Kap. VIII: Mechanische Mechanismen

Der einfachste Kraftverstärker ist der Hebel. Eine Stange dreht um einen festen Drehpunkt; auf der einen Seite greift die Eingangskraft $F_1$ im Abstand $l_1$ an, auf der anderen die Ausgangskraft $F_2$ im Abstand $l_2$. Aus dem Momentengleichgewicht um den Drehpunkt ($F_1 l_1 = F_2 l_2$) folgt sofort der Zusammenhang.

In Worten: ein langer Eingangsarm und ein kurzer Ausgangsarm machen aus einer kleinen Handkraft eine grosse Nutzkraft. Genau so hebelst du mit einer langen Brechstange einen schweren Deckel auf.

Je nach Anordnung von Drehpunkt und Kräften unterscheidet man drei Bauformen. Beim einseitigen Hebel liegen beide Kräfte auf derselben Seite des Drehpunkts. Beim zweiseitigen Hebel liegt der Drehpunkt zwischen den Kräften (wie bei einer Wippe). Beim Winkelhebel stehen die beiden Arme in einem Winkel zueinander, sodass die Kraftrichtung umgelenkt wird. In allen drei Fällen gilt dasselbe Hebelgesetz, man muss nur die jeweils wirksamen (senkrechten) Hebelarme einsetzen.

Ein einzelner Hebel verstärkt vielleicht um den Faktor fünf. Brauchst du mehr, schaltest du mehrere Hebel hintereinander: der Ausgang des ersten ist der Eingang des zweiten. Die Verstärkungsfaktoren multiplizieren sich dann einfach.

Eine besonders wirkungsvolle Sonderform ist der Kniehebel. Zwei Glieder sind über ein Gelenk wie ein leicht angewinkeltes Knie verbunden. Drückt man das Knie Richtung Strecklage, wandert der Endpunkt fast nicht mehr weiter, die Kraft am Ausgang wächst dafür ins Extreme. Die Winkel $\alpha_1$ und $\alpha_2$ messen, wie weit die beiden Glieder noch von der gestreckten Lage entfernt sind.

Beim symmetrischen Kniehebel mit gleichen Winkeln ($\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha$) vereinfacht sich die Formel zur Form unten. Erst nahe der Strecklage zahlt sich der Kniehebel aus.

Die zweite Familie der Kraftverstärker arbeitet nicht mit Drehpunkten, sondern mit schrägen Flächen. Schiebt man eine Last über eine flache Rampe statt sie senkrecht zu heben, braucht man weniger Kraft, dafür einen längeren Weg, ganz im Sinne der Goldenen Regel.

Ein Keil ist nichts anderes als zwei gegeneinander gestellte schiefe Ebenen. Treibt man ihn mit der Kraft $F_1$ über den Weg $s_1$ ein, drückt er die Gegenseite mit $F_2$ über den viel kürzeren Weg $s_2$ auseinander.

Eine Schraube schliesslich ist ein auf einen Zylinder aufgewickelter Keil: das Gewinde ist die schiefe Ebene, der Steigungswinkel $\varphi$ spielt die Rolle des Keilwinkels. Drehst du mit der Umfangskraft $F_U$ am Schraubenkopf, entsteht in Achsrichtung die viel grössere Kraft $F$.

Die ideale Formel vernachlässigt die Reibung im Gewinde. In Wirklichkeit musst du beim Anziehen einer Schraube zusätzlich die Gewindereibung überwinden, beim Lösen hilft sie dir. Diese Reibung fasst der Reibungswinkel $\rho'$ zusammen. Mit ihm und dem Flankendurchmesser $d_2$ (an dem die Umfangskraft wirksam angreift) ergibt sich das tatsächlich nötige Gewindemoment.

Kombiniert man feste und lose Rollen, addieren sich die tragenden Seilstränge. Der Trick beim Lesen eines Flaschenzugs: zähle, wie viele Seilstränge die untere (bewegliche) Flasche mit der Last tragen. Diese Zahl $n$ ist der Verstärkungsfaktor.

Auch hier gilt die Goldene Regel: wer die Kraft auf ein Siebtel drückt, muss das Seil sieben Mal so weit einziehen. Ein Flaschenzug spart Kraft, kostet aber Seilweg und damit Zeit.

Ob der Stössel gleichmässig läuft oder ruckelt, hängt vom Verhältnis von Kurbel- zu Pleuellänge ab. Diese Kennzahl heisst Schubstangenverhältnis $\lambda$.

Treibt ein konstantes Moment $M_{an}$ die Kurbel an, dann ändert sich die Kraft am Stössel ständig, weil sich die Winkel $\alpha$ und $\beta$ während eines Umlaufs ändern. Die Stösselkraft $F_S$ folgt aus der Zerlegung der Kurbelkraft über das Pleuel.

Verschiebt man die Drehachse um eine Exzentrizität $e$ aus der Stösselachse heraus, passiert etwas Nützliches: der Stössel bewegt sich in die eine Richtung schneller als in die andere. Die beiden Totlagen liegen dann nicht mehr symmetrisch, sondern um einen Winkel $\delta$ versetzt. Diesen Versatz findet man über zwei Hilfswinkel $\gamma_1$ und $\gamma_2$ zu den beiden Totlagen. Stell in Abb. 3 die Exzentrizität $e > 0$, um den Versatz und den daraus folgenden Eilrücklauf direkt zu sehen.

Den Effekt beschreibt das Zeitenverhältnis $Q$: das Verhältnis der Zeit für den langsamen Hub zur Zeit für den schnellen Hub. Es hängt allein vom Versatzwinkel $\delta$ ab.

Statt eines Pleuels kann man auch eine Schleife (einen Schlitz) verwenden, in der ein Kurbelzapfen gleitet. Die Kreuzkurbelschleife (englisch Scotch Yoke) erzeugt damit eine perfekte Sinusbewegung des Stössels und heisst deshalb auch Sinus-Generator. Im Gegensatz zur Schubkurbel ist ihr Bewegungsprofil exakt harmonisch, ohne den Oberwellen-Anteil, den das endliche Pleuel sonst hineinbringt.

Die Kurbelschleife (englisch Quick Return) ist die zweite Schleifen-Bauform. Eine kurze Kurbel ($R_1$) treibt über einen Gleitstein eine längere Schwinge ($R_2$) an, die wiederum den Stössel schiebt. Auch sie liefert einen ausgeprägten Eilrücklauf. Versatzwinkel $\delta$ und Hub $H$ folgen aus der Geometrie.

Liegt die Kurve nicht als flache Scheibe, sondern als Nut auf einem Zylinder vor, spricht man von einer Kurventrommel (englisch barrel cam). Der Stössel läuft in der umlaufenden Nut und wird parallel zur Drehachse hin und her geschoben. Weil die Nut den Stössel von beiden Seiten führt, ist die Bewegung formschlüssig, der Stössel kann nicht abheben.

Aus den Grundbausteinen lassen sich reichhaltige Mechanismen bauen: Kurvengetriebe mit zwei Stösseln, die von einer Scheibe gleichzeitig zwei Abtriebe steuern, oder Kurvengetriebe mit zwei Kurven, bei denen jede Drehrichtung eine eigene Kontur abtastet. So entstehen aus einer einzigen drehenden Welle ganze Bewegungsabläufe, der Kern jeder Automatisierungs- und Verpackungsmaschine.

Jetzt kommt der eigentliche Trick. Heftet man einen Punkt $P$ fest auf die Koppel (nicht auf ein Gelenk, sondern irgendwo auf dem mittleren Stab oder einem starr damit verbundenen Fortsatz), dann beschreibt dieser Punkt beim Durchlaufen des Mechanismus eine geschlossene Bahn. Diese Bahn heisst Koppelkurve, und ein Getriebe, das sie als Nutzbewegung verwendet, ein Koppelgetriebe.

Das Verblüffende: schon vier einfache Stäbe erzeugen erstaunlich reiche Bahnen. Die Form der Koppelkurve hängt nur von zwei Dingen ab: den vier Gliedlängen ($L_1$ Gestell, $L_2$ Kurbel, $L_3$ Koppel, $L_4$ Schwinge) und der Lage des Koppelpunkts auf der Koppel (Abstand $BP$ vom Gelenk $A$ und Koppelwinkel $\gamma$). Verschiebt man $P$, wandert die Kurve durch ein ganzes Formenspektrum.

Die Grundformen haben sogar eigene Namen: von der Pseudo-Ellipse und der Nierenbohne über Banane und Sichel bis zu nahezu geraden Stücken, Tropfen mit Spitze und Achterkurven mit Selbstüberschneidung. In Konstruktionsatlanten sind diese Kurven nach dem Längenverhältnis $L_3/L_2 = L_4/L_2 = BP/L_2$ und dem Koppelwinkel $\gamma$ tabelliert, sodass man zu einer gewünschten Bahn die passende Geometrie nachschlagen kann.

Der folgende Atlas macht das anschaulich: Jede Zeile steht für ein Längenverhältnis $L_3/L_2$ (die Zahl links), jede Spalte für einen Koppelwinkel $\gamma$ (der Wert oben). In jeder Zelle siehst du die zugehörige Koppelkurve, alle bei festem Gestellverhältnis $L_1/L_2 = 2$. Wandere mit den Augen durch die Tabelle und beobachte, wie die Bahn ihre Form wechselt: kleine $\gamma$ liefern eher rundliche Ellipsen und Nierenbohnen, um $\gamma = 180°$ herum werden die Kurven flacher und bananenförmig, und für grosse $\gamma$ schliessen sie sich wieder zu Schleifen.

Eine besonders nützliche Koppelkurve ist die, die ein Stück weit fast genau geradlinig verläuft. Lange bevor es präzise Linearführungen gab, war die Viergelenkkette die einzige Möglichkeit, aus einer Drehbewegung eine angenähert gerade Linie zu erzeugen. Solche Getriebe heissen Geradführungen.

Der einfachste Spezialfall ist das Parallelkurbelgetriebe: Kurbel und Schwinge sind gleich lang, und die Koppel bleibt deshalb immer parallel zum Gestell. Jeder Punkt der Koppel macht dieselbe Kreisbewegung. Man findet es überall dort, wo etwas parallel geführt werden soll, etwa an der Parallelogramm-Aufhängung von Tischlampen, an Förderbändern oder als Kuppelstange zwischen den Rädern einer Lokomotive.

Aus geschickt gewählten Gliedlängen entstehen die klassischen Geradführungen: der Hoeken-Mechanismus (auch Lambda-Mechanismus) erzeugt ein langes, sehr gerade verlaufendes Stück der Koppelkurve, ebenso der Tchebyshev-Mechanismus. Treibt man die Idee weiter, lässt sich die Koppelkurve sogar als Fussbahn auslegen: der Jansen-Mechanismus setzt mehrere solche Ketten zu einer laufenden Maschine zusammen (den bekannten Strandbeest-Figuren).