1. Beanspruchungen und Spannungen

Beim Belasten eines Bauteils entstehen im Inneren Kräfte und Momente, die der äußeren Belastung das Gleichgewicht halten. Diese inneren Reaktionen werden als Beanspruchungen bezeichnet. Sie sind die Ursache dafür, dass sich ein Bauteil verformt, ermüdet oder bricht.

Beanspruchung ist nicht dasselbe wie die externe Last. Eine Schraube und ein Seil, die jeweils mit einer Kraft von 100 N belastet werden, können völlig unterschiedlich beansprucht werden: Die Schraube erfährt je nach Einbausituation beispielsweise Schub und Biegung, das Seil hingegen wird rein auf Zug beansprucht. Die externe Last beschreibt lediglich die äußere Einwirkung; die Beanspruchung beschreibt, wie das Bauteil intern darauf reagiert.

Mechanik II beginnt also mit der Frage: Wie sieht bei einer gegebenen externen Belastung die Beanspruchungsverteilung im Inneren aus? Daraus folgt im nächsten Schritt das Konzept der Spannung als lokale Beanspruchungsintensität (Kraft pro Fläche).

Eine externe Belastung kann auf ein Bauteil auf fünf grundverschiedene Arten wirken. Jede Art führt zu einer charakteristischen Verformung und einer charakteristischen Spannungsverteilung. In der Praxis treten oft Kombinationen auf, aber das Verständnis der Grundtypen ist die Basis.

Zug dehnt den Stab in Längsrichtung, Druck staucht ihn. Beides sind axiale Beanspruchungen, der Stab bleibt gerade. Im Spannungsbild führt Zug zu positiver Normalspannung $\sigma > 0$, Druck zu negativer Normalspannung $\sigma < 0$.

Schub verschiebt zwei benachbarte Materialschichten parallel zueinander. Typisch bei Bolzen, Schrauben und Klebeverbindungen. Der Stab schert ab, sobald die Schubspannung $\tau$ zu gross wird.

Biegung krümmt den Stab quer zur Längsrichtung, Torsion verdreht ihn um die Längsachse. Diese beiden treten bei Trägern, Wellen und Rohren auf und werden in den späteren Kapiteln (6 bis 10) ausführlich behandelt. Hier reicht der Blick auf das Gesamtbild.

Bislang haben wir von Kräften und Momenten gesprochen, die im Bauteil wirken. Aber eine Kraft an einem Bauteil ist nicht das Gleiche wie eine Kraft an einem starren Massepunkt. Eine 1000 N-Last über eine 1 cm²-Fläche aufgebracht ist viel kritischer als die gleiche Last über 100 cm². Das Material spürt nicht die Kraft, sondern die Kraft pro Fläche.

Genau das ist die zentrale Idee von Spannung: $\sigma = F/A$. Spannung ist die räumliche Dichte der inneren Kräfte. Sie ist eine lokale Grösse, definiert in jedem Punkt des Bauteils, und eine richtungsabhängige Grösse: an einem festen Punkt ist die Spannung anders, je nachdem in welche Richtung man durchschneidet. Das ist der Hauptunterschied zu Druck im Sinne der Hydrostatik (skalar, isotrop).

Die Richtungsabhängigkeit ist der Grund, warum wir in Kapitel 2 den Spannungstensor brauchen. Hier in Kapitel 1 reicht uns zunächst die einfache Formel $\sigma = F/A$ für gleichmässig verteilte Spannungen. In Abschnitt 3 lernen wir die formale Definition über den Spannungsvektor.

Wie kommt man von der externen Belastung zur Spannungsverteilung im Inneren? Über das Schnittprinzip: man denkt sich das Bauteil entlang einer beliebigen Ebene durchtrennt und betrachtet die zwei Hälften separat. Die innere Spannung wird dabei zur äusseren Belastung an der Schnittfläche und macht sich sichtbar.

Das Vorgehen läuft in drei Schritten: erstens einen passenden Schnitt wählen (oft senkrecht zur Längsachse). Zweitens das Gleichgewicht der einen Hälfte aufstellen, mit der unbekannten Schnittkraft als Innen-Last. Drittens die Schnittkraft auflösen und über die Schnittfläche zu einer Spannungsverteilung umrechnen.

Das funktioniert auf jedem Niveau: vom Gesamt-Bauteil bis zum infinitesimalen Volumenelement. In Kap. 2 werden wir das Schnittprinzip auf einen würfelförmigen Mikrokörper anwenden, um die Tensor-Komponenten herzuleiten.

An der Schnittfläche treten in beiden Hälften gleich grosse, entgegengesetzt gerichtete Kräfte auf. Das ist Newtons drittes Gesetz auf Material-Ebene: was die linke Hälfte auf die rechte ausübt, übt die rechte umgekehrt auf die linke aus. Im Gleichgewicht heben sich diese Schnittkräfte mit den externen Belastungen pro Hälfte auf.

Konkret kann man für jede Hälfte die resultierende Schnittkraft (Vektor) und das resultierende Schnittmoment (Vektor) bestimmen. Diese hängen sowohl vom Schnitt-Ort als auch vom Schnitt-Winkel ab. In einem Stab unter Axialzug ist die Schnittkraft an jedem Querschnitt gleich; bei einem Träger unter einer linienverteilten Last variiert sie mit der Position.

Die Aufteilung der Schnittkraft auf eine Spannungsverteilung über die Schnittfläche ist im Allgemeinen nicht trivial. Im einfachsten Fall (gleichmässige Verteilung) ist $\sigma = F/A$. Bei komplexen Querschnitten (etwa Biegung) ist die Verteilung über die Fläche linear oder nichtlinear, was wir in Kap. 6 behandeln werden.

Aus der Schnittkraft pro Fläche wird durch einen Grenzprozess die Spannung in einem Punkt. Verkleinert man die Schnittfläche $\Delta A$ um einen Punkt $\vec{X}$ herum auf null, und teilt die zugehörige Teil-Schnittkraft $\Delta \vec{F}$ durch $\Delta A$, so erhält man im Limes den Spannungsvektor.

Der Vektor $\vec{n}$ ist die Schnittflächennormale und macht klar, dass das Resultat nicht nur vom Punkt $\vec{X}$, sondern auch von der Wahl der Schnittebene abhängt. Hält man $\vec{X}$ fest und variiert $\vec{n}$, hat man einen ganzen Schwarm von Spannungsvektoren, alle dem gleichen Punkt zugeordnet.

Diese doppelte Abhängigkeit von Position und Schnitt-Richtung ist die zentrale Tatsache, die in Kapitel 2 zur Tensor-Definition führt. Der Spannungstensor codiert die ganze Familie von $\vec{s}(\vec{n})$-Werten am gleichen Punkt $\vec{X}$ in einem mathematischen Objekt.

Aus dem Grenzprozess in 2.3 folgt die formale Definition: der Spannungsvektor $\vec{s}$ ist eine Funktion von zwei Argumenten. Erstens der Position $\vec{X}$ im Bauteil. Zweitens der Schnittflächennormale $\vec{n}$ am Punkt $\vec{X}$. Verändert man eines der beiden Argumente, ändert sich $\vec{s}$ im Allgemeinen.

Vorzeichenkonvention für $\vec{n}$: per Konvention zeigt $\vec{n}$ aus der betrachteten Hälfte heraus. Wechselt man die Hälfte, kippt $\vec{n}$ um, und mit ihm $\vec{s}$ (Newton 3, beide Hälften haben entgegengesetzte Spannungsvektoren am gleichen Punkt).

Da $\vec{s}$ ein Vektor ist, hat er drei Komponenten in einem $(x, y, z)$-Koordinatensystem. Praktisch zerlegt man ihn aber lieber in Komponenten bezüglich der Schnittfläche: einen Anteil parallel zu $\vec{n}$ (Normalspannung) und einen Anteil senkrecht dazu (Schubspannung). Das ist der Inhalt des nächsten Abschnitts.

Sei $\vec{n}$ die Schnittflächennormale (Einheitsvektor) und $\vec{t}$ ein Tangentenvektor in der Schnittebene (ebenfalls Einheitsvektor). Der Spannungsvektor lässt sich eindeutig zerlegen in einen Normalanteil und einen Schubanteil.

Die Normalspannung $\sigma_n$ ist die Komponente von $\vec{s}$ entlang $\vec{n}$, die Schubspannung $\tau_n$ ist die Komponente in der Schnittebene. Damit gilt $\vec{s} = \sigma_n \vec{n} + \tau_n \vec{t}$.

Die Beträge folgen aus dem Skalarprodukt: $\sigma_n = \vec{s} \cdot \vec{n}$, und $\tau_n^2 = |\vec{s}|^2 - \sigma_n^2$ über den Pythagoras (weil $\vec{n} \perp \vec{t}$). Das ist die Standard-Zerlegung, die in praktisch jeder Spannungs-Aufgabe auftaucht.

Vorzeichen. Normalspannung ist positiv bei Zug, negativ bei Druck. Das folgt aus der Konvention, dass $\vec{n}$ aus der betrachteten Hälfte herauszeigt. Wenn $\vec{s}$ in die gleiche Richtung zeigt wie $\vec{n}$, zieht das Material; $\sigma_n > 0$. Wenn $\vec{s}$ in die Gegenrichtung zeigt, drückt es; $\sigma_n < 0$. Schubspannung wird wie oben gesagt per Konvention nicht-negativ gerechnet, das Vorzeichen liegt in der Wahl von $\vec{t}$.

Einheit. Spannung wird in Pascal $\text{Pa} = \text{N/m}^2$ gemessen. Im Mechanik-Kontext ist Pascal viel zu klein; die Standard-Einheit ist Megapascal $\text{MPa} = \text{N/mm}^2$. Stahl hat z. B. eine Streckgrenze um $300\,\text{MPa}$, Beton-Druckfestigkeit liegt um $30\,\text{MPa}$.

Konsistente Notation. Wir verwenden in allen Mechanik-Kapiteln durchgehend die Notation aus der Vorlesung: Spannung $\sigma$, Schubspannung $\tau$, Spannungsvektor $\vec{s} = \boldsymbol{s}(\vec{X}, \vec{n})$, Spannungstensor $\underline{\underline{T}}$. Wer parallel mit Lehrbüchern arbeitet, sollte beachten, dass dort manchmal $\boldsymbol{T}$ oder $\boldsymbol{\Sigma}$ statt $\underline{\underline{T}}$ steht.

Aus dem nächsten Abschnitt (Beispiel 4.3, schräger Schnitt) wird sich zeigen, dass am gleichen Punkt unter gleicher Last verschiedene Schnittwinkel verschiedene Spannungsvektoren $\vec{s}(\vec{n})$ liefern. Die ganze Familie dieser Vektoren am gleichen Punkt lässt sich elegant in einem mathematischen Objekt codieren: dem Spannungstensor $\underline{\underline{T}}$.

Formal ist $\underline{\underline{T}}$ eine $3 \times 3$-Matrix mit sechs unabhängigen Komponenten: drei Normalspannungen auf der Diagonale ($\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$) und drei Schubspannungen ausserhalb ($\tau_{xy}, \tau_{xz}, \tau_{yz}$). Den Spannungsvektor zu einer beliebigen Schnittnormalen $\vec{n}$ erhält man durch das Matrix-Vektor-Produkt $\vec{s} = \underline{\underline{T}} \cdot \vec{n}$. Damit ist die Richtungsabhängigkeit aus Beispiel 4.3 mathematisch erledigt: ein einziger Tensor codiert alle möglichen $\vec{s}(\vec{n})$ am Punkt.

Symmetrie. Aus dem Momentengleichgewicht eines infinitesimalen Würfels folgt $\tau_{xy} = \tau_{yx}$, $\tau_{xz} = \tau_{zx}$, $\tau_{yz} = \tau_{zy}$. Der Tensor ist also symmetrisch. Daher 6 unabhängige Komponenten (3 Diagonale plus 3 Off-Diagonale), nicht 9.

Gleichgewichtsbedingungen. Aus dem Kräftegleichgewicht eines infinitesimalen Volumenelements unter äusserer Volumenkraft $\vec{f}$ folgen drei partielle Differentialgleichungen. Sie verbinden die räumlichen Ableitungen der Tensor-Komponenten mit den äusseren Kräften und sind das Fundament für jede Spannungsanalyse in 3D. Volle Behandlung in Kap. 2 und 3.

Aufgabe. Ein Stab mit Querschnittsfläche $A = 100\,\text{mm}^2$ wird durch eine Axialkraft $F = 30\,\text{kN}$ auf Zug belastet. Bestimme die Normalspannung an einem Querschnitt senkrecht zur Stabachse und prüfe gegen die Streckgrenze von Baustahl ($R_e = 235\,\text{MPa}$).

Aufgabe. Zwei Bleche werden durch einen Bolzen mit Durchmesser $d = 10\,\text{mm}$ verbunden. Die Bleche werden mit $F = 8\,\text{kN}$ gegeneinander gezogen. Bestimme die mittlere Schubspannung im Bolzen-Querschnitt und vergleiche mit der zulässigen Schubspannung von Baustahl ($\tau_{\text{zul}} = 0{,}6\,R_e \approx 141\,\text{MPa}$).

Aufgabe. Der gleiche Zugstab wie in 4.1 ($A_0 = 100\,\text{mm}^2$, $F = 30\,\text{kN}$, $\sigma_0 = F/A_0 = 300\,\text{MPa}$). Aber jetzt der Schnitt unter Winkel $\alpha$ zur Querschnittsnormalen. Zeige, dass $\sigma_n$ und $\tau_n$ am Schnitt von $\alpha$ abhängen, und bestimme den Winkel $\alpha$ für $\tau_{n,\max}$.