindigkeit $\dot{x}(t)$ bzw. $\dot{y}(t)$. Der lineare Teil aus §2.1 wird also zu $f_x \dot{x} + f_y \dot{y}$. Das ist schon der Hauptsatz, den wir im nächsten Subsection sauber aufschreiben.

Voraussetzung im Klartext. Wir brauchen $f$ stetig differenzierbar (für den $\varphi$-Klein-o-Satz aus IV.4 §3.1) plus $\vec{r}$ differenzierbar mit beschränkter Bahngeschwindigkeit (damit $|\dot{\vec{r}}(t)| < \infty$). Beides ist bei jeder Klausur-Aufgabe automatisch erfüllt.

Der Limes liefert die Hauptaussage des Kapitels.

Vier äquivalente Schreibweisen sammeln wir in §2.4 als Cheat-Sheet. Anwendungs-Beispiel jetzt: nehmen wir $f(x, y) = xy^2$ und die Trochoiden-artige Bahn $\vec{r}(t) = (-\tfrac{3}{2} t \cos(t),\; t \sin(t))$.

Bahngeschwindigkeit per Produktregel: $\dot{x}(t) = -\tfrac{3}{2}(\cos(t) - t \sin(t))$ und $\dot{y}(t) = \sin(t) + t \cos(t)$. Beide explizit ausschreiben:

Partielle Ableitungen von $f$: $f_x = y^2$ und $f_y = 2xy$. Einsetzen in $F'(t) = f_x \dot{x} + f_y \dot{y}$ liefert den vollen Ausdruck:

Auswerten an einer interessanten Stelle: $t = \pi$. Dort ist $\sin(\pi) = 0$, also $y(\pi) = \pi \sin(\pi) = 0$. Beide Terme tragen $y$ als Faktor (im ersten als $y^2$, im zweiten als $2xy$). Mit $y = 0$ verschwinden beide:

Die Verallgemeinerte Kettenregel hat vier Schreibweisen, alle inhaltlich identisch. Welche du wann nutzt, entscheidet die Aufgabenstellung und der Geschmack. Im Klausur-Lösungsweg lohnt es sich, immer die Form zu wählen, die zur Anwendung am besten passt.

Niveaulinien wurden in IV.1 eingeführt: die Menge $\{(x, y) \mid f(x, y) = C\}$ aller Punkte, an denen $f$ einen festen Wert $C$ annimmt. Jetzt holen wir ihre Tangenten ein, mit der Verallgemeinerten Kettenregel als Werkzeug.

Sei $\vec{r}(t)$ eine Parametrisierung einer Niveaulinie, also $f(\vec{r}(t)) = C$ für alle $t$ aus dem zulässigen Bereich. Dann ist die Höhen-Funktion entlang der Bahn $F(t) = f(\vec{r}(t)) = C$ konstant in $t$. Konstante Funktion, Ableitung null. Setzen wir das mit der Kettenregel zusammen:

Geometrische Bedeutung: der Gradient steht an jedem Punkt senkrecht auf der Niveaulinie durch diesen Punkt. Das ist eine Eigenschaft des Gradienten, die in IV.2 §4.2 nur als Vorschau erwähnt war (ohne Beweis); hier folgt sie direkt aus 'Höhe konstant entlang Niveaulinie + Kettenregel'.

Geometrisches Bild zum Mitnehmen: stehst du auf einem Wanderweg, der genau einer Höhenlinie folgt, dann zeigt der Gradient (Richtung des steilsten Anstiegs) immer rechtwinklig zum Weg. Logisch: würde er einen Anteil entlang des Weges haben, würdest du beim Gehen die Höhe ändern, also wärst du nicht mehr auf einer Höhenlinie.

Eine Kurve $K$ ist oft implizit durch eine Gleichung $f(x, y) = 0$ gegeben, ohne dass man $y$ explizit als Funktion von $x$ auflösen kann. Beispiel: die Hyperbel $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ liefert $y = \pm b\sqrt{x^2/a^2 - 1}$ nur stückweise mit Vorzeichen-Wahl. Trotzdem gibt es eine Tangentensteigung an jedem Punkt der Kurve, und die Verallgemeinerte Kettenregel liefert sie ohne explizite Auflösung.

Setup. Sei $K = \{(x, y) \mid f(x, y) = 0\}$ und $(x_0, y_0) \in K$ ein Punkt auf der Kurve. In einem Bereich um $(x_0, y_0)$ existiert eine lokale Auflösung $y = \varphi(x)$ mit $\varphi(x_0) = y_0$. Damit gilt:

Beide Seiten der Identität nach $x$ ableiten: links Verallgemeinerte Kettenregel auf die Komposition $x \mapsto f(x, \varphi(x))$, rechts Ableitung der Konstanten ist null.

Satz Tangentensteigung. An einem Punkt $(x_0, y_0)$ auf der impliziten Kurve $\{f = 0\}$ mit $f_y(x_0, y_0) \neq 0$ ist die Tangentensteigung der lokalen Auflösung $y = \varphi(x)$ gegeben durch $\varphi'(x_0) = -f_x/f_y$, beide Ableitungen am Punkt $(x_0, y_0)$ ausgewertet. Geometrisch: die Tangente an die Kurve hat genau diese Steigung.

Standard-Klausur-Beispiel ohne explizite Parametrisierung. Die Hyperbel $H = \{f = 0\}$ mit $f(x, y) = x^2/a^2 - y^2/b^2 - 1$ und Halbachsen $a, b > 0$. Sei $(x_0, y_0) \in H$ ein beliebiger Kurvenpunkt mit $y_0 \neq 0$.

Partielle Ableitungen direkt: $f_x = 2x/a^2$ und $f_y = -2y/b^2$. Mit dem Satz aus §4.1 folgt die Tangentensteigung:

Die Tangente durch $(x_0, y_0)$ mit Steigung $m$ ist $y - y_0 = m(x - x_0)$. Multiplikation mit $y_0/b^2$ und Ausnutzung der Punkt-auf-Hyperbel-Bedingung $x_0^2/a^2 - y_0^2/b^2 = 1$ liefert eine elegante implizite Form:

Im idealen Gas $pV = nRT$ und allgemeineren Gas-Gesetzen ergeben sich drei implizite Funktionen, je nachdem welche Variable man als abhängig wählt. Druck als Funktion von Volumen und Temperatur, Volumen als Funktion von Druck und Temperatur, Temperatur als Funktion von Druck und Volumen.

Charakteristische Stoff-Konstanten leiten sich aus partiellen Ableitungen dieser drei Funktionen ab. Drei Standard-Definitionen:

Vorzeichen-Vorsicht. Bei steigendem Druck nimmt das Volumen ab, also ist $V_p < 0$. Per Konvention will man $\kappa > 0$ als positive Materialkonstante, daher steht das Minus-Vorzeichen vor dem Quotienten in der Definition. Das Minus ist kein Schreibfehler, sondern bewusste Vorzeichen-Korrektur.

Vorschau auf IV.7. Die drei Koeffizienten hängen über eine implizite Relation zusammen, die direkt aus der Verallgemeinerten Kettenregel auf die Zustands-Gleichung folgt. Die volle Herleitung folgt in IV.7, sobald wir formal mit Funktionen in drei Variablen arbeiten. Hier reichen die Definitionen.

Aufgaben werden vom Nutzer geliefert. Standard-Vorgehen: bei 'Funktion entlang Kurve'-Aufgaben Verallgemeinerte Kettenregel in der passenden Schreibweise (Cheat-Sheet §2.4) aufstellen, $\dot{\vec{r}}$ und $\operatorname{grad}(f)$ ausrechnen, Skalarprodukt bilden. Bei impliziten Tangenten-Aufgaben Voraussetzung $f_y \neq 0$ prüfen, $-f_x/f_y$ einsetzen, gegebenenfalls mit der Implizit-Bedingung umformen (siehe §4.2 Hyperbel-Beispiel). Bei Niveaulinien-Argumenten direkt die Senkrechtstellung $\operatorname{grad}(f) \perp K$ aus §3.1 nutzen.