8. Schiefe Biegung, Querkraft

1.1 Was bedeutet schief: zwei Bedeutungen

Was ist schiefe Biegung. Bis Kapitel 7 hatten wir nur Biegung um eine Hauptachse: ein Biegemoment $M_z$ um die $z$ -Achse, das die Faser in $y$ -Richtung dehnte und stauchte. Bei der schiefen Biegung liegt diese einfache Konstellation nicht mehr vor. Zwei verschiedene Konfigurationen führen zu diesem Begriff.

Bedeutung (a): Biegemoment in zwei Komponenten. Wenn die Last auf den Stab nicht entlang einer Hauptachse wirkt (z.B. eine schräg angreifende Querkraft oder ein Last-Vektor mit Komponenten in $y$ - und $z$ -Richtung), zerlegt sich das Schnittmoment in zwei Komponenten: $M_z$ um die $z$ -Achse plus $M_y$ um die $y$ -Achse. Beide wirken gleichzeitig.

Bedeutung (b): Achsen sind keine Hauptachsen. Wenn der Querschnitt unsymmetrisch ist (L-Profil, Dreieck, beliebig zusammengesetzt), sind die Skizzen-Achsen $y$ und $z$ keine Hauptachsen mehr: das Deviationsmoment $C_{yz} \neq 0$ . Auch wenn nur ein einziges Biegemoment $M_z$ wirkt, treten Spannungs-Effekte in $z$ -Richtung auf.

Verbindung zwischen (a) und (b). In beiden Fällen reicht die einfache Formel $\sigma_x = -\frac{M_z}{I_z}\,y$ aus Kapitel 6 nicht. Bei (a) braucht man die vollständige Hauptachsen-Formel mit beiden Beiträgen $M_z\,y$ und $M_y\,z$ . Bei (b) muss erst eine Hauptachsen-Trafo des Trägheitstensors durchgeführt werden (Sektion 2). Bei Kombination von (a) und (b) kommen beide Schritte zum Einsatz.

Wann brauche ich das. Üs8 Aufgaben H1 und S1 sind reine Fall-(a)-Beispiele: Querkraft schräg, Querschnitt rechteckig (Hauptachsen). Üs8 Wiederholungs-Aufgabe ist reines Fall-(b): Dreieck-Querschnitt mit $C_{yz} \neq 0$ . In Klausuren tritt typisch Fall (a) auf, weil Profile dort meist symmetrisch sind.

Konfiguration	Erkennungsmerkmal	Lösungsstrategie
(a) Zwei Biege-Komponenten	Last schräg, $M_y \neq 0$ und $M_z \neq 0$	Hauptachsen-Formel mit $M_y$ und $M_z$
(b) Querschnitt unsymmetrisch	$C_{yz} \neq 0$ in Skizzen-Achsen	Hauptachsen-Trafo, dann (a)
(a) und (b) gleichzeitig	Schräge Last plus L- oder Dreieck-Profil	Erst Trafo, dann volle Formel

Zwei Konfigurationen, die zu schiefer Biegung führen. Sie können einzeln oder gleichzeitig auftreten.

Definition Schiefe Biegung
Biegemoment in zwei Komponenten (

M_y, M_z

) oder unsymmetrischer Querschnitt (

C_{yz} \neq 0

Merke Zwei Bedeutungen
(a) Last schräg, (b) Profil unsymmetrisch. Können einzeln oder kombiniert auftreten.

Prüfungstipp Symmetrie-Check
Jede Symmetrie-Achse erzwingt

C_{yz} = 0

. Spart Hauptachsen-Trafo.

Querverweis Brücke
→ Kap. 6 Sec. 4 Reine Biegung
→ Kap. 7 Sec. 1.2 Hauptformel

1.2 Vollständige Hauptformel mit zwei Biegeachsen

Die zentrale Formel für Kap. 8. Wenn der Stab sowohl ein Biegemoment $M_z$ um die $z$ -Achse als auch $M_y$ um die $y$ -Achse erfährt, addieren sich beide Biegungs-Anteile zur möglichen Normalkraft-Konstante $N/A$ . Voraussetzung: $y$ und $z$ sind Hauptachsen des Querschnitts ( $C_{yz} = 0$ ).

Anschauung der drei Beiträge. Erstens: zentrische Normalkraft $N/A$ , konstant über den Querschnitt. Zweitens: Biegung um $z$ -Achse erzeugt Spannung linear in $y$ mit Vorzeichen $-M_z\,y/I_z$ . Drittens: Biegung um $y$ -Achse erzeugt Spannung linear in $z$ mit Vorzeichen $+M_y\,z/I_y$ . Die Vorzeichen folgen aus der Mech-II-Konvention (siehe Sec. 1.4).

Wieso das Vorzeichen für $M_y$ positiv ist. Bei Mech-II-Konvention zeigt $z$ aus der Bildebene heraus. Ein positives $M_y$ erzeugt damit auf der Faserseite mit $z > 0$ eine Zugspannung. Daraus das Plus-Zeichen vor $M_y\,z/I_y$ . Die andere Konvention mit Minus-Zeichen taucht in mancher Literatur auf, ist aber in Mech II nicht Standard. Wir bleiben bei der Vorlesungs-Konvention.

Spezialfall ohne Normalkraft. Wenn $N = 0$ (reine schiefe Biegung), reduziert sich die Formel auf $\sigma_x = -M_z\,y/I_z + M_y\,z/I_y$ . Das ist der häufigste Fall in Mech-II-Aufgaben zu schiefer Biegung. Nur wenn zusätzlich eine axiale Last wirkt, kommt der Term $N/A$ dazu.

Wann reicht die einfache Formel. Wenn $M_y = 0$ (Last entlang $y$ -Achse) oder wenn die Skizzen-Achsen Hauptachsen sind und die Last so liegt, dass nur ein Biegemoment auftritt, reicht $\sigma_x = -M_z\,y/I_z$ wie in Kap. 6. Bei schiefen Lasten und unsymmetrischen Profilen wird die volle Formel gebraucht.

!!!

Vollständige Hauptformel der Spannung

\sigma_x(x, y, z) = \frac{N(x)}{A} - \frac{M_z(x)\,y}{I_z} + \frac{M_y(x)\,z}{I_y}

Drei Beiträge: zentrische Normalkraft, Biegung um

z

-Achse, Biegung um

y

-Achse. Voraussetzung:

y, z

sind Hauptachsen (

C_{yz} = 0

I_y, I_z

sind die Hauptträgheitsmomente.

!!!

Spezialfall reine schiefe Biegung

\sigma_x(y, z) = -\frac{M_z\,y}{I_z} + \frac{M_y\,z}{I_y}

Wenn

N = 0

. Häufigster Fall in Mech-II-Klausur-Aufgaben zu schiefer Biegung.

Formel Hauptformel

\sigma_x = N/A - M_z\,y/I_z + M_y\,z/I_y

Drei Beiträge linear superponiert.

Merke Hauptachsen-Pflicht

y, z

müssen Hauptachsen sein. Bei

C_{yz} \neq 0

erst Trafo.

Prüfungstipp Mech-II-Konvention
Vorzeichen:

-M_z y/I_z

und

+M_y z/I_y

. Aus

y

nach unten,

z

aus dem Bild heraus.

Querverweis Brücke Kap. 7
→ Kap. 7 Sec. 1.2 (gleiche Formel)

1.3 Spannungsformel im Nicht-Hauptachsen-Koordinatensystem

Was wenn die Achsen keine Hauptachsen sind. Bei einem L-Profil, Dreieck oder beliebig zusammengesetzten Querschnitt ohne Symmetrie-Achse haben die Skizzen-Achsen $y, z$ ein nicht-verschwindendes Deviationsmoment $C_{yz}$ . Die Formel aus Sec. 1.2 gilt dann nicht direkt. Es gibt zwei Wege.

Option A: Erst Hauptachsen-Trafo. Suche die Hauptachsen $\xi, \eta$ des Trägheitstensors (Eigenwert-Problem oder Mohr-Kreis, siehe Sec. 2). Drücke Lasten und Querschnitts-Position in den Hauptachsen aus. Wende die einfache Formel aus Sec. 1.2 in den Hauptachsen-Koordinaten an. Diese Methode ist in Mech II Standard.

Option B: Erweiterte Formel im Nicht-Hauptachsen-Koordinatensystem. Es gibt eine direkte Spannungsformel für den Fall $C_{yz} \neq 0$ , ohne vorherige Trafo: $\sigma_x = (M_z\,I_y - M_y\,C_{yz})\,y/(I_y\,I_z - C_{yz}^2) - (M_y\,I_z - M_z\,C_{yz})\,z/(I_y\,I_z - C_{yz}^2)$ . Diese Formel ist algebraisch komplexer und in Mech II selten genutzt, aber sie ist äquivalent zu Option A.

Welche Option in der Klausur wählen. Option A ist klarer und folgt dem Mech-II-Lehrplan. Sie zerlegt das Problem sauber in zwei Schritte: erst Geometrie (Trägheitstensor und Hauptachsen), dann Spannung. Option B kann zeitsparend sein bei Aufgaben, wo nur ein Spannungswert an einem konkreten Punkt gefragt ist und die Trafo-Rechnung umgangen werden soll. Für ein vollständiges Spannungsverteilung-Profil ist A immer besser.

Erweiterte Spannungsformel im Nicht-Hauptachsen-Koordinatensystem

\sigma_x = \frac{M_z\,I_y - M_y\,C_{yz}}{I_y\,I_z - C_{yz}^2}\,y - \frac{M_y\,I_z - M_z\,C_{yz}}{I_y\,I_z - C_{yz}^2}\,z + \frac{N}{A}

Funktioniert ohne Hauptachsen-Trafo. Bei

C_{yz} = 0

reduziert sich die Formel zu Sec. 1.2. In Mech II selten direkt angewendet.

Merke Zwei Wege bei $C_{yz} \neq 0$
(A) Trafo zuerst, dann einfache Formel. (B) Erweiterte Formel direkt.

Prüfungstipp Empfehlung
In Mech II immer Option A wählen. Klarer, weniger Vorzeichen-Fallen.

Querverweis Trafo-Werkzeug
→ Sec. 2 Hauptachsen-Trafo

1.4 Vorzeichen-Konventionen und Cross-Checks

Die Mech-II-Standard-Konvention. $x$ -Achse zeigt entlang dem Stab (von links nach rechts in der Standard-Skizze). $y$ -Achse zeigt nach unten. $z$ -Achse zeigt aus dem Bild heraus. Diese Rechtshand-Triade ist die Vorlesungs-Konvention und in allen Übungsserien konsistent.

Vorzeichen der Schnittgrößen. $N > 0$ bedeutet Zugkraft (Stab wird verlängert). $M_z > 0$ setzt die obere Faser ( $y < 0$ ) unter Zug. $M_y > 0$ setzt die Faser bei $z > 0$ unter Zug. Querkraft $Q_y > 0$ ist die Schub-Kraft, die der linke Stab-Teil nach OBEN auf den rechten ausübt.

Konsequenz für die Spannungsformel. Mit diesen Konventionen folgt direkt: $\sigma_x = N/A - M_z\,y/I_z + M_y\,z/I_y$ . Das Minus-Zeichen vor dem $M_z\,y$ -Term und das Plus-Zeichen vor dem $M_y\,z$ -Term sind Konsequenz der Konvention. Wer eine andere Konvention verwendet (z.B. $y$ nach oben), bekommt entsprechend andere Vorzeichen.

Cross-Check über Skizze. Vor jedem Einsetzen von Werten kurz auf die Last-Skizze schauen: in welche Richtung biegt sich der Stab (bzw. welche Faser wird gedehnt). Bei einer Querlast nach unten am rechten Ende eines Kragarms wird die obere Faser gedehnt (Zug, $\sigma_x > 0$ oben). In der hier verwendeten Mech-II-Konvention entspricht das einem positiven $M_z$ . Mit $y < 0$ oben folgt aus $\sigma_x = -M_z\,y/I_z$ tatsächlich $\sigma_x > 0$ . Der Skizzen-Check bestätigt also die Vorzeichen der Formel.

Üs8 H1 Beispiel. Aus der Üs8-H1-Skizze: $z$ -Achse ist die kurze Querschnitt-Seite (Breite $b$ ), $y$ -Achse die lange (Höhe $h$ ). Last: Axialkraft $F$ am freien Ende und Querkraft $F$ unter $30°$ in der $yz$ -Ebene. Querkraft-Komponenten: $F_y = (1/2)F$ (Anteil entlang $y$ ), $F_z = -(\sqrt{3}/2)F$ (Anteil entlang $-z$ ). Schnittmomente am Querschnitt bei Position $x$ : $M_y(x) = (\sqrt{3}/2)\,F\,(L-x)$ und $M_z(x) = (F/2)\,(L-x)$ . Beide maximal an der Einspannung $x = 0$ .

Größe	Vorzeichen	Bedeutung
$N$	$> 0$	Zugkraft (Stab verlängert)
$M_z$	$> 0$	Obere Faser ( $y < 0$ ) unter Zug
$M_y$	$> 0$	Faser bei $z > 0$ unter Zug
$Q_y$	$> 0$	Linker Teil schiebt rechten nach oben
$\sigma_x$	$> 0$	Zugspannung an dieser Stelle

Vorzeichen-Konvention der Vorlesung Mech II. Konsistent mit allen Übungsserien.

Merke Konvention

y

nach unten,

z

aus Bild heraus.

M_z > 0

obere Faser Zug,

M_y > 0

Faser bei

z > 0

Zug.

Formel Faserrand-Werte

\sigma_x = N/A - M_z y/I_z + M_y z/I_y

Drei Beiträge mit Mech-II-Vorzeichen.

Prüfungstipp Skizze ist Schiedsrichter
Vor Einsetzen Anschauung prüfen: welche Faser dehnt sich.

1.5 Beispiel: Kragarm Rechteck mit schiefer Last (Üs8 H1)

Aufgabe (Üs8 H1). Ein Kragarm der Länge $L$ mit rechteckigem Vollquerschnitt ( $b \times h$ , mit $b$ in $z$ -Richtung und $h$ in $y$ -Richtung) ist links eingespannt. Am freien Ende greift eine Axialkraft $F$ in $+x$ -Richtung an (Zug). Zusätzlich wirkt am freien Ende eine Querkraft mit Betrag $F$ in der $yz$ -Ebene, um $30°$ bezüglich der $z$ -Achse geneigt. Die Lastangriffspunkte liegen auf der Stab-Mittellinie.

Gegeben. Geometrie $L, b, h$ . Lasten $F$ axial und $F$ schräg unter $30°$ zur $z$ -Achse. Material linear-elastisch, zulässige Spannung $\sigma_{\text{zul}}$ .

Gesucht. Den maximal zulässigen Betrag $F_{\max}$ derart, dass $\sigma_{x,\max} \leq \sigma_{\text{zul}}$ überall im Stab.

Merke Aufgabe
Kragarm Rechteck

b \times h

. Axiallast

F

plus schräge Querkraft

F

(30° zur

z

-Achse).

Prüfungstipp Pattern erkennen
Schiefe Querkraft → zwei Biegemomente

M_y, M_z

. Axiallast →

N

. Drei Beiträge.

Querverweis Hauptformel
→ Sec. 1.2 Hauptformel

1.6 Schritt 1: Last-Zerlegung und Schnittmomente

Lösungsweg in 4 Schritten

Schritt 1.1: Komponenten der Querkraft

Die schräge Querkraft hat Betrag $F$ und ist um $30°$ zur $z$ -Achse geneigt in der $yz$ -Ebene. Aus dem Bild: die Komponente entlang $-z$ ist $F\cos(30°)$ und entlang $+y$ ist $F\sin(30°)$ . Mit $\cos(30°) = \sqrt{3}/2$ und $\sin(30°) = 1/2$ folgt direkt.

Komponenten der Last am freien Ende.

$F_z = -\frac{\sqrt{3}}{2}\,F, \qquad F_y = +\frac{1}{2}\,F$
Schritt 1.2: Schnittmomente am beliebigen Querschnitt

Schnitt bei Position $x$ , rechts freigeschnitten. Rechts vom Schnitt liegt der Bereich von $x$ bis $L$ mit den drei Lasten am freien Ende ( $F$ axial, $F_y$ vertikal, $F_z$ horizontal). Der Hebelarm vom Schnitt zum Lastangriffspunkt ist $(L - x)$ . Schnittmoment um die $y$ -Achse: aus $F_z$ am Hebelarm $(L - x)$ . Schnittmoment um die $z$ -Achse: aus $F_y$ am Hebelarm $(L - x)$ .

Beide Biegemomente und die Normalkraft.

$\begin{aligned} N(x) &= F \quad (\text{Zug}) \\ M_y(x) &= -F_z\,(L - x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\,F\,(L - x) \\ M_z(x) &= F_y\,(L - x) = \frac{F}{2}\,(L - x) \end{aligned}$
Schritt 1.3: Maximum der Schnittmomente lokalisieren

Beide Momente sind linear in $(L - x)$ und werden bei $x = 0$ (Einspannung) maximal. Dort ist der Hebelarm gleich $L$ . An der Einspannung ist also die kritische Stelle, wo die Spannung am grössten wird.

Maximalwerte der Schnittmomente.

$M_{y,\max} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,F\,L, \qquad M_{z,\max} = \frac{F}{2}\,L$
Schritt 1.4: Trägheitsmomente des Rechtecks

Das Rechteck hat die Hauptachsen entlang $y$ und $z$ (zwei Symmetrie-Achsen). Aus Kap. 6 Sec. 2.3 Profil-Tabelle: $I_y = b^3\,h/12$ (Trägheitsmoment um die $y$ -Achse, integriert über $z^2$ ) und $I_z = b\,h^3/12$ (Trägheitsmoment um die $z$ -Achse, integriert über $y^2$ ). Hier ist $b$ die Querschnitts-Breite in $z$ -Richtung und $h$ die Höhe in $y$ -Richtung.

Trägheitsmomente.

$I_y = \frac{b^3\,h}{12}, \qquad I_z = \frac{b\,h^3}{12}$

Formel Komponenten

F_z = -\sqrt{3}/2\,F,\;F_y = F/2

Last unter 30° zur

z

-Achse.

Merke Maxima bei Einspannung

M_{y,\max} = \sqrt{3}\,F\,L/2

M_{z,\max} = F\,L/2

Formel Trägheitsmomente

I_y = b^3 h/12,\;I_z = b h^3/12

Rechteck

b \times h

in Hauptachsen.

1.7 Schritt 2: Spannungsverteilung am Einspannungs-Querschnitt

Spannung als Funktion von y, z

Schritt 2.1: Hauptformel anwenden

Die volle Hauptformel aus Sec. 1.2: $\sigma_x = N/A - M_z\,y/I_z + M_y\,z/I_y$ . Einsetzen der bekannten Werte $N = F$ , $M_y = \sqrt{3}\,F\,L/2$ , $M_z = F\,L/2$ , $A = b\,h$ , $I_y = b^3\,h/12$ , $I_z = b\,h^3/12$ .

Spannung punktweise.

$\sigma_x(y, z) = \frac{F}{b\,h} - \frac{(F\,L/2)\,y}{b\,h^3/12} + \frac{(\sqrt{3}\,F\,L/2)\,z}{b^3\,h/12}$
Schritt 2.2: Vereinfachen

Brüche zusammenfassen. $1/(b\,h^3/12) = 12/(b\,h^3)$ und $1/(b^3\,h/12) = 12/(b^3\,h)$ . Vor den Termen $F\,L/2$ : $12 \cdot F\,L/2 = 6\,F\,L$ . Daraus:

Kompakte Form.

$\sigma_x(y, z) = \frac{F}{b\,h} - \frac{6\,F\,L\,y}{b\,h^3} + \frac{6\,\sqrt{3}\,F\,L\,z}{b^3\,h}$
Schritt 2.3: Ausklammern für die kompaktere Üs8-Form

Den Faktor $F/(b\,h)$ ausklammern und die Biege-Anteile in eine Klammer-Form bringen. Multiplizieren der zweiten und dritten Terme mit $bh/(bh)$ :

Üs8-H1-Resultat.

$\sigma_x(y, z) = \frac{6\,L\,F}{b\,h}\left(\frac{\sqrt{3}\,z}{b^2} - \frac{y}{h^2}\right) + \frac{F}{b\,h}$
Schritt 2.4: Verlauf-Charakterisierung

Die Formel zeigt drei lineare Beiträge: konstanter $F/(bh)$ aus Axiallast, linearer Anteil in $z$ (positiv mit Faktor $\sqrt{3}/b^2$ ), linearer Anteil in $y$ (negativ mit Faktor $1/h^2$ ). Das Profil ist eine schiefe Ebene über den Querschnitt. Maxima und Minima treten an Eckpunkten des Querschnitts auf.

Geometrie-Bild.

$\sigma_x\;\text{ist linear in}\;(y, z),\;\text{ein schräges Ebenen-Profil über dem Querschnitt}$

Beschreibung

Spannungsverteilung im Rechteck-Querschnitt.

Heatmap $\sigma_x(y, z) = N/A - M_z\,y/I_z + M_y\,z/I_y$ mit Diverging-Colormap (Zug rot, Druck blau).
Gestrichelte Linie ist die neutrale Achse $\sigma_x = 0$ . Sie verschiebt und dreht sich mit den Lasten.
Eck-Punkte $(\pm h/2, \pm b/2)$ sind mit Wert $\sigma_x$ markiert.
Mode A: Slider direkt für $N$ , $M_y$ , $M_z$ (abstrakte Hauptformel).
Mode B (Üs8 H1): Slider für $F$ , $\alpha$ , $L$ . $M_z$ , $M_y$ , $N$ werden automatisch berechnet (Kragarm mit schiefer Last am Einspannungs-Querschnitt).
Aha: bei reinem $M_z$ liegt die neutrale Achse waagerecht. Sobald $M_y$ aktiv wird, dreht sie sich. Mit grossem $N$ verlässt sie den Querschnitt komplett.

Üs8-H1-Modus (F, α, L)

N [kN] 0

Mᵧ [kN·m] 0.0

M_z [kN·m] 20.0

F [kN] 10.0

α [°] 30

L [m] 1.0

b [cm] 10

h [cm] 20

Abb. 1: Spannungsverteilung σₓ(y, z) mit Normalkraft und zwei Biegemomenten am Rechteck-Querschnitt.

Formel Üs8 Form

\sigma_x = \frac{6 L F}{bh}\bigl(\frac{\sqrt{3} z}{b^2} - \frac{y}{h^2}\bigr) + \frac{F}{bh}

Drei Beiträge auf einen Blick.

Merke Schiefe Ebene
Spannung linear in

(y, z)

. Maximum an einer Ecke des Querschnitts.

Prüfungstipp Vier Ecken prüfen
Bei Rechteck

(\pm h/2, \pm b/2)

. Größtes

\sigma_x

an einer Ecke.

1.8 Schritt 3: Maximum lokalisieren und auswerten

Vorzeichen-Spiel an den vier Ecken

Schritt 3.1: Vorzeichen-Analyse der zwei Biege-Anteile

Der erste Biege-Anteil $-y/h^2$ wird positiv für $y < 0$ und negativ für $y > 0$ . Der zweite Biege-Anteil $\sqrt{3}\,z/b^2$ wird positiv für $z > 0$ und negativ für $z < 0$ . Damit beide Anteile gleichzeitig maximal positiv werden, brauchen wir $y = -h/2$ (obere Faser) und $z = +b/2$ (rechts). Plus die konstante $+F/(bh)$ .

Maximum-Position für Zug.

$(y, z)\;\text{für}\;\sigma_{\max}\;\text{Zug}: y = -h/2,\;z = +b/2$
Schritt 3.2: Maximum berechnen

Einsetzen $y = -h/2, z = b/2$ in die Formel: $\sigma_x(-h/2, b/2) = (6\,L\,F)/(b\,h) \cdot (\sqrt{3} \cdot (b/2)/b^2 - (-h/2)/h^2) + F/(b\,h) = (6\,L\,F)/(b\,h) \cdot (\sqrt{3}/(2b) + 1/(2h)) + F/(b\,h) = (3\,L\,F)/(b\,h) \cdot (\sqrt{3}/b + 1/h) + F/(b\,h)$ .

Maximum-Wert.

$\sigma_{x,\max} = \frac{3\,L\,F}{b\,h}\left(\frac{\sqrt{3}}{b} + \frac{1}{h}\right) + \frac{F}{b\,h}$
Schritt 3.3: Druck-Maximum am gegenüberliegenden Eckpunkt

Wenn man bei $(h/2, -b/2)$ einsetzt (untere Faser, links), werden beide Biege-Anteile negativ und die konstante Normallast positiv: $\sigma_x(h/2, -b/2) = -(3\,L\,F)/(b\,h) \cdot (\sqrt{3}/b + 1/h) + F/(b\,h)$ . Wegen der Axiallast ist der Druck-Betrag KLEINER als der Zug-Betrag (die konstante $+F/(bh)$ kompensiert teilweise den Druck-Anteil).

Vergleich Zug vs. Druck.

$|\sigma_{\text{Zug}}| > |\sigma_{\text{Druck}}|\;\text{wegen Axialzug}$
Schritt 3.4: Antwort für $\sigma_{x,\max}$

Das absolute Maximum von $|\sigma_x|$ ist also $\sigma_{x,\max}$ (Zug) am Eckpunkt $(-h/2, +b/2)$ am Einspannungs-Querschnitt. Die Werte $b, h$ können je nach Aufgabe spezifisch eingesetzt werden.

Endformel.

$\boxed{\sigma_{x,\max} = \frac{3\,L\,F}{b\,h}\left(\frac{\sqrt{3}}{b} + \frac{1}{h}\right) + \frac{F}{b\,h}}$

Formel Maximum

\sigma_{\max} = \frac{3 L F}{bh}\bigl(\frac{\sqrt{3}}{b} + \frac{1}{h}\bigr) + \frac{F}{bh}

Aus zwei Biege-Anteilen plus Axialzug.

Merke Eckpunkt $(-h/2, +b/2)$
Maximum-Zug oben-rechts am Querschnitt.

Prüfungstipp Asymmetrie
Wegen Axialzug ist Zug-Maximum > Druck-Maximum (im Betrag).

1.9 Schritt 4: Maximal zulässige Last $F_{\max}$

Bedingung $\sigma_{\max} \leq \sigma_{\text{zul}}$

Schritt 4.1: Versagenskriterium aufstellen

Damit der Stab nicht versagt, muss die maximale Spannung $\sigma_{x,\max}$ unter der zulässigen Spannung $\sigma_{\text{zul}}$ bleiben. Die Bedingung ist eine Ungleichung in $F$ .

Versagenskriterium.

$\sigma_{x,\max} = \frac{3\,L\,F}{b\,h}\left(\frac{\sqrt{3}}{b} + \frac{1}{h}\right) + \frac{F}{b\,h} \leq \sigma_{\text{zul}}$
Schritt 4.2: F ausklammern

Beide Terme enthalten den Faktor $F/(b\,h)$ . Diesen ausklammern und die Klammer-Inhalte zusammenfassen.

F als Vorfaktor.

$\frac{F}{b\,h}\left[3\,L \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{b} + \frac{1}{h}\right) + 1\right] \leq \sigma_{\text{zul}}$
Schritt 4.3: Nach F auflösen

Die Ungleichung ist linear in $F$ . Beide Seiten durch den Klammer-Ausdruck dividieren. Da der Klammer-Ausdruck positiv ist, bleibt das Ungleichheits-Zeichen erhalten.

Maximale zulässige Last.

$F \leq \frac{\sigma_{\text{zul}} \cdot b\,h}{3\,L \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{b} + \frac{1}{h}\right) + 1}$
Schritt 4.4: Endformel als $F_{\max}$

Die Schranke ist die maximale zulässige Last. Wenn $F$ diesen Wert überschreitet, würde die Spannung am Eckpunkt $(-h/2, +b/2)$ die zulässige Spannung überschreiten und der Stab versagt.

Üs8-H1-Endresultat.

$\boxed{F_{\max} = \frac{\sigma_{\text{zul}} \cdot b\,h}{3\,L \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{b} + \frac{1}{h}\right) + 1}}$

Formel $F_{\max}$

F_{\max} = \frac{\sigma_{\text{zul}} bh}{3 L (\sqrt{3}/b + 1/h) + 1}

Üs8-H1-Resultat. Endformel.

Merke Pattern

\sigma_{x,\max}(F) = \sigma_{\text{zul}} \Rightarrow F_{\max}

Prüfungstipp Klausur-Ähnlichkeit
Üs8 H1 ist Standard für jede Schiefe-Biegung-Klausur-Aufgabe.

2.1 Wann brauche ich Hauptachsen

Warum überhaupt Hauptachsen. Die Spannungsformel aus Sec. 1.2 setzt voraus, dass die Skizzen-Achsen $y, z$ Hauptachsen des Trägheitstensors sind, also $C_{yz} = 0$ . Bei symmetrischen Querschnitten (Rechteck, Quadrat, Kreis, I-Profil mit zwei Symmetrie-Achsen) ist diese Voraussetzung automatisch erfüllt: jede Symmetrie-Achse erzwingt $C_{yz} = 0$ .

Wann nicht erfüllt. Bei unsymmetrischen Querschnitten (L-Profil, Dreieck, beliebig zusammengesetzte Profile) sind die Skizzen-Achsen typischerweise keine Hauptachsen. Dann gilt $C_{yz} \neq 0$ und die einfache Hauptformel ist nicht direkt anwendbar.

Erkennung aus dem Profil. Symmetrie-Check. Hat der Querschnitt mindestens eine Symmetrie-Achse durch den Schwerpunkt, kann die zweite Hauptachse durch eine $90°$ -Drehung dieser Symmetrie-Achse gefunden werden, und Skizzen-Achsen sind oft schon Hauptachsen. Hat der Querschnitt keine Symmetrie-Achse (Dreieck, L-Profil), brauchen wir die formale Hauptachsen-Trafo.

Was die Trafo liefert. Die Hauptachsen-Trafo bringt das Trägheitstensor-Matrix in Diagonalform. Die Diagonalelemente sind die Hauptträgheitsmomente $I_1, I_2$ . Der zugehörige Achsen-Winkel $\theta$ (Rotation um den Schwerpunkt) macht die Trafo-Achsen zu Hauptachsen. In den Hauptachsen-Koordinaten gilt dann die einfache Spannungsformel.

Pattern. Das ist exakt parallel zum Spannungstensor in Kap. 2: dort suchten wir Hauptspannungen $\sigma_1, \sigma_2$ und Hauptrichtungen für eine $2 \times 2$ -Matrix $\{T\}$ . Hier suchen wir Hauptträgheitsmomente $I_1, I_2$ und Hauptachsen für die $2 \times 2$ -Matrix $\{I\}$ . Mathematisch ist das dasselbe Eigenwert-Problem.

Querschnitt	Symmetrie	Skizzen-Achsen Hauptachsen?
Rechteck	zwei Symmetrie-Achsen	ja
Kreis, Quadrat	unendlich viele	ja
I-Profil	zwei Symmetrie-Achsen	ja
T-Profil	eine Symmetrie-Achse	ja (entlang Symmetrie)
U-Profil	eine Symmetrie-Achse	ja (entlang Symmetrie)
L-Profil	keine	nein, Trafo nötig
Dreieck (rechtwinklig)	keine	nein, Trafo nötig
Beliebig zusammengesetzt	meist keine	nein, Trafo nötig

Erkennung aus Symmetrien. Vor jeder Schiefe-Biegung-Aufgabe einmal durchgehen.

Merke Hauptachsen nötig
Bei

C_{yz} \neq 0

in den Skizzen-Achsen. Sonst nicht.

Prüfungstipp Symmetrie-Check zuerst
Eine Symmetrie-Achse durch Schwerpunkt erzwingt

C_{yz} = 0

Querverweis Brücke Kap. 2
→ Kap. 2 Hauptspannungen

2.2 I-Tensor als symmetrische 2×2-Matrix

Drei Werte definieren den I-Tensor. Für einen 2D-Querschnitt sind drei Größen relevant: $I_y = \int_A z^2\,dA$ , $I_z = \int_A y^2\,dA$ und $C_{yz} = -\int_A y\,z\,dA$ . Sie bilden eine symmetrische $2 \times 2$ -Matrix.

Achsen-Konvention beim Tensor. $I_y$ ist das Trägheitsmoment um die $y$ -Achse, also integriert über das Quadrat des Abstands zur $y$ -Achse, das ist $z^2$ . $I_z$ ist das Trägheitsmoment um die $z$ -Achse, also integriert über $y^2$ . Das mag zunächst verwirrend sein, ist aber Standard-Konvention.

Vorzeichen von $C_{yz}$ . $C_{yz}$ ist eine signierte Größe. Punkte mit gleichem Vorzeichen von $y$ und $z$ tragen positiv bei, Punkte mit unterschiedlichen Vorzeichen negativ. Bei einer Querschnitts-Geometrie, die hauptsächlich in den Quadranten ( $y > 0, z > 0$ ) und ( $y < 0, z < 0$ ) liegt, ist $C_{yz} > 0$ . Bei der gegenläufigen Anordnung $C_{yz} < 0$ .

Eigenwert-Problem. Die Hauptträgheitsmomente sind die Eigenwerte der I-Matrix. Sie ergeben sich aus der charakteristischen Gleichung $(I_y - I)(I_z - I) - C_{yz}^2 = 0$ . Mit der Mittelwert-Form: $I_{1,2} = (I_y + I_z)/2 \pm \sqrt{((I_y - I_z)/2)^2 + C_{yz}^2}$ . Diese Formel ist exakt parallel zur Hauptspannungs-Formel aus Kap. 2.

Hauptachsen-Winkel. Aus dem Eigenvektor-Problem folgt $\tan(2\theta) = 2\,C_{yz}/(I_y - I_z)$ . Der Winkel $\theta$ ist der Drehwinkel von den Skizzen-Achsen zu den Hauptachsen. Wenn $C_{yz} > 0$ und $I_y > I_z$ : $\theta < 45°$ (kleine Drehung). Wenn $C_{yz}$ groß im Vergleich zu $|I_y - I_z|$ : $\theta$ nahe $45°$ .

!!!

I-Tensor-Matrix

\{I\} = \begin{pmatrix} I_y & C_{yz} \\ C_{yz} & I_z \end{pmatrix}

Symmetrische 2x2-Matrix der Flächenträgheitsmomente. Diagonalelemente

I_y, I_z

, Off-Diagonal

C_{yz}

!!!

Hauptträgheitsmomente

I_{1,2} = \frac{I_y + I_z}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{I_y - I_z}{2}\right)^2 + C_{yz}^2}

Eigenwerte der I-Matrix. Mit Plus für

I_1

(Maximum), Minus für

I_2

(Minimum). Exakt parallel zu Hauptspannungs-Formel aus Kap. 2.

!!!

Hauptachsen-Winkel

\tan(2\theta) = \frac{2\,C_{yz}}{I_y - I_z}

Drehwinkel von Skizzen-Achsen zu Hauptachsen. Ein-Periodischkeit von

\tan(2\theta)

erlaubt zwei Lösungen

\theta_1, \theta_2 = \theta_1 + 90°

Formel I-Matrix

\{I\} = \begin{pmatrix} I_y & C_{yz} \\ C_{yz} & I_z \end{pmatrix}

Symmetrisch, drei Werte definieren sie.

Formel Hauptmomente

I_{1,2} = \frac{I_y + I_z}{2} \pm R

Mit

R = \sqrt{((I_y-I_z)/2)^2 + C_{yz}^2}

Formel Hauptwinkel

\tan(2\theta) = 2 C_{yz} / (I_y - I_z)

Aus Eigenvektor-Problem.

Prüfungstipp Spur und Determinante

I_1 + I_2 = I_y + I_z

und

I_1 I_2 = I_y I_z - C_{yz}^2

. Cross-Check nach Rechnung.

2.3 Mohr-Kreis für den I-Tensor

Beschreibung

Hauptachsen-Trafo des Trägheits-Tensors.

Links: Querschnitt mit Skizzen-Achsen $(y, z)$ , drehbar via $\theta$ -Slider. Hauptachsen als gestrichelte goldene Linien überlagert.
Rechts: Mohr-Kreis im $(I, C)$ -Diagramm. Punkte $A = (I_y, C_{yz})$ und $B = (I_z, -C_{yz})$ liegen diametral. Bei $\theta$ -Drehung wandern $A$ und $B$ mit Winkel $2\theta$ um den Mittelpunkt.
Wenn $A$ auf der $I$ -Achse landet, ist $C_{yz} = 0$ . Dann sind die aktuellen Skizzen-Achsen Hauptachsen, und $I_y$ , $I_z$ sind $I_1$ , $I_2$ .
Profil-Picker zeigt: Rechteck (immer Hauptachsen), L-Profil (nie symmetrisch), T-Profil (eine Symmetrie-Achse), Dreieck rechtwinklig (Üs8 Wiederholung), I-Profil (zwei Symmetrie-Achsen).
Aha: $2\theta$ am Mohr-Kreis entspricht $\theta$ am Querschnitt (klassische Faktor-2-Korrespondenz).

θ [°] 0

h/b 2.0

Abb. 2: Trägheits-Tensor und Mohr-Kreis bei Drehung des Skizzen-Frames.

Mohr-Kreis als geometrisches Werkzeug. Der Mohr-Kreis-Trick aus Kap. 2 (für Spannungen) lässt sich direkt auf den I-Tensor übertragen. Achsen: $I$ horizontal, $C$ vertikal. Der Kreis hat Mittelpunkt $I_M = (I_y + I_z)/2$ auf der I-Achse und Radius $R = \sqrt{((I_y - I_z)/2)^2 + C_{yz}^2}$ .

Konstruktion des Kreises. Zwei Punkte sind durch den Tensor festgelegt: $(I_y, C_{yz})$ und $(I_z, -C_{yz})$ . Diese zwei Punkte liegen diametral auf dem Kreis (Verbindungslinie geht durch $M$ ). Mit den zwei Punkten und dem Mittelpunkt ist der Kreis vollständig festgelegt.

Hauptträgheitsmomente. Schnittpunkte des Kreises mit der $I$ -Achse: $I_1 = I_M + R$ (rechts) und $I_2 = I_M - R$ (links). Das sind die maximalen und minimalen Trägheitsmomente, die durch Drehung um den Schwerpunkt erreichbar sind.

Hauptachsen-Winkel aus Mohr-Kreis. Der Punkt $(I_y, C_{yz})$ liegt auf dem Kreis mit Polarwinkel $2\theta$ relativ zur positiven $I$ -Achse vom Mittelpunkt $M$ aus. Daraus die Beziehung $\tan(2\theta) = 2\,C_{yz}/(I_y - I_z)$ , was im Mohr-Kreis-Bild der geometrische Anstieg der Verbindungs-Linie ist.

Wann Mohr-Kreis statt Formel. Wenn nur Hauptträgheitsmomente und Winkel gefragt sind (keine vollständige Trafo): Mohr-Kreis ist schneller als die Formel-Rechnung. Wenn die Tensor-Komponenten in einem gedrehten Koordinatensystem gefragt sind: Formel ist klarer. Im Klausur-Kontext kann Mohr-Kreis ein Zeit-Sparer sein.

!!!

Mohr-Kreis-Parameter für I-Tensor

I_M = \frac{I_y + I_z}{2}, \qquad R = \sqrt{\left(\frac{I_y - I_z}{2}\right)^2 + C_{yz}^2}

Mittelpunkt auf I-Achse und Radius des Kreises.

I_{1,2} = I_M \pm R

Formel Kreis-Parameter

I_M = (I_y+I_z)/2, R = \sqrt{((I_y-I_z)/2)^2 + C_{yz}^2}

Mittelpunkt auf I-Achse, Radius.

Merke Zwei Punkte

(I_y, C_{yz})

und

(I_z, -C_{yz})

. Diametral auf Kreis.

Prüfungstipp Mohr-Schnellweg
Für

I_1, I_2, \theta

schneller als die Formel-Methode.

Querverweis Brücke Kap. 2
→ Kap. 2 Mohr-Kreis Spannungen

2.4 Voller Pfad zu $I_1$ , $I_2$ , $\theta$

Pattern in vier Schritten. Egal ob Mohr-Kreis oder Formel: die Hauptachsen-Trafo besteht aus vier Schritten, die in fester Reihenfolge ausgeführt werden müssen. Hier das Pattern in der direkten Anwendung.

Schritt 1: $I_y, I_z, C_{yz}$ berechnen. Aus der Querschnitts-Geometrie. Bei zusammengesetzten Profilen (Rechteck plus Rechteck etc.): pro Teilfläche die drei Werte berechnen, dann via Steiner zur gemeinsamen Schwerpunkts-Achse summieren. Bei einer einzelnen Form (Dreieck) direkt aus dem Integral.

Schritt 2: Mittelpunkt und Radius. $I_M = (I_y + I_z)/2$ und $R = \sqrt{((I_y - I_z)/2)^2 + C_{yz}^2}$ . Beide aus den drei Werten von Schritt 1.

Schritt 3: Hauptträgheitsmomente. $I_1 = I_M + R$ (Maximum), $I_2 = I_M - R$ (Minimum). Sanity-Check mit Spur und Determinante.

Schritt 4: Hauptachsen-Winkel. $\tan(2\theta) = 2\,C_{yz}/(I_y - I_z)$ . Daraus zwei Lösungen $\theta_1$ und $\theta_2 = \theta_1 + 90°$ . Die Wahl zwischen $\theta_1$ und $\theta_2$ hängt davon ab, ob man die Achse mit $I_1$ (max) oder $I_2$ (min) ausrichten will. Praktisch: Querschnitt mit dem Winkel drehen und prüfen, welche Konfiguration physikalisch passt.

Schritt	Berechnung	Output
1	Querschnitts-Integration plus Steiner	$I_y, I_z, C_{yz}$
2	$I_M = (I_y+I_z)/2$ , $R = \sqrt{...}$	Mittelpunkt, Radius
3	$I_{1,2} = I_M \pm R$	Hauptträgheitsmomente
4	$\tan(2\theta) = 2 C_{yz}/(I_y - I_z)$	Hauptachsen-Winkel

Vier Schritte zur Hauptachsen-Trafo. Pattern in fester Reihenfolge.

Merke Vier Schritte
1.

I_y, I_z, C_{yz}

. 2.

I_M, R

. 3.

I_{1,2}

. 4.

\theta

Formel Pattern

I_{1,2} = I_M \pm R,\;\tan(2\theta) = 2 C_{yz}/(I_y-I_z)

Endformeln nach Schritt 3 und 4.

Prüfungstipp Steiner nicht vergessen
Bei zusammengesetzten Profilen: pro Teilfläche Trägheitsmoment um EIGENEN Schwerpunkt plus

A_i \cdot d_i^2

Querverweis Steiner
→ Kap. 6 Sec. 3 Steiner-Satz

2.5 Beispiel: Rechtwinkliges Dreieck (Üs8 Wiederholung)

Aufgabe (Üs8 Wiederholung). Gegeben sei ein rechtwinkliger Dreiecksquerschnitt mit Schwerpunkts-Achsen $y, z$ wie in der Skizze: Breite $b$ horizontal (obere Seite), Höhe $h$ vertikal (linke Seite), Hypotenuse von rechts oben nach links unten. $y$ -Achse zeigt nach unten, $z$ -Achse nach rechts.

Gesucht. a) Die axialen Trägheitsmomente $I_y, I_z$ und das gemischte Trägheitsmoment $C_{yz}$ bezüglich der Schwerpunkts-Achsen. b) Die Hauptträgheitsmomente $I_1, I_2$ und die Lage der Hauptachsen für das Seitenverhältnis $h/b = 2$ .

Pattern erkennen. Das Dreieck hat keine Symmetrie-Achse, daher $C_{yz} \neq 0$ . Die Skizzen-Achsen sind keine Hauptachsen. Wir müssen den vollen Vier-Schritte-Trafo durchführen.

Merke Aufgabe
Rechtwinkliges Dreieck

b \times h

C_{yz} \neq 0

, daher Trafo nötig.

Prüfungstipp Standard-Aufgabe
Üs8 Wiederholung. Klausur-Klassiker für Hauptachsen.

2.6 Schritt 1+2: Trägheitsmomente im Hilfskoordinatensystem und Steiner-Übertragung

Aus Hilfskoordinatensystem in Schwerpunkts-Koordinatensystem

Schritt 1.1: Hilfskoordinatensystem eta-xi an Eckpunkt

Direktes Integrieren über das Dreieck im Schwerpunkt-Koordinatensystem ist ungeschickt, weil der Schwerpunkt nicht an einer geometrisch ausgezeichneten Stelle liegt. Bequemer: ein Hilfskoordinatensystem an einem Eckpunkt platzieren. Ursprung an der oberen-linken Ecke (rechtwinklige Ecke des Dreiecks). $\xi$ -Achse nach rechts (entlang oberer Kante), $\eta$ -Achse nach unten (entlang linker Kante).

Hilfs-Koordinaten für die Integration.

$\xi \in [0, b], \quad \eta \in [0, -\frac{h}{b}\xi + h]$
Schritt 1.2: $I_\xi$ und $I_\eta$ im Hilfskoordinatensystem

Doppelintegrale über das Dreieck. $I_\xi = \iint \eta^2\,dA$ und $I_\eta = \iint \xi^2\,dA$ . Mit der Hypotenusen-Funktion $\eta(\xi) = -h/b\,\xi + h$ . Direkt aus der Üs8-Lösung: $I_\xi = b\,h^3/12$ und $I_\eta = b^3\,h/12$ . Diese sind die Trägheitsmomente um die Hilfs-Achsen am Eckpunkt.

Trägheitsmomente im Hilfskoordinatensystem.

$I_\xi = \frac{b\,h^3}{12}, \qquad I_\eta = \frac{b^3\,h}{12}$
Schritt 1.3: $C_{\eta\xi}$ im Hilfskoordinatensystem

Gemischtes Moment $C_{\eta\xi} = -\iint \eta\,\xi\,dA$ . Mit Vorzeichen-Konvention: das Minus-Zeichen kommt aus der Definition. Rechnen mit dem Hilfskoordinatensystem: $C_{\eta\xi} = -b^2\,h^2/24$ .

Gemischtes Moment im Hilfskoordinatensystem.

$C_{\eta\xi} = -\frac{b^2\,h^2}{24}$
Schritt 2.1: Schwerpunkt des Dreiecks

Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt im arithmetischen Mittel der Eckpunkts-Koordinaten. Bei unserem rechtwinkligen Dreieck mit Ecken $(0, 0), (b, 0), (0, h)$ im Hilfskoordinatensystem: Schwerpunkt $S$ bei $(\xi_S, \eta_S) = (b/3, h/3)$ .

Schwerpunkts-Position.

$\xi_S = \frac{b}{3}, \qquad \eta_S = \frac{h}{3}$
Schritt 2.2: Steiner-Trafo zu Schwerpunkts-Achsen

Trägheitsmomente bezüglich des Schwerpunkts: $I_y = I_\eta - \xi_S^2 \cdot A$ (Steiner-Subtraktion, weil wir vom Eckpunkt zum Schwerpunkt wechseln). Analog für $I_z$ und $C_{yz}$ . Mit Fläche $A = b\,h/2$ und Schwerpunkts-Position $\xi_S = b/3$ , $\eta_S = h/3$ .

Drei Trägheitsmomente im Schwerpunkts-Koordinatensystem.

$\begin{aligned} I_y &= I_\eta - \xi_S^2\,A = \frac{b^3\,h}{12} - \frac{b^2}{9} \cdot \frac{b\,h}{2} = \frac{b^3\,h}{12} - \frac{b^3\,h}{18} = \frac{b^3\,h}{36} \\ I_z &= I_\xi - \eta_S^2\,A = \frac{b\,h^3}{12} - \frac{h^2}{9} \cdot \frac{b\,h}{2} = \frac{b\,h^3}{36} \\ C_{yz} &= C_{\eta\xi} + \eta_S\,\xi_S\,A = -\frac{b^2\,h^2}{24} + \frac{h}{3} \cdot \frac{b}{3} \cdot \frac{b\,h}{2} = \frac{b^2\,h^2}{72} \end{aligned}$

Formel Hilfskoordinatensystem-Integrale

I_\xi = bh^3/12,\;I_\eta = b^3 h/12,\;C_{\eta\xi} = -b^2 h^2/24

Direkt aus dem Doppelintegral.

Formel Schwerpunkts-Koordinatensystem

I_y = b^3 h/36,\;I_z = bh^3/36,\;C_{yz} = b^2 h^2/72

Nach Steiner-Trafo. Standard-Werte für rechtwinkliges Dreieck.

Merke Schwerpunkt

\xi_S = b/3,\;\eta_S = h/3

. Drittelpunkt bei rechtwinkligem Dreieck.

Prüfungstipp Profil-Tabelle
Standard-Werte. In Klausur direkt nutzen ohne Herleitung.

2.7 Schritt 3+4: Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen-Winkel

$I_1$ , $I_2$ und $\theta$ für $h/b = 2$

Schritt 3.1: Werte für h/b = 2 einsetzen

Mit $b = h/2$ wird $b\,h^3/36 = h^4/72$ und $b^3\,h/36 = (h/2)^3\,h/36 = h^4/288$ . Und $b^2\,h^2/72 = (h/2)^2\,h^2/72 = h^4/288$ . Daraus die drei Trägheitsmomente in Einheiten von $h^4$ .

Numerische Trägheitsmomente.

$I_y = \frac{h^4}{288}, \qquad I_z = \frac{h^4}{72}, \qquad C_{yz} = \frac{h^4}{288}$
Schritt 3.2: Mittelpunkt und Radius des Mohr-Kreises

Mittelpunkt: $I_M = (I_y + I_z)/2 = (h^4/288 + h^4/72)/2 = (h^4/288 + 4\,h^4/288)/2 = 5\,h^4/576$ . Radius via Differenz und $C_{yz}$ : $(I_y - I_z)/2 = (h^4/288 - 4\,h^4/288)/2 = -3\,h^4/576$ . Quadriert: $9\,h^8/576^2$ . Plus $C_{yz}^2 = (h^4/288)^2 = h^8/288^2 = 4\,h^8/576^2$ . Summe: $13\,h^8/576^2$ . Wurzel: $R = \sqrt{13}\,h^4/576$ .

Mohr-Kreis-Parameter.

$I_M = \frac{5\,h^4}{576}, \qquad R = \sqrt{\left(\frac{-3\,h^4}{576}\right)^2 + \left(\frac{h^4}{288}\right)^2} = \frac{\sqrt{13}\,h^4}{576}$
Schritt 3.3: Hauptträgheitsmomente

$I_1 = I_M + R = (5 + \sqrt{13})/576 \cdot h^4$ , das ist das Maximum. $I_2 = I_M - R = (5 - \sqrt{13})/576 \cdot h^4$ , das Minimum. Numerisch: $\sqrt{13} \approx 3.606$ , also $I_1 \approx 0.01494\,h^4$ und $I_2 \approx 0.00242\,h^4$ .

Hauptträgheitsmomente.

$\boxed{I_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{576}\,h^4, \qquad I_2 = \frac{5 - \sqrt{13}}{576}\,h^4}$
Schritt 4.1: Hauptachsen-Winkel

$\tan(2\theta) = 2\,C_{yz}/(I_y - I_z)$ . Brüche auf gleichen Nenner: Zähler $2\,C_{yz} = 2\,h^4/288 = h^4/144$ . Nenner $I_y - I_z = h^4/288 - 4\,h^4/288 = -3\,h^4/288 = -h^4/96$ . Quotient: $(h^4/144)/(-h^4/96) = -96/144 = -2/3$ . Daraus $2\theta_1 = \arctan(-2/3) \approx -33.69°$ , also $\theta_1 \approx -16.845°$ . Die zweite Hauptachse liegt $90°$ versetzt: $\theta_2 = \theta_1 + 90° = 73.155°$ .

Hauptachsen-Winkel.

$\boxed{\theta_1 = -16.845°, \qquad \theta_2 = 73.155°}$

Formel $I_1$ , $I_2$

I_{1,2} = (5 \pm \sqrt{13})/576 \cdot h^4

Üs8-Wiederholungs-Resultat für

h/b = 2

Formel Theta

\theta_1 = -16.845°,\;\theta_2 = 73.155°

Zwei Hauptachsen, 90° versetzt.

Merke Spur-Check

I_1 + I_2 = I_y + I_z = 5/288 \cdot h^4

. ✓

Prüfungstipp Kontroll-Methode
Mohr-Kreis liefert dasselbe Resultat schneller.

3.1 Wieso erzeugt Querkraft Schubspannung

Querkraft braucht Gleichgewicht. Wenn ein Stab eine Querkraft $Q_y$ erfährt (vertikale Schub-Kraft), muss diese Kraft im Querschnitt durch eine Verteilung von Schubspannungen aufgenommen werden. Eine Punktkraft am Querschnitt-Schwerpunkt wäre nicht-physikalisch, weil es keine konzentrierte Schub-Kraft an einem Punkt gibt. Stattdessen ist die Schubspannung über die Querschnitts-Fläche verteilt.

Geometrische Begründung über Längsgleichgewicht. Schneide den Stab quer ab und betrachte ein dünnes Längs-Element zwischen $x$ und $x + dx$ entlang der Stab-Achse. Auf den zwei Stirnflächen wirken unterschiedliche Normalspannungen $\sigma_x(x)$ und $\sigma_x(x + dx)$ . Damit das Element im Längsgleichgewicht bleibt, muss die Differenz dieser Normalspannungen durch Schubspannungen auf der seitlichen Schnittfläche kompensiert werden. Das ist die geometrische Grundlage für die Existenz von Schubspannungen.

Wieso die Schubspannungs-Formel. Aus dem Längsgleichgewicht eines Streifens vom Faserrand $y_{\max}$ bis zur Stelle $y$ folgt direkt: $\tau_{xy}(y) \cdot b(y) = (dM_z/dx) \cdot H_z(y)/I_z = -Q_y \cdot H_z(y)/I_z$ (mit der Differential-Beziehung $M'_z = -Q_y$ ). Daraus die Hauptformel.

Hauptformel für Schubspannung. $\tau_{xy}(y) = -Q_y \cdot H_z(y) / (I_z \cdot b(y))$ . Hier ist $Q_y$ die Querkraft, $H_z(y)$ das statische Moment der abgeschnittenen Teilfläche zwischen $y$ und $y_{\max}$ , $I_z$ das Schwerpunkts-Trägheitsmoment, $b(y)$ die Querschnitts-Breite an der Stelle $y$ .

Wann brauche ich das. Bei jeder Aufgabe, in der eine Querkraft im Stab wirkt und Schubspannungen gefragt sind. Das ist der Standardfall für jede Klausur-Aufgabe zu Schubspannungen (FS22 D3, FS24 D3, FS25 D3 u.a.).

Beschreibung

Wieso entsteht Schubspannung?

Links: Side-View eines Cantilevers. Schnitt-Streifen zwischen $x$ und $x + dx$ wird herausgehoben.
Rechts: Zoom auf den Streifen. Auf den zwei Stirnflächen wirken σₓ(left) und σₓ(right), unterschiedlich weil $M(x) \neq M(x + dx)$ .
Oberhalb $y_{cut}$ entsteht eine Netto-Längskraft $dN$ aus der Differenz. Diese muss durch eine Schubspannung $\tau$ auf der horizontalen Innenschnittfläche balanciert werden.
Aus dem Gleichgewicht folgt direkt $\tau = -Q \cdot H_z / (I_z \cdot b)$ .
Aha: Bei konstantem $M$ wäre $dM/dx = 0$ und damit $\tau = 0$ . Schubspannung existiert NUR wegen der Variation von $M(x)$ entlang der Stab-Achse, also wegen $Q$ .

x [m] 0.50

y_\text{cut}

[cm] 0.0

Q [kN] 10

Abb. 3: Längsgleichgewicht eines Stab-Streifens. Differenz der Normalspannungen erzeugt τ.

!!!

Hauptformel der Schubspannung im Vollquerschnitt

\tau_{xy}(y) = -\frac{Q_y \cdot H_z(y)}{I_z \cdot b(y)}

Aus Längsgleichgewicht eines Streifens.

Q_y

Querkraft,

H_z(y)

statisches Moment der Teilfläche,

I_z

Schwerpunkts-Trägheitsmoment,

b(y)

Breite an der Stelle

y

Definition Schubspannung
Über Querschnitt verteilte Spannung aus Querkraft. Erfüllt Längsgleichgewicht.

Formel Hauptformel

\tau_{xy} = -Q_y\,H_z/(I_z\,b)

Querkraft, statisches Moment, Trägheitsmoment, Breite.

Merke Vier Größen

Q_y

(Last),

H_z(y)

(Geometrie),

I_z

(Geometrie),

b(y)

(Geometrie).

Prüfungstipp Klausur-Standard
FS22, FS24, FS25 D3-Aufgaben fragen alle nach

\tau_{xy}

oder

\tau_{xz}

aus dieser Formel.

3.2 Statisches Moment $H_z$ : Definition

Definition. Das statische Moment $H_z(y)$ ist das Flächenmoment der abgeschnittenen Teilfläche zwischen $y$ und $y_{\max}$ (oder zwischen $y_{\min}$ und $y$ , je nach Schnitt-Richtung) um die Schwerpunkts-Achse $z$ . Mathematisch: $H_z(y) = \int_{y'>y \cap A} y'\,dA$ . Einheit: Länge³.

Anschauung. Stelle dir vor: schneide den Querschnitt bei der Stelle $y$ horizontal durch. Die obere Hälfte (Bereich $y' < y$ ) hat eine bestimmte Fläche $\Delta A$ und einen Schwerpunkt mit $y$ -Koordinate $y_{\text{SP}}(\Delta A)$ relativ zur Schwerpunkts-Achse. Das statische Moment ist das Produkt: $H_z(y) = \Delta A \cdot y_{\text{SP}}(\Delta A)$ .

Alternative Schreibweise. Bei rechteckigen Teilflächen lässt sich der Schwerpunkt einfach finden, und die Schreibweise $H_z = \Delta A \cdot y_{\text{SP}}$ ist viel schneller als die Integration. Das ist der Schlüssel zum schnellen Berechnen.

Vorzeichen. $H_z$ hat Vorzeichen, das von der Wahl der Schnitt-Seite abhängt. Wenn die abgeschnittene Teilfläche oberhalb des Schnitts liegt ( $y' < y$ bei $y$ -Achse nach unten), und wir die $y$ -Werte unterhalb der Schwerpunkts-Achse als positiv zählen, ist die abgeschnittene Teilfläche oberhalb der Schwerpunkts-Achse mit negativen $y$ -Werten, also $H_z < 0$ . Das Vorzeichen des $H_z$ und der Querkraft $Q_y$ kombinieren sich in der Hauptformel zum endgültigen Vorzeichen der Schubspannung.

Wann brauche ich $H_z$ genau. Bei jeder Berechnung der Schubspannung. Es gibt verschiedene Methoden, $H_z$ zu berechnen, je nach Querschnitt-Geometrie (siehe Sec. 3.3). Der Wahl der Methode beeinflusst die Geschwindigkeit der Berechnung.

!!!

Statisches Moment Definition

H_z(y) = \int_{\Delta A} y'\,dA = \Delta A \cdot y_{\text{SP}}(\Delta A)

Flächenmoment der abgeschnittenen Teilfläche. Erste Form ist das Integral, zweite die Schwerpunkts-Form (schneller).

Beschreibung

$H_z(y)$ -Visualisierung mit Schubspannungs-Profil.

Links: Querschnitt mit horizontalem Schnitt bei $y$ . Die abgeschnittene Teilfläche oberhalb wird schraffiert.
Mitte: Bar-Chart $H_z(y)$ als Funktion der Schnittposition $y$ . Aktueller Wert hervorgehoben.
Rechts: $\tau_{xy}(y)$ -Profil. Bei Rechteck parabolisch, bei Kreis Halb-Ellipse, bei I-Profil sprunghaft am Flansch-Steg-Übergang.
Aha 1: $\tau = 0$ immer am Faserrand (oben und unten). Universeller Sanity-Check.
Aha 2: $\tau_{\max}$ liegt genau dort, wo $H_z(y)$ max ist und $b(y)$ klein ist. Bei Vollrechteck im Schwerpunkt mit Wert $1.5\,Q/A$ .

y / yₘₐₓ 0.00

Q [kN] 10

h [cm] 20

Abb. 4: Statisches Moment

H_z(y)

und Schubspannung

\tau(y)

im Vollquerschnitt.

Definition Statisches Moment $H_z$
Flächenmoment der abgeschnittenen Teilfläche um Schwerpunkts-Achse

z

Formel Zwei Formen

H_z = \int y'\,dA = \Delta A \cdot y_{\text{SP}}

Integral oder Schwerpunkts-Produkt.

Merke Einheit
Länge³. Fläche mal Längen-Versatz.

Prüfungstipp Vorzeichen
Folgt aus Schnitt-Wahl und

y

-Konvention. In der Hauptformel zusammen mit

Q_y

-Vorzeichen.

3.3 Vier Methoden zur $H_z$ -Berechnung

Vier Methoden für unterschiedliche Geometrien. Die Wahl der richtigen Methode spart in der Klausur viele Minuten. Jede Methode passt zu einem typischen Querschnitts-Typ.

Methode (a): Direktes Integral. $H_z(y) = \int_y^{y_{\max}} y'\,b(y')\,dy'$ . Verwende diese Methode bei Querschnitten mit variabler Breite $b(y)$ , also Kreis (mit $b(y) = 2\sqrt{R^2 - y^2}$ ), Dreieck (mit $b(y)$ linear), oder Halbkreis. Bei rechteckigen Querschnitten ist diese Methode unnötig kompliziert.

Methode (b): Teilflächen-Schwerpunkt. $H_z = \Delta A \cdot y_{\text{SP}}$ . Verwende diese Methode bei rechteckigen Teilflächen (Vollquerschnitt mit konstanter Breite, dünnwandige Profile). Hier ist $\Delta A$ die abgeschnittene rechteckige Fläche und $y_{\text{SP}}$ ihr Schwerpunkt-y-Wert. Bei einem Rechteck $b \times h$ , geschnitten bei $y$ : $\Delta A = b \cdot (y_{\max} - y)$ und $y_{\text{SP}} = (y_{\max} + y)/2$ .

Methode (c): Aufaddieren von Teilflächen. Bei zusammengesetzten Profilen (T-Profil, U-Profil, I-Profil) lässt sich $H_z$ als Summe schreiben: $H_z = \sum_i \Delta A_i \cdot y_{\text{SP},i}$ . Für das T-Profil aus Üs8 H2: bei einem Schnitt im Steg ist die abgeschnittene Teilfläche der ganze Flansch plus ein Teil des Stegs. Beide Anteile separat berechnen und summieren.

Methode (d): Subtraktion von einem Anchor. Wenn an einer Stelle $y_0$ das statische Moment $H_z(y_0)$ schon bekannt ist (z.B. aus einer früheren Aufgabe), kann man für andere Stellen den Differenz-Term ausrechnen: $H_z(y) = H_z(y_0) - \int_{y_0}^y y'\,b(y')\,dy'$ . Diese Methode ist nützlich bei Mehrbereichs-Profilen, wo der Übergang zwischen Bereichen einen sauberen Anchor liefert.

Methode	Anwendungsbereich	Beispiel
(a) Direktes Integral	Variable Breite $b(y)$	Kreis, Dreieck, Halbkreis
(b) Teilflächen-Schwerpunkt $\Delta A \cdot y_{\text{SP}}$	Rechteckige Teilflächen	Rechteck-Vollquerschnitt, dünnwandige Wand
(c) Summe über Teilflächen	Zusammengesetzte Profile	T-Profil, U-Profil, I-Profil
(d) Subtraktion von Anchor	Mehrbereichs-Profil mit bekanntem Wert	Fortsetzung von Bereichs-Übergang

Vier Methoden zur

H_z

-Berechnung. Wahl der Methode aus dem Querschnitts-Typ.

Merke Vier Methoden
(a) Integral, (b)

\Delta A \cdot y_{\text{SP}}

, (c) Summe, (d) Subtraktion von Anchor.

Formel Schnellweg

H_z = \Delta A \cdot y_{\text{SP}}

Bei rechteckigen Teilflächen. Die schnellste Methode.

Prüfungstipp Methodenwahl
Variable Breite: (a). Rechteckig: (b). Zusammengesetzt: (c). Anchor da: (d).

Querverweis Anwendung
→ Sec. 4 Vollquerschnitt
→ Sec. 5 Dünnwandig

3.4 Wann ist $H_z = 0$

Drei kritische Anchor-Werte. An bestimmten Stellen verschwindet $H_z$ exakt. Diese Stellen geben Anchor-Punkte für die Verteilung der Schubspannung und sparen oft Rechenarbeit. Die drei Standardfälle.

(i) Am Faserrand: $H_z(\pm y_{\max}) = 0$ . Wenn der Schnitt am oberen oder unteren Faserrand liegt, ist die abgeschnittene Teilfläche null oder die ganze Querschnittsfläche. Im ersten Fall trivial: $\Delta A = 0 \Rightarrow H_z = 0$ . Konsequenz: $\tau_{xy}(\pm y_{\max}) = 0$ am Faserrand. Schubspannung ist null an Ober- und Unterkante.

(ii) Über die ganze Querschnittsfläche: $\int_A y\,dA = 0$ . Per Definition liegt der Schwerpunkt dort, wo das gewichtete Integral $\int y\,dA$ verschwindet. Daraus: wenn man von $-y_{\max}$ bis $+y_{\max}$ integriert, wird $H_z(-y_{\max}) = 0$ identisch. Das ist wieder der Grenz-Fall, wo der Schnitt am unteren Faserrand liegt und die ganze Querschnittsfläche darüber hinzukommt.

(iii) An Symmetrie-Achsen. Bei einem symmetrischen Querschnitt mit horizontaler Symmetrie-Achse ist die obere und untere Hälfte gespiegelt. Bei einem Schnitt entlang der Symmetrie-Achse (also $y = 0$ , dem Schwerpunkt) ist die abgeschnittene obere Hälfte und ihr Schwerpunkt symmetrisch zur unteren Hälfte. Das ergibt nicht direkt $H_z = 0$ , sondern den Maximalwert von $H_z$ (siehe nächste Subsection). Aber: bei Schnitt-Stellen, wo die obere und untere Querschnitts-Geometrie spiegelsymmetrisch ist, kann das Vorzeichen sich aufheben.

Maximum von $|H_z|$ und Position von $\tau_{\max}$ . Position des Maximums hängt vom Querschnitts-Typ ab. (1) Voll-Rechteck-Querschnitt: $\tau_{\max}$ liegt in der Schwerpunkts-Achse $y = 0$ , mit Wert $1.5\,Q/A$ (Form-Faktor 1.5). (2) Symmetrisches T- oder I-Profil mit horizontaler Symmetrie-Achse durch Schwerpunkt und vertikalem Steg: $\tau_{\max}$ liegt im Steg auf der Schwerpunkts-Höhe $y = 0$ , weil dort $|H_z|$ maximal und $b(y)$ klein ist. (3) Asymmetrisches oder offenes Profil (U-, L-Profil, einseitig offene Profile): $\tau_{\max}$ kann an einem Bereichsübergang liegen, z.B. an der Flansch-Wand-Verbindung, wenn dort der Sprung in $b(y)$ einen lokalen Spitzenwert erzeugt. Beim Üs8-H3-U-Profil: $\tau_{\max} = Q\,h^2/(3\,I_z)$ am Flansch-Wand-Übergang $(z, y) = (\pm h, -h/3)$ , NICHT im Schwerpunkt.

Stelle	Wert von $H_z$	Konsequenz für $\tau$
Faserrand $y = \pm y_{\max}$	$0$ (trivial)	$\tau_{xy}(\pm y_{\max}) = 0$
Über ganzen Querschnitt	$0$ (per Def. Schwerpunkt)	Cross-Check der Rechnung
Schwerpunkts-Achse $y = 0$	Maximum (positiv)	$\tau_{\max}$ häufig hier
Symmetrie-Achse senkrecht zu Q	$0$ aus Symmetrie	$\tau = 0$ aus Spiegelung

Drei Stellen mit

H_z = 0

und ihre Konsequenzen für die Schubspannung.

Merke $H_z = 0$ Anchor
(i) Faserrand. (ii) Ganze Fläche. (iii) Symmetrie-Achse senkrecht zu

Q

Formel Faserrand

\tau_{xy}(\pm y_{\max}) = 0

Universell. Pflicht-Sanity-Check.

Merke Maximum bei $y = 0$

\tau_{\max}

häufig am Schwerpunkt-y. Bei Rechteck:

1.5 Q/A

Prüfungstipp MC-Schnellfilter
Antworten mit

\tau \neq 0

am Faserrand sofort ausschließen.

3.5 Vorzeichen von $H_z$ und $\tau$

Vorzeichen von $H_z$ . Aus der Definition $H_z = \Delta A \cdot y_{\text{SP}}$ folgt das Vorzeichen aus dem Vorzeichen von $y_{\text{SP}}$ . Wenn die abgeschnittene Teilfläche oberhalb der Schwerpunkts-Achse liegt (bei $y$ -Achse nach unten heißt das im Bereich $y' < 0$ ), ist $y_{\text{SP}} < 0$ und damit $H_z < 0$ in dieser Konvention.

Wahl der Schnitt-Seite. Praktisch: man kann immer die Schnitt-Seite wählen, die einfacher zu berechnen ist. Bei einem Schnitt im oberen Drittel des Querschnitts: $\Delta A$ kann entweder die obere kleine Fläche sein, oder die untere große Fläche. Wegen der Eigenschaft $\int_{\text{ganz}} y\,dA = 0$ liefern beide Wahlen denselben $|H_z|$ , aber mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Vorzeichen der Schubspannung. Aus $\tau_{xy} = -Q_y \cdot H_z / (I_z \cdot b)$ : bei $Q_y > 0$ (Querkraft nach unten in Mech-II-Konvention) und $H_z > 0$ (oberhalb des Schnitts genommen, $y_{\text{SP}}$ negativ und Vorzeichen-konvertiert): $\tau_{xy} > 0$ (Schub nach oben, der linken Stab-Teil hebt). Vorzeichen folgt direkt.

Konvention im Mech-II-Lehrgang. Im Lehrtext und den Übungs-Lösungen wird häufig $H_z(y)$ als positiver Wert für die obere abgeschnittene Teilfläche angegeben. Damit $\tau_{xy} = -Q\,H_z/(I_z\,b)$ negativ ist bei $Q > 0$ . Das ist konsistent mit der Schub-Richtung. In der Klausur ist meist nur der Betrag $|\tau|$ relevant.

Ablesen aus der Schub-Skizze. Im Querschnitt zeigen Pfeile die Schub-Richtung an: bei einer Querkraft nach unten zeigen die Schubspannungs-Pfeile in den vertikalen Wänden nach unten (gleiche Richtung wie $Q$ ). In horizontalen Flanschen zeigen die Schubspannungs-Pfeile so, dass das Material entlang der Mittellinie nach innen oder aussen geschoben wird. Das genaue Bild folgt aus der Bilanz der Schub-Beiträge.

Größe	Vorzeichen	Bedeutung
$H_z(y)$ , oberhalb genommen	$> 0$ in Mech-II-Konvention	Standard-Wahl in Übungs-Lösungen
$Q_y$	$> 0$	Querkraft nach unten
$\tau_{xy}$ aus Hauptformel	$< 0$	Mit Mech-II-Vorzeichen-Konvention
$\|\tau_{xy}\|$	Betrag	Klausur-Antwort meist als Betrag

Vorzeichen-Tabelle für

H_z

und

\tau_{xy}

in der Mech-II-Konvention.

y

-Achse nach unten,

Q_y > 0

heißt Querkraft nach unten.

Merke $H_z$ Vorzeichen
Aus Wahl der Schnitt-Seite und

y

-Konvention. Mech II: oberhalb positiv.

Formel Schub-Vorzeichen

\tau_{xy} = -Q_y H_z/(I_z b)

Bei

Q_y > 0

und

H_z > 0

\tau < 0

Prüfungstipp Klausur-Standard
Betrag

|\tau|

meist genug. Vorzeichen nur bei expliziter Frage.

4.1 Hauptformel im Vollquerschnitt

Hauptformel. Für einen Vollquerschnitt (Rechteck-Block, Kreis, Dreieck mit ausreichender Wand-Dicke) lautet die Schubspannungs-Formel: $\tau_{xy}(y) = -Q_y \cdot H_z(y) / (I_z \cdot b(y))$ . Alle vier Größen sind aus der Querschnitts-Geometrie und der Last bekannt.

Erklärung der Symbole:
$Q_y$ ist die Querkraft (in $y$ -Richtung).
$H_z(y)$ ist das statische Moment der abgeschnittenen Teilfläche zwischen $y$ und $y_{\max}$ .
$I_z$ ist das Schwerpunkts-Trägheitsmoment des ganzen Querschnitts.
$b(y)$ ist die Querschnitts-Breite an der Stelle $y$ .

Wichtig: $b(y)$ ist die Breite an y, nicht am Schwerpunkt der Teilfläche. Häufige Falle: $b(y)$ wird mit $b$ (am Schwerpunkt der Teilfläche) verwechselt. Bei rechteckigem Vollquerschnitt ist $b(y) = b$ konstant, also egal. Bei Dreieck oder Kreis ist $b(y)$ variabel und muss an der jeweiligen Höhe ausgewertet werden.

Profilform der Schubspannung. Bei rechteckigem Vollquerschnitt: $b(y)$ konstant, $H_z(y) = b\,(y_{\max}^2 - y^2)/2$ (parabolisch in $y$ ). Daraus $\tau_{xy}(y) = -Q_y\,(y_{\max}^2 - y^2)/(2\,I_z) \cdot 1/1$ . Profil ist parabolisch, null an den Faserrändern, Maximum in der Mitte ( $y = 0$ ).

Wann brauche ich diese Formel. Bei jedem Vollquerschnitt. Klausur-Aufgaben fragen typisch nach $\tau_{\max}$ oder nach dem Wert an einer spezifischen Stelle (Üs8 H1, FS25 D2 als Vorbereitung).

!!!

Hauptformel Vollquerschnitt

\tau_{xy}(y) = -\frac{Q_y \cdot H_z(y)}{I_z \cdot b(y)}

b(y)

ist die Breite an der Schnittstelle

y

, nicht am Schwerpunkt der Teilfläche.

Formel Hauptformel

\tau_{xy} = -Q_y H_z/(I_z b(y))

Vier Größen aus Last und Geometrie.

Merke $b(y)$ an Schnittstelle
NICHT am Schwerpunkt der Teilfläche. Bei Rechteck:

b

konstant. Bei Kreis:

b(y) = 2\sqrt{R^2-y^2}

Prüfungstipp Profilform
Bei Rechteck: parabolisch, Maximum in der Mitte.

4.2 b(y) für verschiedene Vollquerschnitte

Tabelle der Standard-Vollquerschnitte. Für die Hauptformel braucht man $b(y)$ als Funktion der Höhe. Bei Standardprofilen sind diese Funktionen bekannt und sollten als Referenz präsent sein.

Querschnitt	$b(y)$	$\tau_{\max}$
Rechteck $b \times h$	konstant $b$	bei $y = 0$ : $1.5\,Q/A$
Kreis Radius $R$	$2\sqrt{R^2 - y^2}$	bei $y = 0$ : $4\,Q/(3\,A)$
Dreieck (Basis $b$ , Höhe $h$ , Spitze oben)	linear, $b\,(1 - y/y_{\max})$ etc.	an spezifischer Position: $\sim 4\,Q/(3\,A)$
Halbkreis (flache Seite oben)	$2\sqrt{R^2 - y^2}$ , asymmetrisch	im Schwerpunkt: $\sim 4\,Q/(3\,A)$

b(y)

H_z(y)

\tau_{\max}

für vier Standard-Vollquerschnitte.

A

= Querschnittsfläche,

Q

|Q_y|

Pattern. Bei symmetrischen Vollquerschnitten (Rechteck, Kreis) tritt $\tau_{\max}$ in der Schwerpunkts-Achse auf. Bei asymmetrischen (Dreieck, Halbkreis) verschiebt sich die Position des Maximums. Die Formel für $\tau_{\max}$ ist immer ein Vielfaches von $Q/A$ , mit Faktor zwischen 1.0 und 1.5 typischerweise.

Form-Faktor. Der Faktor vor $Q/A$ heißt manchmal Schub-Form-Faktor und gibt an, wie stark die Schubspannung gegenüber der mittleren Schubspannung $Q/A$ überhöht ist. Bei Rechteck: 1.5. Bei Kreis: 4/3 ≈ 1.33. Bei dünnwandigen Profilen: oft viel höher (2 bis 3 oder mehr) wegen kleiner Wand-Dicke.

Klausur-Standardrechnung. Wenn $I_z$ und $b(y)$ aus Tabelle bekannt sind, kann man $\tau_{\max}$ direkt einsetzen ohne Umweg über $H_z$ . Diese Schnellmethode ist in der Klausur Gold wert.

Formel Rechteck $\tau_{\max}$

\tau_{\max} = 1.5\,Q/A

Klassiker. In der Mitte des Rechteck-Vollquerschnitts.

Formel Kreis $\tau_{\max}$

\tau_{\max} = 4\,Q/(3\,A)

In der Mitte des Kreis-Vollquerschnitts.

Merke Form-Faktor
Verhältnis

\tau_{\max}/\bar\tau

. Geometrie-abhängig. Standardwerte auswendig.

Prüfungstipp Pattern
Bei Symmetrie:

\tau_{\max}

in der Mitte. Bei Asymmetrie: verschoben.

4.3 Profilform der Schubspannung im Rechteck

Klassische Parabel-Form. Bei einem Rechteck-Vollquerschnitt ( $b$ horizontal, $h$ vertikal) folgt aus der Hauptformel das parabolische $\tau_{xy}$ -Profil: null an den Faserrändern $y = \pm h/2$ , Maximum in der Mitte $y = 0$ . Diese Form ist DER Klassiker und sollte als Standard-Bild im Kopf sein.

Herleitung. Bei rechteckigem Vollquerschnitt mit konstanter Breite $b(y) = b$ : $\Delta A = b\,(y_{\max} - y)$ (von der Schnittstelle bis zum oberen Faserrand). Der Schwerpunkt der Teilfläche bei $y_{\text{SP}} = (y + y_{\max})/2$ . Daraus $H_z(y) = \Delta A \cdot y_{\text{SP}} = b\,(y_{\max} - y)(y_{\max} + y)/2 = b\,(y_{\max}^2 - y^2)/2$ .

Schubspannung als Funktion von y. Mit $I_z = b\,h^3/12$ und $y_{\max} = h/2$ : $\tau_{xy}(y) = -Q_y \cdot b\,(h^2/4 - y^2)/2 / (b\,h^3/12 \cdot b) = -6\,Q_y\,(h^2/4 - y^2) / (b\,h^3)$ . Das ist die parabolische Verteilung.

Maximum. $\tau_{xy}(0) = -6\,Q_y\,(h^2/4) / (b\,h^3) = -1.5\,Q_y/(b\,h) = -1.5\,Q/A$ . Mit Betrag: $|\tau_{\max}| = 1.5\,Q/A$ . Position: $y = 0$ (Schwerpunkts-Achse).

Visuelle Bemerkung. Das Profil sieht wie eine nach oben geöffnete Parabel aus, wenn man die Schubspannung horizontal nach rechts aufträgt (positive Werte). Mit Vorzeichen-Konvention: bei $Q > 0$ (nach unten) ist $\tau$ negativ in der Mech-II-Konvention; bei Aufgaben mit Betrag spielt das keine Rolle.

Schubspannungs-Profil im Rechteck-Vollquerschnitt

\tau_{xy}(y) = -\frac{6\,Q_y}{b\,h^3}\left(\frac{h^2}{4} - y^2\right) = -\frac{1.5\,Q_y}{A}\left(1 - \frac{4\,y^2}{h^2}\right)

Parabolisch in

y

. Null an Faserrändern

y = \pm h/2

, Maximum bei

y = 0

mit Betrag

1.5\,|Q_y|/A

Formel Profil

\tau_{xy}(y) = -1.5 Q/A (1 - 4y^2/h^2)

Parabel mit Maximum bei

y=0

Merke Drei Anchor-Werte

\tau(0) = -1.5 Q/A

\tau(\pm h/2) = 0

Prüfungstipp Rechteck-Klassiker
Auswendig wissen.

\tau_{\max} = 1.5 Q/A

Querverweis Animation
→ Animation in 3.2 (

H_z

und τ)

4.4 Maximum $\tau$ und kritische Stelle

Maximum bei symmetrischen Vollquerschnitten. Bei jedem Vollquerschnitt mit horizontaler Symmetrie-Achse (Rechteck, Kreis, Quadrat) liegt $\tau_{\max}$ exakt in der Schwerpunkts-Achse $y = 0$ . Das ist Konsequenz der Tatsache, dass $H_z(y)$ am Faserrand null ist und im Schwerpunkts-Niveau sein Maximum erreicht.

Kreis-Vollquerschnitt. Bei einem Kreis mit Radius $R$ : $b(y) = 2\sqrt{R^2 - y^2}$ , $I_z = \pi\,R^4/4$ , $A = \pi\,R^2$ . Statisches Moment $H_z(y) = (2/3)(R^2 - y^2)^{3/2}$ . Schubspannung $\tau_{xy}(y) = -Q\,H_z/(I_z\,b) = -Q\,(2/3)(R^2 - y^2)^{3/2}/(\pi\,R^4/4 \cdot 2\sqrt{R^2-y^2}) = -(4\,Q)/(3\,\pi\,R^4) \cdot (R^2 - y^2)$ . Maximum bei $y = 0$ : $\tau_{\max} = -(4\,Q)/(3\,\pi\,R^2) = -(4\,Q)/(3\,A)$ . Standardwert.

Asymmetrische Vollquerschnitte. Bei Dreieck (Spitze oben) liegt das Maximum nicht im Schwerpunkt, sondern wo $H_z(y)/b(y)$ maximal ist. Genaue Position folgt aus der Ableitung. Häufig liegt sie zwischen Schwerpunkt und Mittelpunkt der breiteren Seite.

Pattern für die Position. Differential der Schubspannung nach $y$ : $d\tau/dy = 0$ liefert die Position des Maximums. Bei symmetrischen Profilen: aus Symmetrie folgt $y = 0$ . Bei asymmetrischen: konkrete Rechnung nötig.

Klausur-Praxis. Wenn nach $\tau_{\max}$ gefragt ist, identifiziere zuerst die Position des Maximums (mittels Symmetrie oder Standard-Wert). Dann setze in die Hauptformel ein. Die meisten Klausur-Aufgaben (Mech II) nutzen symmetrische Vollquerschnitte, sodass der Standardweg ausreicht.

!!!

Maximum

\tau

im Kreis-Vollquerschnitt

\tau_{\max} = \frac{4\,Q}{3\,A} = \frac{4\,Q}{3\,\pi\,R^2} \quad (\text{bei}\;y = 0)

In der Mitte des Kreis-Vollquerschnitts. Kleiner als Rechteck-Wert (

4/3 < 1.5

), weil bei Kreis weniger Material an Faserrändern entfernt ist.

Formel Kreis $\tau_{\max}$

\tau_{\max} = 4Q/(3A) = 4Q/(3\pi R^2)

Standard-Wert für Vollkreis.

Merke Position
Bei Symmetrie:

y = 0

. Bei Asymmetrie: aus

d\tau/dy = 0

Prüfungstipp Symmetrie-Schnellweg
Symmetrie-Achse erzwingt

\tau_{\max}

dort. Spart Differentiation.

4.5 Beispiel: Rechteck-Vollquerschnitt mit Q

Aufgabe. Ein rechteckiger Vollquerschnitt mit Breite $b$ und Höhe $h$ ist eine vertikalen Querkraft $Q_y$ ausgesetzt. Berechne die Schubspannung $\tau_{xy}(y)$ im ganzen Querschnitt und bestimme die Position und den Wert des Maximums.

Standard-Rechnung in 4 Schritten

Schritt 1: Geometrische Größen

Trägheitsmoment um die Schwerpunkts-Achse $z$ : $I_z = b\,h^3/12$ (Standard-Wert für Rechteck). Querschnittsfläche $A = b\,h$ . Maximaler $y$ -Wert am Faserrand: $y_{\max} = h/2$ .

Geometrie zusammenfassen.

$I_z = \frac{b\,h^3}{12}, \qquad A = b\,h, \qquad y_{\max} = \frac{h}{2}$
Schritt 2: $H_z(y)$ berechnen

Methode (b): $H_z(y) = \Delta A \cdot y_{\text{SP}}$ . Abgeschnittene Teilfläche unterhalb der Stelle $y$ (zwischen Schnitt und unterem Faserrand $y_{\max} =\frac{h}{2}$ ): Länge $(\frac{h}{2} - y)$ , Wand-Dicke $b$ , also $\Delta A = b\,(\frac{h}{2} - y)$ . Schwerpunkts-y dieser Teilfläche: arithmetisches Mittel zwischen Schnitt und Faserrand, also $y_{\text{SP}} = \frac{(y + \frac{h}{2})}{2}$ . Produkt: $H_z = \frac{b\,(\frac{h}{2} - y)(y + \frac{h}{2})}{2} = (\frac{b}{2})((\frac{h}{2})^2 - y^2) = (\frac{b}{2})(\frac{h^2}{4} - y^2)$ .

Statisches Moment.

$H_z(y) = \frac{b}{2}(y_{\max}^2 - y^2) = \frac{b}{2}\left(\frac{h^2}{4} - y^2\right)$
Schritt 3: Schubspannung einsetzen

Hauptformel mit $b(y) = b$ konstant: $\tau_{xy}(y) = -Q_y \cdot H_z(y)/(I_z \cdot b) = -Q_y \cdot (b/2)(h^2/4 - y^2)/(b\,h^3/12 \cdot b)$ . Brüche zusammenfassen.

Vollständige $\tau_{xy}$ -Formel.

$\tau_{xy}(y) = -\frac{6\,Q_y}{b\,h^3}\left(\frac{h^2}{4} - y^2\right)$
Schritt 4: Maximum bei y = 0

Bei $y = 0$ : $\tau_{xy}(0) = -6\,Q_y/(b\,h^3) \cdot h^2/4 = -1.5\,Q_y/(b\,h) = -1.5\,Q_y/A$ . Mit Betrag: $|\tau_{\max}| = 1.5\,|Q_y|/A$ . Form-Faktor 1.5 für Rechteck.

Maximum.

$\boxed{|\tau_{\max}| = \frac{1.5\,|Q_y|}{A} = \frac{1.5\,|Q_y|}{b\,h}}$

Formel Profil

\tau_{xy}(y) = -6 Q (h^2/4 - y^2)/(bh^3)

Vollständige Parabel-Verteilung.

Formel Maximum

|\tau_{\max}| = 1.5 Q/A

Bei

y = 0

. Form-Faktor 1.5.

Merke Sanity

\tau(\pm h/2) = 0

am Faserrand. Pflicht-Check.

4.6 Schritt-für-Schritt: Berechnung an Standard-Profilen

Geführter Walkthrough. Diese Animation führt die komplette Rechnung von $H_z(y)$ und $\tau_{xy}(y)$ in 9 Schritten vor: Geometrie, Schwerpunkt, $A$ , $I_z$ , Schnitt, Teilfläche, statisches Moment, $b(y)$ , Schubspannung. Pro Schritt eine Formel mit eingesetzten Zahlenwerten plus die relevante Grösse als Markierung im Querschnitt.

Vier Profile zum Vergleich. Rechteck (einfachster Fall), I-Profil und T-Profil (composite, Steiner-Anteil im $I_z$ ), U-Profil (geöffnet nach unten). Q ist auf $10$ kN festgelegt; Geometrie pro Profil ist hardcoded, damit der Fokus auf der Rechnung bleibt. Wer freier spielen will, nutzt Fig. 3.

Beschreibung

Step-by-Step Berechnung an Standard-Profilen.

Profil-Picker: Rechteck, I-Profil, T-Profil, U-Profil (geöffnet nach unten).
Vor- und Zurück-Buttons stellen die Berechnung schrittweise durch.
Pro Schritt: aktuelle Formel hervorgehoben, numerischer Wert eingesetzt, im Querschnitt die relevante Grösse markiert (Schwerpunkt, abgeschnittene Fläche, Schnitt-Position, etc.).
Ziel: Klausur-Niveau-Rechnung sehen wie in Übungsserien.

Abb. 5: Komplette

H_z

- und

\tau

-Berechnung Schritt für Schritt.

Merke 9 Schritte
Geometrie, Schwerpunkt,

A

I_z

, Schnitt, Teilfläche,

H_z

b(y)

\tau

Prüfungstipp Klausur-Niveau
Wer die 9 Schritte beherrscht, löst alle

\tau

-Aufgaben dieser Art.

5.1 Was bedeutet dünnwandig: $s$ , $\eta$ , $y$

Was bedeutet dünnwandig. Ein Profil ist dünnwandig, wenn die Wand-Dicke $t$ klein ist gegenüber den anderen Querschnitts-Dimensionen. Als gute Größenordnung gilt $t/h < 0.1$ . Oft steht dafür kurz $t \ll h$ : Die Wanddicke ist deutlich kleiner als die übrigen Profilabmessungen. Beispiele: T-Profil, U-Profil, I-Profil mit dünnen Stegen und Flanschen, dünnwandige Rohre. Bei dünnwandigen Profilen kann man die Mittellinie des Profils als 1D-Kurve betrachten.

Drei Koordinaten-Systeme im Spiel. Bei dünnwandigen Profilen treten drei verschiedene Koordinaten auf, die nicht verwechselt werden dürfen.

(1) s: Bogenlänge entlang Mittellinie. Eindimensionale Variable, die entlang der Mittellinie des dünnwandigen Profils läuft. $s = 0$ wird typisch an einem freien Ende oder an einer Symmetrie-Achse gewählt. Bei Mehrbereichs-Profilen (T-, U-Profil) wird pro Teilbereich (Flansch, Steg) ein eigener $s$ -Pfad definiert.

(2) η: lokale Hilfs-Koordinate. Bei der $H_z$ -Berechnung wird ein Hilfskoordinatensystem verwendet, mit Ursprung an einer Bereichs-Grenze und einer Achse parallel zur Stab-Richtung. Diese $\eta$ -Variable ist im Grunde ein anderes Symbol für $s$ in der Integration, aber wird oft separat genannt um die Phase der Berechnung zu betonen.

(3) y, z: globale Querschnitts-Koordinaten. Mit Ursprung im Schwerpunkt $S$ des Profils. Hauptachsen-frei, in Mech-II-Konvention $y$ nach unten, $z$ aus Bild heraus. Diese Achsen werden für die finale Spannungs-Auswertung gebraucht.

Beziehung der Koordinaten. Bei einem dünnwandigen Profil gibt es eine Abbildung $s \mapsto (y, z)$ : jeder Punkt auf der Mittellinie hat globale Koordinaten. Bei einer vertikalen Wand ist $z$ konstant, $y$ variiert linear mit $s$ . Bei einem horizontalen Flansch ist $y$ konstant, $z$ variiert mit $s$ . Diese Abbildung ist bereichsweise linear.

User-Wunsch wörtlich. Die Koordinaten s, η, y, ξ verwirren oft. Hier die klare Trennung: $s$ ist die LAUFENDE Variable für Schubfluss-Berechnung. $\eta, \xi$ sind HILFSVARIABLEN bei $H_z$ -Integration (oft am Rand des Bereichs angesetzt). $y, z$ sind die FINALEN GLOBALEN Achsen am Querschnitts-Schwerpunkt für die Spannungs-Auswertung.

Koordinate	Definition	Verwendung
$s$	Bogenlänge entlang Mittellinie	Schubfluss-Berechnung, eindimensional
$\eta, \xi$	Lokales Hilfskoordinatensystem an Bereichsgrenze	Bei $H_z$ -Integration (Setzung)
$y, z$	Globale Achsen, Ursprung im Schwerpunkt	Spannungs-Auswertung

Drei Koordinaten-Systeme bei dünnwandigen Profilen. Klar trennen, vor jeder Aufgabe einmal durchgehen.

Definition Dünnwandig

t/h < 0.1

. Wand-Dicke klein gegenüber Profil-Dimensionen.

Merke Drei Koordinaten

s

(Bogenlänge),

\eta

(Hilfs),

y, z

(global).

Prüfungstipp Klare Trennung

s

läuft,

\eta

am Rand gesetzt,

y, z

am Schwerpunkt.

Querverweis Sketches
→ Üs8 H2 T-Profil

5.2 Hauptformel $\tau_{xs}$ für dünnwandig

Hauptformel für dünnwandigen Schubfluss. Bei dünnwandigen Profilen wird die Schubspannung-Hauptformel zu $\tau_{xs}(s) = -Q_y \cdot H_z(s) / (I_z \cdot e(s))$ . Im Vergleich zur Vollquerschnitts-Formel wird $b(y)$ durch $e(s)$ ersetzt (Wand-Dicke an der Stelle $s$ ).

Schubfluss qₛ als alternative Form. Definiere $q_s(s) = \tau_{xs}(s) \cdot e(s) = -Q_y \cdot H_z(s)/I_z$ . Der Schubfluss $q_s$ ist UNABHÄNGIG von der lokalen Wand-Dicke. Das ist nützlich, wenn die Wand-Dicke entlang $s$ variiert (selten in Mech-II-Aufgaben, aber theoretisch möglich).

Vergleich Vollquerschnitt vs. Dünnwandig. Beide Formeln haben dieselbe Struktur. Bei Vollquerschnitt: $b(y)$ ist die Querschnitts-Breite an der horizontalen Schnittstelle. Bei Dünnwandig: $e(s)$ ist die Wand-Dicke am Punkt mit Bogenlänge $s$ . Konzeptionell die gleiche Größe, nur die Geometrie unterscheidet sich.

Wann diese Formel. Bei jedem dünnwandigen Profil mit Querkraft. Üs8 H2 (T-Profil) und Üs8 H3 (U-Profil) sind die Standard-Anwendungen. Klausur-Aufgaben FS22 D3, FS24 D3, FS25 D3 nutzen alle diese Formel.

τ konstant über die Wand-Dicke. Bei dünnwandigen Profilen wird angenommen, dass die Schubspannung über die Wand-Dicke konstant ist. Diese Annahme ist gut, wenn $t/h \ll 1$ . Bei dickeren Wänden müsste man eine Variation über die Dicke berücksichtigen, was in Mech II nicht behandelt wird.

!!!

Hauptformel

\tau_{xs}

für dünnwandiges Profil

\tau_{xs}(s) = -\frac{Q_y \cdot H_z(s)}{I_z \cdot e(s)}

Analog zur Vollquerschnitts-Formel,

b(y)

durch

e(s)

ersetzt.

\tau

konstant über Wand-Dicke.

Schubfluss

q_s

q_s(s) = \tau_{xs}(s) \cdot e(s) = -\frac{Q_y \cdot H_z(s)}{I_z}

Unabhängig von lokaler Wand-Dicke. Nützlich bei variabler Wand-Dicke.

Formel Hauptformel

\tau_{xs} = \frac{-Q_y \;H_z(s)}{I_z\; e(s)}

Dünnwandig analog zur Vollquerschnitts-Formel.

Formel Schubfluss

q_s = \tau_{xs} e(s) = -Q_y H_z/I_z

Wand-Dicke-unabhängig.

Merke $b \to e$ , $y \to s$
Vollquerschnitt zu dünnwandig: nur Symbole wechseln.

Prüfungstipp Konstant über Dicke
Annahme:

\tau

ist konstant über die Wand-Dicke (gut bei

t/h \ll 1

5.3 Was bedeutet e(s)

Wand-Dicke an der Stelle s. $e(s)$ ist die Dicke der Wand des dünnwandigen Profils an der Position mit Bogenlänge $s$ entlang der Mittellinie. In den meisten Mech-II-Aufgaben ist $e(s) = e$ konstant (alle Wände haben gleiche Dicke), oder zwischen Bereichen unterschiedlich aber innerhalb eines Bereichs konstant.

Variable Wand-Dicke. In Klausur-Aufgaben wie FS22 D2/D3 mit unterschiedlichen Wand-Dicken $t_1$ und $t_2$ : pro Wand wird $e(s)$ entsprechend gesetzt. Bei Bereichswechsel (z.B. Übergang Flansch zu Steg) springt $e(s)$ unstetig. Das ist OK, weil die Schubfluss-Formel pro Bereich getrennt angewendet wird.

Bei Profilen mit veränderlicher Dicke entlang s. Selten in Mech II. Wenn doch: $e(s)$ als Funktion in die Hauptformel einsetzen. Beispiel: ein konisches Profil. Solche Aufgaben sind in Klausuren atypisch, aber theoretisch möglich.

Häufiger Pattern. Bei Mech-II-Aufgaben wird $e$ entweder als konstant gesetzt (ein einziger Wert für das ganze Profil) oder pro Bereich konstant. Praktisch: für jede Wand des Profils einmal die Wand-Dicke notieren, dann pro Wand die Schubfluss-Formel anwenden.

Schubspannung mit variabler Dicke

\tau_{xs}(s) = \frac{q_s(s)}{e(s)} = -\frac{Q_y \cdot H_z(s)}{I_z \cdot e(s)}

Bei variabler Wand-Dicke: zuerst Schubfluss

q_s

, dann durch

e(s)

dividieren.

Definition Wand-Dicke $e(s)$
Lokale Dicke der Wand entlang

s

. Meist konstant pro Bereich.

Merke Pro Bereich
Bei T-/U-Profil: pro Wand eigenes

e

. Bei Bereichswechsel: Sprung.

Prüfungstipp Tabelle vor Rechnung
Pro Wand:

e

, Länge,

y_{\text{SP}}

. Spart Vorzeichen- und Einsetz-Fehler.

5.4 Wann $\tau_{xs}$ vs. $\tau_{xy}$ : dick vs. dünnwandig

Faustregel. Bei Wand-Dicke $t/h < 0.1$ (sehr dünn): dünnwandige Formel mit $\tau_{xs}$ . Bei Vollquerschnitt oder bei dicken Wänden: Vollquerschnitts-Formel mit $\tau_{xy}$ . Im Übergangsbereich ( $t/h \sim 0.1$ bis $0.3$ ) wird typischerweise die dünnwandige Formel als Approximation verwendet, mit dem Verständnis, dass sie nicht exakt ist.

Was unterscheidet die Formeln. Bei Vollquerschnitt: $\tau_{xy}(y)$ ist die Schubspannung in $y$ -Richtung an der horizontalen Schnittstelle $y$ . Bei Dünnwandig: $\tau_{xs}(s)$ ist die Schubspannung in der Wand-Längsrichtung (entlang $s$ ) an der Position $s$ . Die Pfeil-Richtung der Schubspannung folgt der Wand-Mittellinie.

Konsequenz für die Skizze. Im Vollquerschnitt zeigen die Schubspannungs-Pfeile alle nach unten (gleiche Richtung wie $Q$ ). Bei dünnwandigen Profilen können die Pfeile verschiedene Richtungen haben: in einem Steg nach unten, in einem horizontalen Flansch nach links oder rechts. Die Richtung folgt aus der Bilanz der Schub-Beiträge.

Welche Formel in der Klausur. Aus der Aufgabentext: 'dünnwandiger Querschnitt' oder Skizze mit dünnen Wänden $\to$ dünnwandige Formel. 'Vollquerschnitt' oder Skizze mit massiver Wand $\to$ Vollquerschnitts-Formel. Bei Zweifel: dünnwandige Formel ist konservative Approximation und meist akzeptabel.

Geometrie	Faustregel	Formel
Massiver Block (Rechteck, Kreis, Dreieck)	$t \sim h$ (gleiche Größenordnung)	$\tau_{xy}(y) = -Q\,H_z/(I_z\,b(y))$
Dünnwandig (T-, U-, I-Profil)	$t/h < 0.1$	$\tau_{xs}(s) = -Q\,H_z/(I_z\,e(s))$
Übergang	$0.1 < t/h < 0.3$	Dünnwandige Formel als Approximation

Wann welche Formel. Faustregel aus dem Wand-Dicken-Verhältnis.

Merke Faustregel

t/h < 0.1

: dünnwandig.

t \sim h

: Vollquerschnitt.

Formel Variable

\tau_{xy}(y)\;\text{vs}\;\tau_{xs}(s)

y

Höhe,

s

Bogenlänge.

Prüfungstipp Mech II Standard
Klausur-Aufgaben sind fast immer dünnwandig. FS22-FS25 D3 alle dünnwandig.

5.5 $H_z(s)$ entlang der Mittellinie

Standard-Methode bei dünnwandig. Aus Sec. 3.3 Methode (b): $H_z = \Delta A \cdot y_{\text{SP}}$ . Bei dünnwandigem Profil ist $\Delta A$ die Mittellinien-Strecke mal Wand-Dicke: $\Delta A = e \cdot s$ (für ein Stück der Länge $s$ mit Wand-Dicke $e$ ). Der Schwerpunkt $y_{\text{SP}}$ ist der Mittelpunkt zwischen dem Anfang und der aktuellen Stelle.

Pro Bereich getrennt. Bei Mehrbereichs-Profilen (T-, U-Profil) wird pro Teilbereich (Flansch, Steg) eine eigene $H_z$ -Formel aufgestellt. Bei der Übergangs-Stelle zwischen Bereichen muss $H_z$ stetig sein (kein Sprung), wenn der Schubfluss kontinuierlich ist. Diese Stetigkeits-Bedingung ist ein wichtiger Sanity-Check.

Pattern für Standardprofile. T-Profil: zwei Bereiche (Flansch und Steg). $H_z$ im Flansch wächst linear mit dem Mittellinien-Abstand. $H_z$ im Steg ist eine Parabel (linear in $s$ mal mittlerer y-Wert quadratisch). U-Profil: drei Bereiche (linke Wand, Boden, rechte Wand). Pro Bereich eine Formel.

Konkrete Form bei Üs8 H2 T-Profil. Im Steg ab dem Übergangs-Punkt zum Flansch: $H_z(y) = (b/2)(25\,h^2/36 - y^2)$ . Diese parabolische Form ist das Resultat aus dem $\Delta A \cdot y_{\text{SP}}$ -Pattern, wenn man den ganzen Flansch plus den Steg-Anteil bis zur Stelle $y$ als abgeschnittene Teilfläche nimmt.

Konkrete Form bei Üs8 H3 U-Profil. Drei Bereiche, drei Formeln. Bereich 1 (linke Wand): $H_z^{(1)} = (t/2)(4\,h^2/9 - y^2)$ . Bereich 2 (Boden): linear in $z$ . Bereich 3 (rechte Wand): spiegelbildlich zu 1. Stetigkeit an den Übergangs-Stellen liefert Cross-Checks.

!!!

H_z(s)

bei dünnwandig

H_z(s) = \sum_i \Delta A_i \cdot y_{\text{SP},i}, \qquad \Delta A_i = e_i \cdot s_i, \quad y_{\text{SP},i} = \text{Mittellinie}_i

Pro Teilbereich eine Komponente. Bei Mehrbereichs-Profilen alle aufaddieren bis zur aktuellen Stelle.

Beschreibung

Schubfluss in dünnwandigen Profilen.

Mittellinie des Profils mit Schubfluss-Pfeilen entlang. Pfeil-Stärke proportional zu $|q(s)| = |\tau_{xs}(s) \cdot t|$ .
Pfeil-Richtung folgt der Mittellinien-Parametrisierung $s$ . Bei einer Querkraft $Q_y$ nach unten zeigen Pfeile so, dass im Steg parallel zu $Q$ laufen, in horizontalen Flanschen umgekehrt.
Knoten-Bilanz: an einem Verzweigungs-Knoten ist die Summe der einlaufenden gleich der Summe der auslaufenden Schubflüsse (wie ein Strom-Knoten).
$H_z(s)$ -Diagramm darunter zeigt Verlauf entlang der Mittellinien-Bogenlänge $s$ .
Aha: $|\tau_{\max}|$ liegt fast nie im Schwerpunkt, sondern an der Stelle wo $H_z(s)$ max ist und Wandstärke $t$ klein ist (z.B. Steg-Mitte oder Flansch-Steg-Knoten).

Q [kN] 10

Wandstärke t [mm] 6.0

Profil-Höhe h [cm] 20

Abb. 6: Schubfluss q(s) entlang der Mittellinie eines dünnwandigen Profils.

Formel Pattern

H_z = \sum \Delta A_i \cdot y_{\text{SP},i}

Pro Bereich. Bei dünnwandigen Profilen Methode (b) aus Sec. 3.3.

Merke Pro Bereich
T-Profil: 2 Bereiche. U-Profil: 3 Bereiche. I-Profil: 3 Bereiche.

Prüfungstipp Stetigkeit-Check
An Bereichsübergang:

H_z

stetig. Sanity-Pflicht.

5.6 Vorzeichen-Konventionen mit s

Vorzeichen aus s-Richtung. Die Wahl der $s$ -Richtung beeinflusst das Vorzeichen von $\tau_{xs}$ . Wenn $s$ in eine Richtung läuft, ist $\tau_{xs}$ positiv, wenn die Schubspannung in dieser Richtung wirkt; negativ, wenn entgegen. Das Vorzeichen aus der Hauptformel muss interpretiert werden als Richtung relativ zu $s$ .

Konvention für s-Anfangsrichtung. Typisch: $s = 0$ am freien Ende des Profils (z.B. am oberen Faserrand bei einem Steg) und $s$ wächst nach innen. Damit ist die Anfangsschubspannung null (am freien Ende verschwindet $H_z$ ). Mit dieser Konvention sind die ersten Werte von $\tau_{xs}$ klein.

Pfeil-Richtung interpretieren. $\tau_{xs}(s) > 0$ heißt: Schub wirkt in Richtung steigender $s$ am Querschnitt. Bei einem Steg, in dem $s$ von oben nach unten läuft: $\tau_{xs} > 0$ heißt Schub nach unten. Bei einem Flansch, in dem $s$ von links nach rechts läuft: $\tau_{xs} > 0$ heißt Schub nach rechts.

Sanity-Check über die Q-Richtung. Wenn die Querkraft $Q_y$ nach unten zeigt, müssen die Schubspannungs-Komponenten in den vertikalen Wänden im Mittel auch nach unten zeigen. Der Schubfluss $q_s = \tau_{xs} \cdot e$ summiert sich über die Wände zur Querkraft. Diese Bilanz $\int q_s\,ds = Q_y$ ist immer erfüllt und kann als Cross-Check verwendet werden.

Üs8-Beispiel. Im Üs8 H2 T-Profil: $s$ läuft im Steg von oben (am Flansch) nach unten (zum freien Faserrand). Mit Q nach unten und der Mech-II-Vorzeichen-Konvention ist $\tau_{xs}$ positiv (Schub nach unten = in $+s$ -Richtung). Pfeile in der Üs8-Skizze zeigen entsprechend nach unten.

Bereich	$s$ -Richtung typisch	$\tau_{xs} > 0$ heißt
Vertikaler Steg	Von oben nach unten	Schub nach unten (gleiche wie $Q$ wenn $Q > 0$ )
Horizontaler Flansch	Von links nach rechts	Schub nach rechts
Schräger Bereich (45°)	Vom äußeren Ende zur Mitte	Schub zur Mitte

Vorzeichen-Pattern für

\tau_{xs}

in Standard-Bereichen. Vor jeder Aufgabe Skizze prüfen.

Merke Vorzeichen aus $s$ -Richtung

\tau_{xs} > 0

heißt Schub in

+s

-Richtung.

Formel Bilanz

\sum \int q_s\,ds = Q_y

Schubfluss summiert zur Querkraft.

Prüfungstipp Skizze prüfen
Schub-Pfeile nach Q-Richtung. Cross-Check vor Vorzeichen-Spiel.

5.7 Beispiel: T-Profil dünnwandig (Üs8 H2)

Aufgabe (Üs8 H2). Gegeben sei ein dünnwandiger Balken ( $b \ll h$ ) mit T-förmigem Querschnitt. Eine Punktlast mit Betrag $Q$ wirkt entlang der Symmetrie-Linie in positiver $y$ -Richtung am freien Ende des Stabes. Schwerpunkt $S$ liegt $h/6$ unter dem Flansch im Steg.

Gegeben. Querkraft $Q$ , Höhe $h$ , Wand-Dicke $b$ , Trägheitsmoment $I_z$ .

Gesucht. a) Schubspannungs-Verteilung $\tau_{xs}$ entlang der Mittellinie (Skizze). b) Statisches Moment $H_z(y)$ im Steg. c) Schubspannung $\tau_{xy}$ im Steg.

Merke Aufgabe
T-Profil,

b \ll h

. Q nach unten am Flansch.

S

bei

h/6

unter Flansch.

Prüfungstipp Symmetrie
Eine Symmetrie-Achse:

y

ist Hauptachse. Keine Trafo nötig.

5.8 Schritt 1: $H_z(y)$ im Steg berechnen

Methode (b): $\Delta A \cdot y_{\text{SP}}$

Schritt 1.1: Drei Koordinaten klar trennen

Wir definieren drei klar getrennte Koordinaten. (1) $\eta$ : Hilfskoordinatensystem mit Ursprung am oberen Faserrand des Flansches, läuft nach unten. Im Steg: $\eta \in [0, h]$ (Steg-Mittellinien-Länge ist $h$ , Flansch-Dicke $b \ll h$ vernachlässigt). (2) $y$ : globales Koordinatensystem mit Ursprung im Schwerpunkt $S$ . Beziehung $y = \eta - h/6$ . (3) $s$ : Bogenlänge im Steg von Flansch-Steg-Übergang nach unten, $s = \eta$ im Steg.

Koordinaten-Setzung.

$\eta\;\text{vom Top}, \quad y = \eta - h/6, \quad s = \eta\;\text{im Steg}$
Schritt 1.2: Schnitt im Steg an Position y

Schnitt im Steg an der globalen Höhe $y$ . Abgeschnittene Teilfläche unterhalb des Schnitts (vom Schnitt bis zum unteren Faserrand $y = 5h/6$ ): Steg-Stück Länge $(5h/6 - y)$ , Wand-Dicke $b$ . Fläche $\Delta A = b\,(5h/6 - y)$ . Schwerpunkts-y dieses Stücks: arithmetisches Mittel zwischen Schnitt-y und unteren Faserrand-y, also $y_{\text{SP}} = (y + 5h/6)/2$ .

Teilflächen-Größen.

$\Delta A = b\,\left(\frac{5h}{6} - y\right), \qquad y_{\text{SP}} = \frac{y + 5h/6}{2}$
Schritt 1.3: $H_z(y)$ aus Methode (b)

$H_z = \Delta A \cdot y_{\text{SP}} = b\,(5h/6 - y) \cdot (y + 5h/6)/2$ . Das Produkt $(5h/6 - y)(y + 5h/6) = (5h/6)^2 - y^2 = 25h^2/36 - y^2$ ist die Standardform $a^2 - y^2$ aus Differenz und Summe.

Direkter Ausdruck.

$H_z(y) = b\,\left(\frac{5h}{6} - y\right) \cdot \frac{y + 5h/6}{2} = \frac{b}{2}\left(\frac{25\,h^2}{36} - y^2\right)$
Schritt 1.4: Endformel

Direkt aus Schritt 1.3. Parabolische Form in $y$ mit Faserrand-Nullstellen bei $y = \pm 5h/6$ (entspricht den Faserrändern des Stegs vom Schwerpunkt aus gemessen, $\pm 5h/6$ ist die Schwerpunkts-Distanz zu den Steg-Enden im Üs8-H2-Koordinatensystem).

Üs8-H2-Endformel.

$\boxed{H_z(y) = \frac{b}{2}\left(\frac{25\,h^2}{36} - y^2\right)}$
Schritt 1.5: Sanity-Checks an drei Anchor-Stellen

Drei Pflicht-Checks. (1) Unterer Faserrand $y = 5h/6$ : $H_z = (b/2)(25h^2/36 - 25h^2/36) = 0$ ✓ (am freien Ende des Stegs verschwindet $H_z$ ). (2) Schwerpunkts-Höhe $y = 0$ : $H_z = (b/2)(25h^2/36) = 25\,b\,h^2/72$ , das ist der Maximum-Wert (im Schwerpunkt liegt das Maximum von $|H_z|$ ). (3) Übergang Flansch-Steg $y = -h/6$ : $H_z = (b/2)(25h^2/36 - h^2/36) = (b/2)(24h^2/36) = b\,h^2/3$ , ein endlicher Wert (oberhalb des Stegs liegt noch der Flansch, daher nicht null).

Anchor-Werte.

$H_z(5h/6) = 0, \quad H_z(0) = \frac{25\,b\,h^2}{72}, \quad H_z(-h/6) = \frac{b\,h^2}{3}$

Formel $H_z(y)$ Steg

H_z(y) = (b/2)(25 h^2/36 - y^2)

Üs8-H2-Form. Parabolisch in

y

Merke Maximum

H_z(0) = 25 b h^2/72

, im Schwerpunkt.

Prüfungstipp Faserrand-Check

H_z(\pm 5 h/6) = 0

. Pflicht-Sanity.

5.9 Schritt 2: $\tau_{xy}$ aus Hauptformel

Schubspannung im Steg

Schritt 2.1: Hauptformel aufstellen

Die Hauptformel: $\tau_{xy}(y) = -Q \cdot H_z(y)/(I_z \cdot b(y))$ . Im Steg ist $b(y) = b$ konstant (Wand-Dicke). Die Querkraft $Q_y = Q$ .

Setup.

$\tau_{xy}(y) = -\frac{Q \cdot H_z(y)}{I_z \cdot b}$
Schritt 2.2: $H_z(y)$ einsetzen

Mit $H_z(y) = (b/2)(25\,h^2/36 - y^2)$ aus dem vorigen Schritt: $\tau_{xy}(y) = -Q \cdot (b/2)(25\,h^2/36 - y^2)/(I_z \cdot b) = -Q\,(25\,h^2/36 - y^2)/(2\,I_z)$ .

Endformel.

$\boxed{\tau_{xy}(y) = -\frac{Q\,(25\,h^2/36 - y^2)}{2\,I_z}}$
Schritt 2.3: Vorzeichen interpretieren

Bei $Q > 0$ und $H_z > 0$ : $\tau_{xy} < 0$ in Mech-II-Konvention. Das heißt Schub auf der Stirnfläche in $-y$ -Richtung (also nach oben in y-Achse-nach-unten-Konvention). Konsistent mit dem Üs8-Bild: Schub-Pfeile im Steg zeigen nach oben (entgegen $Q$ -Richtung), weil die linke Stab-Hälfte den rechten Stab-Stück nach oben schiebt.

Vorzeichen-Cross-Check.

$Q > 0, H_z > 0 \;\Longrightarrow\; \tau_{xy} < 0\;(\text{Schub gegen}\;Q\text{-Richtung})$
Schritt 2.4: Maximum im Steg

$|\tau_{xy}|$ ist maximal, wo $|H_z|$ maximal ist, also bei $y = 0$ . Maximum-Wert: $|\tau_{\max}| = Q \cdot 25\,h^2/(72 \cdot I_z) = 25\,Q\,h^2/(72\,I_z)$ . Ohne Wert für $I_z$ stehen die nicht reduzierbar; in der Klausur meist als Symbol bewiesen.

Maximum.

$|\tau_{\max}| = \frac{Q \cdot 25\,h^2}{72\,I_z} \quad (\text{bei}\;y = 0)$

Formel $\tau_{xy}$ Steg

\tau_{xy} = -Q (25 h^2/36 - y^2)/(2 I_z)

Üs8-H2-Form. Parabolisch in

y

Formel Maximum

|\tau_{\max}| = 25 Q h^2/(72 I_z)

Bei

y = 0

im Steg.

Merke Antwort B (Üs8 H2)
Übereinstimmend mit der MC-Lösung.

5.10 Beispiel: U-Profil dünnwandig (Üs8 H3)

Aufgabe (Üs8 H3). Gegeben sei ein dünnwandiger Balken mit U-förmigem Querschnitt: oberer Flansch der Breite $2h$ und Dicke $t/2$ , zwei vertikale Wände der Höhe $h$ und Dicke $t$ (Skizze: $\downarrow t/2$ am Flansch markiert die Flansch-Dicke, $t$ markiert die Wand-Dicke). Schwerpunkt $C$ liegt $h/3$ unter dem Flansch. Querkraft $Q_y$ wirkt nach unten am Schwerpunkt.

Gegeben. Querkraft $Q_y$ , Höhe $h$ , Wand-Dicken $t$ und $t/2$ , Trägheitsmoment $I_z$ als bekannt angenommen.

Gesucht. Verlauf der Schubspannung $\tau_{xs}$ entlang der Mittellinie. Position und Wert von $|\tau|_{\max}$ .

Merke Aufgabe
U-Profil

2h

breit,

h

hoch. Wand-Dicken:

t

(Wände),

t/2

(Flansch).

Q

am Schwerpunkt nach unten.

Prüfungstipp Schwerpunkt $C$

C

liegt

h/3

unter Flansch. Aus Symmetrie: auf Mittel-Symmetrie-Achse.

Merke Verschiedene Wand-Dicken
Flansch

t/2

, Wände

t

. Gleiche Mittellinien-Länge ergibt gleiche Fläche

h\,t

5.11 Schritt 1: Drei Teilflächen identifizieren und Schwerpunkt

Geometrische Vorbereitung

Schritt 1.1: Drei Bereiche und ihre Flächen

Bereich 1: linke vertikale Wand der Mittellinien-Länge $h$ und Dicke $t$ , also $A^{(1)} = h\,t$ . Bereich 2: oberer Flansch der Mittellinien-Länge $2h$ und Dicke $t/2$ , also $A^{(2)} = 2h \cdot t/2 = h\,t$ . Bereich 3: rechte vertikale Wand wie Bereich 1, $A^{(3)} = h\,t$ . Wegen der unterschiedlichen Wand-Dicken haben alle drei Bereiche dieselbe Fläche $h\,t$ .

Bereichs-Flächen.

$A^{(1)} = A^{(3)} = h\,t, \qquad A^{(2)} = 2h \cdot \frac{t}{2} = h\,t$
Schritt 1.2: Schwerpunkt aus drei gleichen Flächen

Hilfs-System mit $\eta'$ -Achse vom Flansch-Top nach unten gemessen. Mittellinien-Schwerpunkts-Position pro Bereich: Linke Wand bei $\eta'_1 = h/2$ (Mitte zwischen Flansch-Top und Wand-unten). Flansch bei $\eta'_2 = 0$ (auf Flansch-Mittellinie, Dicke $t/2 \ll h$ vernachlässigt). Rechte Wand bei $\eta'_3 = h/2$ . Mit gleichen Flächen: arithmetisches Mittel der drei Schwerpunkte.

Schwerpunkts-Berechnung.

$\eta'_S = \frac{A^{(1)}\,\eta'_1 + A^{(2)}\,\eta'_2 + A^{(3)}\,\eta'_3}{A^{(1)} + A^{(2)} + A^{(3)}} = \frac{h\,t \cdot h/2 + h\,t \cdot 0 + h\,t \cdot h/2}{3\,h\,t} = \frac{h^2\,t}{3\,h\,t} = \frac{h}{3}$
Schritt 1.3: Globales y-Koordinatensystem durch Schwerpunkt

Mit Schwerpunkt bei $\eta' = h/3$ vom Flansch-Top: globales $y$ erfüllt $y = \eta' - h/3$ . Damit liegt der Flansch bei $y = -h/3$ , das untere Faserrand-Ende der Wände bei $y = h - h/3 = 2h/3$ . Wände erstrecken sich von $y = -h/3$ bis $y = 2h/3$ .

Schwerpunkts-Koordinatensystem.

$y = \eta' - \frac{h}{3}: \quad \text{Flansch bei}\;y = -\frac{h}{3}, \;\text{Wand-Ende bei}\;y = \frac{2h}{3}$
Schritt 1.4: Schwerpunkts-y jedes Bereichs

Schwerpunkt der linken Wand: Mittelpunkt zwischen $y = -h/3$ (oben) und $y = 2h/3$ (unten), also $y^{(1)}_{\text{SP}} = (-h/3 + 2h/3)/2 = h/6$ . Schwerpunkt vom Flansch: $y^{(2)}_{\text{SP}} = -h/3$ (Flansch-Höhe). Schwerpunkt rechte Wand spiegelbildlich: $y^{(3)}_{\text{SP}} = h/6$ .

Schwerpunkts-y-Koordinaten der Bereiche.

$y^{(1)}_{\text{SP}} = \frac{h}{6}, \qquad y^{(2)}_{\text{SP}} = -\frac{h}{3}, \qquad y^{(3)}_{\text{SP}} = \frac{h}{6}$
Schritt 1.5: Cross-Check Schwerpunkt im globalen Koordinatensystem

Im globalen Koordinatensystem muss $\sum A_i\,y^{(i)}_{\text{SP}} = 0$ gelten (per Definition Schwerpunkt). Einsetzen: $h\,t \cdot h/6 + h\,t \cdot (-h/3) + h\,t \cdot h/6 = h^2\,t \cdot (1/6 - 2/6 + 1/6) = 0$ ✓.

Sanity-Check.

$\sum A_i\,y^{(i)}_{\text{SP}} = h\,t \left(\frac{h}{6} - \frac{h}{3} + \frac{h}{6}\right) = 0\;\checkmark$

Merke Drei Bereiche
1: linke Wand. 2: Flansch. 3: rechte Wand. Alle mit Fläche

h\,t

wegen unterschiedlicher Dicken.

Formel Flächen

A^{(1)} = A^{(2)} = A^{(3)} = h\,t

Total

3\,h\,t

Formel Schwerpunkt

\eta'_S = h/3

Vom Flansch-Top aus gemessen.

Prüfungstipp Sanity-Check

\sum A_i y^{(i)}_{\text{SP}} = 0

im globalen Koordinatensystem. Pflicht-Verifikation.

5.12 Schritt 2: $H_z(s)$ und $\tau_{xs}$ pro Bereich

Drei Bereiche, drei Formeln

Schritt 2.1: $H_z^{(1)}(y)$ in der linken Wand (Bereich 1)

Schnitt im linken Wand bei globaler Höhe $y$ . Abgeschnittene Teilfläche unterhalb des Schnitts (vom Schnitt bis zum unteren Faserrand $y = 2h/3$ ): Wand-Stück Länge $(2h/3 - y)$ , Dicke $t$ , Fläche $\Delta A = t\,(2h/3 - y)$ . Schwerpunkts-y dieses Stücks: Mittelpunkt zwischen $y$ und $2h/3$ , also $y_{\text{SP}} = (y + 2h/3)/2$ . Damit: $H_z^{(1)}(y) = \Delta A \cdot y_{\text{SP}} = t\,(2h/3 - y)(y + 2h/3)/2 = (t/2)(4h^2/9 - y^2)$ .

$H_z$ in Bereich 1.

$H_z^{(1)}(y) = \frac{t}{2}\left(\frac{4\,h^2}{9} - y^2\right)$
Schritt 2.2: $\tau_{xs}^{(1)}$ in der linken Wand

Wand-Dicke in Bereich 1: $e^{(1)} = t$ (vertikale Wand). Hauptformel mit $K = Q_y/I_z$ : $\tau_{xs}^{(1)}(y) = -Q_y\,H_z^{(1)}/(I_z\,e^{(1)}) = -K\,(t/2)(4h^2/9 - y^2)/t = -(K/2)(4h^2/9 - y^2)$ . Parabolisch in $y$ , null an Faserrändern $y = \pm 2h/3$ , Maximum bei $y = 0$ .

$\tau_{xs}$ in Bereich 1.

$\tau_{xs}^{(1)}(y) = -\frac{K}{2}\left(\frac{4\,h^2}{9} - y^2\right), \qquad K = \frac{Q_y}{I_z}$
Schritt 2.3: $H_z^{(2)}(z)$ im Flansch (Bereich 2)

Schnitt im Flansch bei Position $z$ (relativ zum Symmetrie-Mittelpunkt). Abgeschnittene Teilfläche zur einen Flansch-Seite hin: linke Wand komplett plus Flansch-Stück von $z = -h$ (Wand-Übergang) bis $z$ . Beitrag der linken Wand: $A^{(1)} \cdot y^{(1)}_{\text{SP}} = h\,t \cdot h/6 = h^2\,t/6$ . Beitrag des Flansch-Stücks: Länge $(z - (-h)) = z + h$ , Dicke $t/2$ , Fläche $(z+h)\,t/2$ , Schwerpunkts-y: $y = -h/3$ (Flansch-Höhe). Beitrag: $(z+h)(t/2)(-h/3)$ . Summe: $H_z^{(2)}(z) = h^2\,t/6 + (z+h)(t/2)(-h/3) = h^2\,t/6 - (z+h)\,h\,t/6 = (h^2 - h\,z - h^2)\,t/6 = -h\,t\,z/6$ .

$H_z$ im Flansch.

$H_z^{(2)}(z) = -\frac{h\,t\,z}{6}$
Schritt 2.4: $\tau_{xs}^{(2)}$ im Flansch mit Wand-Dicke $t/2$

Hier liegt der zentrale Faktor-2-Effekt der unterschiedlichen Wand-Dicken. Wand-Dicke in Bereich 2: $e^{(2)} = t/2$ (Flansch ist halb so dick wie die Wände). Hauptformel: $\tau_{xs}^{(2)}(z) = -Q_y\,H_z^{(2)}/(I_z\,e^{(2)}) = -K\,(-h\,t\,z/6)/(t/2) = K\,h\,z/6 \cdot 2/1 = K\,h\,z/3$ . Der Faktor 2 entsteht dadurch, dass im Flansch durch $t/2$ statt $t$ dividiert wird.

$\tau_{xs}$ im Flansch, Faktor-2-Verstärkung.

$\tau_{xs}^{(2)}(z) = -\frac{K \cdot (-h\,t\,z/6)}{t/2} = \frac{K\,h\,z/6}{1/2} = \frac{K\,h\,z}{3}$
Schritt 2.5: $\tau_{xs}^{(3)}$ in der rechten Wand (Symmetrie)

Aus der Spiegelsymmetrie des U-Profils: rechte Wand spiegelbildlich zur linken. Mit angepasster $s$ -Richtung folgt $\tau_{xs}^{(3)} = -\tau_{xs}^{(1)}$ . Schub-Richtung gespiegelt zu Bereich 1.

$\tau_{xs}$ in Bereich 3.

$\tau_{xs}^{(3)}(y) = \frac{K}{2}\left(\frac{4\,h^2}{9} - y^2\right) = -\tau_{xs}^{(1)}(y)$

Formel Bereich 1

\tau_{xs}^{(1)} = -K (4h^2/9 - y^2)/2

Parabolisch im linken Wand.

Formel Bereich 2

\tau_{xs}^{(2)} = K h z/3

Linear im Flansch, ungerade in

z

Merke Pattern $K = Q_y/I_z$
Gemeinsamer Faktor in allen drei Bereichen.

5.13 Schritt 3: $\tau_{\max}$ identifizieren

Maximum aus drei Bereichen

Schritt 3.1: Maximum im Bereich 1

$|\tau_{xs}^{(1)}|$ ist maximal, wo $|4h^2/9 - y^2|$ maximal ist. Im Wertebereich der linken Wand ( $-h/3 \leq y \leq 2h/3$ ) ist die Parabel zwischen $y = -h/3$ (oben am Flansch) und $y = 2h/3$ (unten freier Faserrand). Maximum bei $y = 0$ : $|\tau_{xs}^{(1)}(0)| = K \cdot 4h^2/18 = (2/9)\,K\,h^2$ .

Maximum in Bereich 1.

$|\tau_{xs}^{(1)}|_{\max} = \frac{2\,K\,h^2}{9}\;\text{bei}\;y = 0$
Schritt 3.2: Maximum im Flansch (Bereich 2)

$\tau_{xs}^{(2)}(z) = K\,h\,z/3$ ist linear in $z$ . Im Flansch-Bereich ( $-h \leq z \leq h$ , halbiertes Profil $-h \leq z \leq 0$ links, $0 \leq z \leq h$ rechts; aber tatsächlich nimmt $z$ hier den Wert am Übergang zur Wand an): Maximum bei $|z| = h$ , also $|\tau_{xs}^{(2)}|_{\max} = K\,h^2/3$ .

Maximum im Flansch.

$|\tau_{xs}^{(2)}|_{\max} = \frac{K\,h^2}{3}\;\text{bei}\;|z| = h$
Schritt 3.3: Maximum lokalisieren

Vergleich der beiden Kandidaten: $K\,h^2/3 = (3/9)\,K\,h^2 > (2/9)\,K\,h^2$ . Also liegt das Maximum im Flansch, an den Übergangs-Stellen zu den Wänden ( $z = \pm h$ ).

Endposition.

$|\tau|_{\max} = \frac{K\,h^2}{3}\;\text{bei}\;(z, y) = (\pm h, -h/3)$
Schritt 3.4: Endformel

Mit $K = Q_y/I_z$ rückeinsetzen.

Endwert.

$\boxed{|\tau|_{\max} = \frac{Q_y\,h^2}{3\,I_z}}$

Formel $|\tau|_{\max}$

|\tau|_{\max} = Q_y h^2/(3 I_z)

Üs8-H3-Endresultat.

Merke Position

(z, y) = (\pm h, -h/3)

. Flansch-Wand-Verbindung.

Prüfungstipp Pattern
Bei dünnwandigen Mehrbereichs-Profilen: Maximum an Bereichsübergängen, nicht im Schwerpunkt.

5.14 3D-Visualisierung der Schubspannungen

Vom 2D-Diagramm zum räumlichen Bild. Die bisherigen Figuren in Sec. 3 bis Sec. 5 zeigen $\tau$ als Zahlenwert oder als Pfeil-Verteilung im Querschnitts-Schnittbild. Diese 3D-Animation hebt vier Aspekte hervor, die im 2D-Schnittbild nicht sichtbar sind: woher $\tau$ überhaupt kommt, wie sich Vollquerschnitt und Dünnwand-Profile in der Pfeil-Richtung unterscheiden, und warum bei Holzbalken Längsbruch ein eigenständiger Versagensmechanismus ist.

Vier Modi, ein Cantilever-Beam. Die Animation zeigt einen Kragarm der Länge 1 m mit Tip-Last $Q$ . Über das Modus-Dropdown rechts oben werden vier Pädagogik-Sichten ein- und ausgeblendet, ohne dass die Szene neu aufgebaut wird. Profil-Picker (Rechteck, I-, U-, T-Profil) erlaubt direkten Vergleich Vollquerschnitt gegen Dünnwand. Die ausführliche Modus-Beschreibung steht in der Beschreibung links oben in der Figur.

Beschreibung

3D-Modus benötigt. Diese Figur ist primär dreidimensional. Schalte oben rechts auf 3D, um Cantilever-Beam, Slice-Heraushebung,

\tau

-Pfeil-Felder und horizontale Schnittfläche zu sehen. Die 2D-Ansicht zeigt nur diesen Hinweis-Text.

3D-Visualisierung der Schubspannungen.

Modus 1: Längsgleichgewicht. Cantilever mit $Q$ -Last. Ein dünner Slice zwischen $x$ und $x + dx$ wird optisch herausgehoben. Auf den zwei Stirnflächen sitzen $\sigma_x$ -Vektoren in Strahl-Richtung. Oberhalb des $y$ -Cuts entsteht eine Netto-Längskraft $dN$ , die nur durch $\tau$ auf der horizontalen Innenschnittfläche balanciert werden kann. Hier sieht man unmittelbar: Schub existiert genau weil $\sigma_x$ entlang $x$ variiert.
Modus 2: $\tau$ -Verteilung im Vollquerschnitt. Ein Pfeil-Feld auf der Cross-Section-Face zeigt $\tau_{xy}(y, z)$ farbcodiert. Beim Rechteck ist die Verteilung parabolisch in $y$ , maximal in der Mitte, null an den Faserrändern. Bei dünnwandigen Profilen erscheinen Pfeile nur in den Wänden.
Modus 3: Schubfluss in dünnwandig. Bei I-, U-, T-Profil zeigen Pfeile entlang der Wand-Mittellinie den Schubfluss. Knoten-Marker (lila) heben Verzweigungspunkte hervor, an denen $q_{\mathrm{in}} = q_{\mathrm{out}}$ erfüllt sein muss. Beim Rechteck-Profil ist dieser Modus ausgeblendet (kein dünnwandiges Profil), bitte auf Modus 2 wechseln.
Modus 4: Längsbruch. Eine horizontale Schnittfläche bei $y = y_{\mathrm{cut}}$ liegt über die ganze Beam-Länge. Auf ihr stehen $\tau$ -Pfeile in $x$ -Richtung (Längsrichtung). Beim Rechteck mit $y_{\mathrm{cut}} = 0$ ist diese Fläche maximal gefüllt. Genau hier tritt bei Holzbalken der typische horizontale Faserbruch auf.
Profil-Picker: Rechteck (Vollquerschnitt $b = 10$ cm, $h = 20$ cm), I-, U-, T-Profil (alle dünnwandig, $t = 1.2$ cm bzw. $0.8$ cm).
Aha 1. Schubspannung existiert NUR weil $\sigma_x$ entlang der Stab-Achse variiert ( $dM/dx \neq 0$ ). Bei reiner Biegung ohne $Q$ wäre $\tau = 0$ .
Aha 2. In dünnwandigen Profilen ist der Schubfluss in den Flanschen TANGENTIAL zur Wand (entlang $z$ ), während er in soliden Profilen vertikal (entlang $y$ ) bleibt. Daher die völlig andere Verteilung.
Aha 3. Längsbruch passiert beim Holzbalken, weil $\tau$ entlang horizontaler Faserschicht wirkt. Genau dort ist die Holzfaser-Festigkeit am kleinsten.

Abb. 8: 3D-Visualisierung. Wieso entsteht Schub, wieso unterscheidet sich Voll- gegen Dünnwand-Profil, wieso bricht Holz längs.

Merke Vier Modi
Längsgleichgewicht, τ-Feld, Schubfluss, Längsbruch. Wechsel über Modus-Dropdown.

Formel Schubspannung

\tau_{xy}(y) = -\frac{Q\,H_z(y)}{I_z\,b(y)}

Vollquerschnitt-Hauptformel.

Querverweis Querverweise
→ Sec. 3.1 Längsgleichgewicht-Begründung
→ Sec. 5.2 Hauptformel dünnwandig

Prüfungstipp OrbitControls
Maus drag dreht, Scroll zoomt, Maus rechts panned. Pro Modus die Profile vergleichen.

6.1 Konzept des Schubmittelpunkts

Was ist der Schubmittelpunkt. Der Schubmittelpunkt $SM$ ist der Punkt im Querschnitt, an dem die Querkraft angreifen muss, damit der Stab keine Verdrehung erfährt. Bei symmetrischen Profilen liegt $SM$ auf der Symmetrie-Achse, oft im Schwerpunkt. Bei asymmetrischen Profilen (U-Profil, L-Profil) liegt $SM$ ausserhalb des Profils.

Wann ist das wichtig. Wenn die Querkraft NICHT durch den Schubmittelpunkt angreift, sondern z.B. durch den Schwerpunkt $S$ (mit $S \neq SM$ ), entsteht zusätzlich ein Torsionsmoment $T = Q \cdot d$ (mit $d$ = Abstand $S - SM$ ). Dieses Torsionsmoment führt zu einer Verdrehung des Stabes um seine Längsachse, was strukturell relevant sein kann.

Bei symmetrischen Profilen. Bei einem T-Profil oder einem I-Profil mit zwei Symmetrie-Achsen liegt $SM$ im Schwerpunkt. Eine Querkraft am Schwerpunkt erzeugt keine Torsion. Das ist der Standardfall in einfachen Aufgaben.

Bei asymmetrischen Profilen. Bei einem U-Profil oder L-Profil hat $SM$ einen Versatz vom Schwerpunkt. Beim U-Profil mit Öffnung nach rechts liegt $SM$ links der linken Wand, ausserhalb des Profils. Eine Querkraft am Schwerpunkt $S$ erzeugt dann automatisch ein Torsionsmoment.

Mech-II-Relevanz. Üs8 hat keine Schubmittelpunkts-Aufgabe direkt, aber das Konzept ist wichtig für das Verständnis: bei U-förmigen oder L-förmigen Profilen kann eine vertikale Last am Schwerpunkt zusätzlich Torsion erzeugen, was bei der Spannungs-Analyse berücksichtigt werden muss.

Torsion durch versetzte Querkraft

T_q = Q \cdot d, \qquad d = |\vec{r}_S - \vec{r}_{SM}|

Torsionsmoment gleich Querkraft mal Abstand zwischen Schwerpunkt und Schubmittelpunkt. Null wenn Querkraft am

SM

angreift.

Beschreibung

Schubmittelpunkt-Demo am U-Profil.

U-Profil, Lastangriffspunkt $z_F$ via Slider entlang der $z$ -Achse. Schubmittelpunkt $M$ markiert (liegt für U-Profil ausserhalb des Querschnitts).
Wenn $z_F = z_M$ : reine Biegung, der Stab krümmt sich nur (Verformung nach unten).
Wenn $z_F \neq z_M$ : zusätzliches Torsions-Moment $T = Q \cdot (z_F - z_M)$ entsteht. Der Stab verdreht sich um die Schubmittelpunkt-Achse.
Side-View des Stabs zeigt Verdrehung. Top-View des Querschnitts zeigt Drehrichtung.
Aha: Lastlinie muss durch Schubmittelpunkt verlaufen, sonst koppelt Querkraft mit Torsion. Bei U/L/T-Profilen liegt $M$ nicht im Schwerpunkt.

Lastangriff z_F [cm] 0.0

Q [kN] 10

Abb. 7: Schubmittelpunkt: warum die Lastlinie durch M gehen muss.

Definition Schubmittelpunkt $SM$
Punkt im Querschnitt, an dem Querkraft angreifen muss, damit Stab nicht verdreht.

Formel Torsion bei Versatz

T_q = Q \cdot d

d

= Abstand

S - SM

. Null wenn Q am SM.

Merke Symmetrie-Pattern
Eine Symmetrie-Achse:

SM

darauf. Zwei:

SM

im Schwerpunkt.

Prüfungstipp U-Profil Spezial

SM

ausserhalb des Profils, links der Öffnung.

6.2 Berechnung $\Delta z = T/Q$

Methode. Bei einem dünnwandigen Profil mit Querkraft $Q_y$ am Schwerpunkt: berechne die Schubfluss-Verteilung wie in Sec. 5. Aus der Schubfluss-Verteilung folgt das Torsionsmoment $T_q$ um den Schwerpunkt. Der Versatz $\Delta z$ vom Schwerpunkt zum Schubmittelpunkt: $\Delta z = T_q/Q$ .

Schritt 1: Schubfluss-Verteilung. Aus Sec. 5 ist $q_s(s) = -Q_y\,H_z(s)/I_z$ bekannt für jeden Bereich des Profils.

Schritt 2: Torsionsmoment um Schwerpunkt. $T_q = \sum_i \int q_s^{(i)} \cdot r_i\,ds$ , wobei $r_i$ der senkrechte Abstand der Mittellinie des Bereichs $i$ vom Schwerpunkt ist. Das ist eine integrierte Version des Hebel-Moments.

Schritt 3: Versatz. $\Delta z = T_q/Q_y$ . Das ist die Position des Schubmittelpunkts relativ zum Schwerpunkt entlang der $z$ -Achse (oder allgemein senkrecht zur Richtung der Querkraft).

Beispiel U-Profil. Beim U-Profil mit Öffnung nach rechts, Steg-Höhe $h$ , Flansch-Breite $b_f = 2h$ , alle Wand-Dicke $t$ : die Schwerpunkts-Position vom Steg-Mitte ist $z_S = 4h/5$ (siehe Sec. 2.6-Pattern). Der Schubmittelpunkt liegt bei $z_{SM} = -12h/13$ vom Steg-Mitte (also links vom Steg, ausserhalb des Profils). Daraus $\Delta z = z_{SM} - z_S = -12h/13 - 4h/5 = -112h/65 \approx -1.72\,h$ . Der SM liegt also etwa $1.72\,h$ links vom Schwerpunkt. Eine vertikale Last muss durch diesen Punkt gehen, um Torsion zu vermeiden.

Schubmittelpunkt-Versatz

\Delta z = \frac{T_q}{Q_y}, \qquad T_q = \sum_i \int q_s^{(i)} \cdot r_i\,ds

T_q

ist das Torsionsmoment der Schubfluss-Verteilung um den Schwerpunkt.

r_i

ist der senkrechte Abstand der Mittellinie des Bereichs

i

vom Schwerpunkt.

Formel $\Delta z$

\Delta z = T_q/Q_y

Versatz vom Schwerpunkt.

Merke Aus Schubfluss
Berechnung über Hebel-Moment der Schubfluss-Verteilung.

Prüfungstipp Pattern
Wie Schwerpunkts-Berechnung, mit Schubfluss als Gewicht.

6.3 Beispiel: Schubmittelpunkt für U-Profil

Geometrie. Dünnwandiges U-Profil mit Öffnung nach rechts: ein vertikaler Steg der Höhe $h$ auf der linken Seite, zwei horizontale Flansche der Breite $b_f$ am oberen und unteren Ende des Stegs, alle mit konstanter Wand-Dicke $t$ . Schwerpunkt $S$ liegt auf der horizontalen Symmetrie-Achse (Mitte des Stegs), etwas innerhalb des U-Profils (genauer: bei $z_S = b_f^2/(2\,b_f + h)$ vom linken Steg gemessen).

Pattern aus Symmetrie. Die horizontale Symmetrie-Achse erzwingt $SM$ auf dieser Achse. Wir suchen also nur die $z$ -Koordinate von $SM$ (entlang der horizontalen Symmetrie-Achse).

Schubfluss-Verteilung. Bei vertikaler Querkraft $Q_y$ am Schwerpunkt: im vertikalen Steg parabolischer $\tau_{xs}$ , in den horizontalen Flanschen linearer $\tau_{xs}$ . Beträge folgen aus Sec. 5-Pattern.

Standardformel (Mech-II-Lehrbuch). Für ein dünnwandiges U-Profil mit gleicher Wand-Dicke $t$ , Steg-Höhe $h$ und Flansch-Breite $b_f$ ergibt sich nach Standard-Berechnung der Schubmittelpunkts-Versatz vom Schwerpunkt zur offenen Seite hin: $e_{SM} = 3\,b_f^2/(6\,b_f + h)$ vom Steg-Mitte-Punkt aus, oder äquivalent $|\Delta z| = b_f^2 \cdot h^2 / (4\,I_z)$ in der allgemeinen Form mit $I_z$ als gesamtem Trägheitsmoment des U-Profils.

Lage relativ zum Profil. Der Schubmittelpunkt liegt OUTSEITS des U-Profils auf der OFFENEN Seite (in der Skizze: rechts von der vertikalen Symmetrie-Achse, ausserhalb des U). Eine vertikale Last muss also über einen Hebel ausserhalb des Profils angreifen, um Torsion zu vermeiden.

Merke U-Profil $SM$
Liegt links der linken Wand, ausserhalb des Profils.

Prüfungstipp Konzept genügt
Mech-II-Klausuren fragen selten nach exakter

\Delta z

-Formel.

7.1 Symmetrie-Tricks

Drei Konsequenzen der Symmetrie. Eine Symmetrie-Achse durch den Schwerpunkt ist das mächtigste Werkzeug zur Vereinfachung von Schiefer-Biegung- und Querkraft-Aufgaben. Drei Konsequenzen, die sofort in Anwendung gebracht werden können.

(a) Schwerpunkt liegt auf jeder Symmetrie-Achse. Bei einem T-Profil mit vertikaler Symmetrie-Achse: $z_S = 0$ automatisch (auf der Symmetrie-Achse). Spart die Berechnung der $z$ -Komponente des Schwerpunkts. Bei zwei Symmetrie-Achsen: $S$ ist der Schnittpunkt, also direkt bestimmt.

(b) $C_{yz} = 0$ bei Symmetrie-Achse. Eine Symmetrie-Achse erzwingt das Verschwinden des Deviationsmoments $C_{yz}$ . Konsequenz: Skizzen-Achsen sind Hauptachsen, keine Hauptachsen-Trafo nötig. Spart den ganzen Sec.-2-Schritt.

(c) τ-Verteilung symmetrisch. Bei einer Querkraft entlang einer Symmetrie-Achse erzeugt die Schubspannung-Verteilung ein symmetrisches Profil: $\tau_{xs}(s)$ in einer Wand ist gespiegelt zu $\tau_{xs}(s)$ in der gespiegelten Wand. Das halbiert die Rechnung in symmetrischen Profilen.

Anwendung in der Klausur. Vor jeder Aufgabe einmal das Profil scannen: gibt es Symmetrie-Achsen? Wenn ja: alle drei Konsequenzen anwenden, das spart oft 50% der Rechenarbeit. Bei Profilen ohne Symmetrie (L-Profil, Dreieck) ist die volle Rechnung nötig.

Konsequenz	Was wegfällt	Wie viel Zeit gespart
(a) Schwerpunkt auf Symmetrie-Achse	Eine Komponente der Schwerpunkts-Berechnung	ca. 30%
(b) $C_{yz} = 0$	Die ganze Hauptachsen-Trafo	ca. 50% bei unsymmetrischen Profilen
(c) Symmetrische $\tau$ -Verteilung	Halbe Schubfluss-Berechnung	ca. 30%

Drei Symmetrie-Konsequenzen. Vor jeder Aufgabe identifizieren.

Merke Drei Konsequenzen
(a)

S

auf Achse. (b)

C_{yz} = 0

. (c)

\tau

symmetrisch.

Prüfungstipp Klausur-Schnellscan
Vor Rechnung Symmetrien identifizieren. Mit jedem Treffer Zeit sparen.

7.2 $H_z = 0$ Sanity-Checks

Wiederholung Sec. 3.4. Drei kritische Anchor-Werte: $H_z(\pm y_{\max}) = 0$ am Faserrand. $H_z = 0$ über die ganze Querschnittsfläche. $H_z = 0$ an Symmetrie-Achsen senkrecht zur Querkraft.

Klausur-Strategie für MC-Bilder. Bei MC-Aufgaben mit Schubspannungs-Profil-Bildern (Üs8 H2 a, S2): zuerst die Anchor-Werte prüfen. $\tau$ am Faserrand muss null sein, sonst ist die Antwort sofort auszuschließen. Diese Schnellfilterung eliminiert oft 4 von 8 Antworten.

$\tau_{\max}$ Position. Maximum von $|\tau|$ liegt dort, wo $|H_z(y)|/b(y)$ maximal ist. Bei Vollquerschnitten typisch im Schwerpunkt $y = 0$ . Bei dünnwandigen Profilen mit konstantem $b = e$ wieder im Schwerpunkt (oder am Bereichsübergang, je nach Geometrie).

Cross-Check für Antworten. Wenn die Klausur-Antwort die Form $\tau_{\max} = c \cdot Q\,h^2/I_z$ hat (mit Konstante $c$ ): vergleiche mit Standardwerten. Bei Rechteck-Vollquerschnitt: $c$ entspricht 1.5 mal $Q/A$ also $c = 1.5\,h^2 / I_z \cdot A$ . Für $A = bh$ und $I_z = bh^3/12$ folgt $c = 1.5 \cdot (h^2/(bh^3/12)) \cdot (bh)^{-1} = ...$ Hier passt's, aber genau prüfen.

Anchor	Wert	Klausur-Anwendung
Faserrand $y = \pm y_{\max}$	$\tau = 0$	Antworten mit $\tau \neq 0$ am Rand ausschließen
Schwerpunkt $y = 0$	$\tau$ Maximum (oft)	Antwort-Form-Kontrolle
Symmetrie-Achse $\perp Q$	$\tau = 0$ aus Symmetrie	Erwartete Bild-Symmetrie

Anchor-Werte und ihre Konsequenzen für die Antwort-Auswahl.

Merke Drei Anchor

\tau(y_{\max}) = 0

, max bei

y = 0

, Symmetrie-Achse

\perp Q

liefert

\tau = 0

Prüfungstipp MC-Filter
Antworten mit

\tau \neq 0

am Faserrand ausschliessen. Spart Zeit.

7.3 Vorzeichen aus Skizze

Pfeil-Richtungen aus dem Bild. In Mech-II-Klausur-Aufgaben gibt das Bild meist die Last-Richtungen, Achsen-Konventionen, und Beobachtungs-Positionen vor. Vorzeichen folgen direkt aus diesem Bild, wenn man sauber identifiziert.

(a) Vorzeichen von $Q_y$ . Bild zeigt Querkraft-Pfeil. Wenn Pfeil nach unten zeigt und $y$ -Achse nach unten zeigt: $Q_y > 0$ . Wenn $y$ -Achse nach oben zeigt: $Q_y < 0$ trotz Pfeil nach unten. Skizze prüfen.

(b) Vorzeichen von $M_z$ . Aus dem Schnittmoment am Stab in der Standard-Konvention. Bei Last nach unten am Cantilever-Endbereich: Stab biegt nach unten durch, obere Faser unter Zug. In Mech-II: $M_z < 0$ (negative Faserseite oben unter Zug heißt $\sigma_x = -M_z\,y/I_z$ mit $y < 0$ und $\sigma_x > 0$ , also $M_z < 0$ ).

(c) Drehrichtung von $M_y$ . Bei einem schrägen Last (z.B. Üs8 H1) wird $M_y$ um die $y$ -Achse gemessen. Drehung CCW um $y$ ist positives $M_y$ . In Mech-II-Konvention erzeugt $M_y > 0$ Zug auf der Faserseite mit $z > 0$ .

(d) Schubfluss-Richtung. In Wänden parallel zu $Q$ : Schub in Richtung $Q$ . In Wänden senkrecht zu $Q$ (Flansche): Schub von einer Seite zur anderen, mit Vorzeichen aus der Bilanz. Pattern für T-Profil: Steg-Schub nach unten, Flansch-Schub von der Mitte zu den Wänden hin.

Klausur-Praxis. Vor jeder Rechnung das Bild mit allen relevanten Pfeilen versehen: Last-Richtungen, Achsen-Pfeile, erwartete Schub-Richtungen in Wänden. Die intuitiven Pfeile geben die Vorzeichen vor und helfen Rechen-Fehler aufzudecken.

Merke Bild prüfen
Pfeile, Achsen-Richtung, erwartete Faser-Spannung.

Prüfungstipp Bild als Schiedsrichter
Bei Konflikt mit Formel: Bild gewinnt. Vorzeichen-Konvention prüfen.

7.4 Standard-Resultate auswendig

Auswendige Werte. Für die Klausur sind einige Standard-Werte als Anchor-Wissen Pflicht. Sie tauchen direkt in MC-Antworten auf oder dienen als Cross-Check für eigene Rechnungen.

Größe	Wert	Verwendung
$I_z$ Rechteck $b \times h$	$b\,h^3/12$	Standard-Trägheitsmoment
$I_z$ Kreis Radius $R$	$\pi\,R^4/4$	Vollkreis
$I_z$ Dreieck Schwerpunkts-Achsen	$b\,h^3/36$	rechtwinkliges Dreieck
$\tau_{\max}$ Rechteck Vollquerschnitt	$1.5\,Q/A$	in der Mitte
$\tau_{\max}$ Kreis Vollquerschnitt	$4\,Q/(3\,A)$	in der Mitte
$\|M_{z,\max}\|$ einfacher Balken Streckenlast	$q\,L^2/8$	in Mitte
$v_{\max}$ Cantilever Endlast $F$	$F\,L^3/(3\,E\,I_z)$	am freien Ende
Schwerpunkt rechtwinkliges Dreieck	$(b/3, h/3)$ vom Eckpunkt	Standardform

Auswendige Standard-Werte für Mech-II-Klausuren. Pflicht-Wissen vor jeder Klausur.

Merke Pflicht-Werte

bh^3/12

\pi R^4/4

1.5 Q/A

qL^2/8

. Auswendig wissen.

Prüfungstipp Sanity-Maßstab
Eigene Rechnung gegen Standard-Werte abgleichen. Diskrepanz

> 10\times

: Fehler.

7.5 Klausur-Strategie für $\sigma_x$ und $\tau$ -Aufgaben

Vorgehen-Pattern. Bei jeder Schiefe-Biegung- oder Querkraft-Aufgabe die folgende systematische Reihenfolge: (1) Aufgabe lesen und Bild zeichnen, (2) Symmetrien identifizieren, (3) Hauptachsen-Trafo wenn nötig, (4) Schnittmomente und Querkräfte aus Statik, (5) Spannungs- bzw. Schubspannungs-Formel anwenden, (6) Maximum oder spezifischen Punkt auswerten.

Häufige Fallen. Vergessen, dass $C_{yz} \neq 0$ bei unsymmetrischen Profilen. Vergessen, $b(y)$ an der Schnittstelle zu nehmen statt am Schwerpunkt der Teilfläche. Vorzeichen-Verwechslung bei der Last-Zerlegung in $y$ - und $z$ -Komponenten. Falsche Wahl Vollquerschnitt vs. dünnwandig.

Zeitmanagement. Bei MC-Aufgaben (~ 1-2 Minuten pro Aufgabe in einer 60-Minuten-Klausur): erst die Symmetrie-Schnellfilter anwenden, um Antworten auszuschließen. Dann die quantitative Rechnung nur für die übrigen Antworten. Wer sofort in lange Rechnungen einsteigt, verliert oft Zeit.

Cross-Checks vor Antwort. Vor dem Markieren der Antwort: (a) Faserrand-Wert ist null, (b) Symmetrie der Verteilung passt zum Profil, (c) Größenordnung passt zu Standard-Anchor-Werten, (d) Vorzeichen passt zur Last-Richtung. Vier Schritt-Checks in unter einer Minute.

Wenn die Aufgabe zu komplex wirkt. Manchmal sind Klausur-Aufgaben mit langen Beschreibungen schreckhaft, aber die Lösung ist Standard. Erst die Klausur-Aufgabe in das Pattern aus Sec. 1.5 (Üs8 H1) oder Sec. 5.7 (Üs8 H2) einordnen. Dann die schon bekannten Schritte ausführen.

Schritt	Aktion
1	Aufgabe lesen, Bild zeichnen mit Achsen und Last-Pfeilen
2	Symmetrien identifizieren (a, b, c aus Sec. 7.1)
3	Hauptachsen-Trafo wenn nötig (sonst überspringen)
4	Schnittmomente $N, M_y, M_z, Q_y$ aus Statik
5	Spannungs-/Schubspannungs-Formel anwenden
6	Maximum oder spezifischen Punkt auswerten, Cross-Checks

Sechs-Schritte-Pattern für jede Klausur-Aufgabe.

Merke Sechs Schritte
Bild, Symmetrien, Trafo, Statik, Formel, Auswertung. Universelles Pattern.

Prüfungstipp Cross-Checks
Faserrand 0, Symmetrie passt, Größenordnung, Vorzeichen. Vor jeder Antwort.

Querverweis Übungs-Klausuren
→ s99 Aufgaben FS22, FS24, FS25

Aufgaben mit Musterlösungen

Vier Multiple-Choice-Aufgaben aus Klausur FS22 und FS24. Themen: Trägheitsmoment am V-Profil (FS24 D1), dünnwandige Schubspannung am Hat-Profil mit Vorzeichen-Trick (FS24 D3), Trägheitsmoment am asymmetrischen T-Profil (FS22 D2), Querkraft-Schub am asymmetrischen T-Profil (FS22 D3). Aufgaben 1:1 aus den Klausuren. Markiere deine Antwort, klick Lösung prüfen, dann erscheint der vollständige Lösungsweg, Schritt für Schritt mit Skizze, Formel und Falle.

Aufgabe 1

Aus Klausur FS24, Frage D1. Gegeben sei ein aus zwei gleichen Rechtecken zusammengesetzter Querschnitt (V-Form, beide Rechtecke unter 45° zur Horizontalen). Das maximale Flächenträgheitsmoment

I_1

und das minimale Flächenträgheitsmoment

I_2

eines einzelnen Rechtecks sind bekannt. Berechne

I_z = \int_A y^2\,dA

für den dargestellten zusammengesetzten Querschnitt. Die

z

- und

y

-Achsen gehen durch den gemeinsamen Schwerpunkt

S

I_z = 2\,I_1 + 2\,I_2

I_z = \tfrac{1}{2}\,I_1 + \tfrac{1}{2}\,I_2

I_z = I_1 + I_2

I_z = I_1 + 2\,I_2

I_z = \sqrt{2}\,I_1 + \sqrt{2}\,I_2

I_z = 2\,I_1 + I_2

I_z = 2\,I_1 + \sqrt{2}\,I_2

I_z = \tfrac{1}{4}\,I_1 + \tfrac{1}{4}\,I_2

Lösungsweg

Schritt 1: Pattern erkennen, beide Rechtecke unter 45°

Jedes Rechteck steht unter 45° zur globalen $z$ -Achse. Aus Sec. 2.2: Wenn ein Profil im eigenen Hauptachsensystem Trägheitsmomente $I_1$ (Maximum) und $I_2$ (Minimum) hat, dann sind die Trägheitsmomente in einem um Winkel $\theta$ gedrehten Koordinatensystem $I_z' = I_1 \cos^2\theta + I_2 \sin^2\theta$ und entsprechend für $I_y'$ .

Trafo-Formel.

$I_z' = I_1\,\cos^2\theta + I_2\,\sin^2\theta$
Schritt 2: Bei θ = 45°

Mit $\cos^2(45°) = \sin^2(45°) = 1/2$ : $I_z'$ für jedes einzelne Rechteck im globalen Koordinatensystem: $I_z' = (I_1 + I_2)/2$ .

Trägheitsmoment eines Rechtecks im globalen Koordinatensystem.

$I_z'^{(1)} = I_z'^{(2)} = \frac{I_1 + I_2}{2}$
Schritt 3: Beide Rechtecke kreuzen am Schwerpunkt

Aus dem Bild: beide Rechtecke kreuzen am gemeinsamen Schwerpunkt $S$ . Daher kein Steiner-Anteil (Schwerpunkts-Versatz $d = 0$ ). Total: einfach Summe der zwei einzelnen Beiträge.

Steiner-Term verschwindet.

$I_z = I_z'^{(1)} + I_z'^{(2)} = 2 \cdot \frac{I_1 + I_2}{2}$
Schritt 4: Antwort identifizieren

Vereinfachen: $I_z = I_1 + I_2$ . Vergleich mit den 8 Optionen liefert Antwort C.

Antwort C.

$\boxed{\,I_z = I_1 + I_2\,}$
Falle: Steiner-Anteil bei nicht-kreuzenden Rechtecken

Wenn die Rechtecke NICHT am Schwerpunkt kreuzen (z.B. wenn sie an ihren Enden zusammenstossen), wäre ein Steiner-Term nötig: $I_z = 2 \cdot [(I_1+I_2)/2 + A_i \cdot d_i^2]$ . Das ergibt eine andere Antwort. Die FS24-Skizze zeigt jedoch zwei sich kreuzende Rechtecke, daher Antwort C.

Geometrie-Voraussetzung.

$\text{Wenn Schwerpunkts-Versatz}\;d \neq 0:\;I_z = (I_1 + I_2) + 2\,A\,d^2$

Aufgabe 2

Aus Klausur FS24, Frage D3. Gegeben sei der dargestellte dünnwandige Querschnitt mit konstanter Wand-Dicke

t

. Eine Querkraft

Q_y > 0

greift am Schwerpunkt

S

an. Punkt

P

liegt am inneren Eck-Punkt des oberen-linken Flansches: dort wo der horizontale obere-linke Flansch in die linke Innenwand übergeht, also bei

(z, y) = (-a, -a)

. Der obere Flansch endet rechts von

P

bei einem freien Schlitz, in horizontaler Distanz

a/2

. Bestimme die Schubspannung

\tau_{xz}^P

. Hinweis:

I_z

darf als bekannt angenommen werden.

\tau_{xz}^P = \dfrac{7}{2}\dfrac{Q_y}{I_z}\,a^2

\tau_{xz}^P = -\dfrac{3}{4}\dfrac{Q_y}{I_z}\,a^2

\tau_{xz}^P = -\dfrac{1}{4}\dfrac{Q_y}{I_z}\,a^2

\tau_{xz}^P = \dfrac{1}{2}\dfrac{Q_y}{I_z}\,a^2

\tau_{xz}^P = -\dfrac{2}{3}\dfrac{Q_y}{I_z}\,a^2

\tau_{xz}^P = -\dfrac{1}{2}\dfrac{Q_y}{I_z}\,a^2

\tau_{xz}^P = -\dfrac{1}{6}\dfrac{Q_y}{I_z}\,a^2

\tau_{xz}^P = \dfrac{3}{2}\dfrac{Q_y}{I_z}\,a^2

Lösungsweg

Schritt 1: P liegt am oberen-linken Eck-Punkt

Aus der Skizze: $P$ sitzt dort, wo der horizontale obere-linke Flansch auf die linke vertikale Innenwand trifft. Koordinaten relativ zum Schwerpunkt $S$ : $(z, y) = (-a, -a)$ , also $a$ oberhalb von $S$ (Mech-II-Konvention: $y$ nach unten positiv). Der obere Flansch endet rechts von $P$ bei einem freien Schlitz in der Mitte, in horizontaler Distanz $a/2$ .

P am Eck. Freier Rand bei $z = -a/2$ , also Flansch-Streifen $a/2$ lang von P bis Rand.

$P : (z, y) = (-a, -a), \qquad \text{freier Rand bei } z = -\tfrac{a}{2}$
Schritt 2: Teilstück abgrenzen

Cut durch $P$ , Pfad zum nächsten freien Rand wählen. Kürzester Pfad: der obere-linke Flansch von $P$ bis zum Schlitz, Länge $a/2$ , Wand-Dicke $t$ , alles auf konstanter Höhe $y = -a$ . Damit lassen sich Teilfläche $\Delta A$ und ihr Schwerpunkts-y direkt ablesen, ohne Integral.

Teilstück ist EIN horizontaler Streifen, $a/2$ lang, auf $y = -a$ .

$\Delta A = \frac{a}{2}\cdot t, \qquad y_{\text{SP}} = -a$
Schritt 3: Statisches Moment $H_z(P)$

Methode (b) aus Sec. 3.2: $H_z = \Delta A \cdot y_{\text{SP}}$ , eine Multiplikation, kein Integral, weil das Teilstück nur EIN Rechteck mit konstantem $y$ ist. Vorzeichen folgt aus $y_{\text{SP}} = -a$ (negativ, weil $P$ oberhalb von $S$ liegt).

Eine Multiplikation. Vorzeichen aus $y_{\text{SP}}$ .

$H_z(P) = \frac{a\,t}{2}\cdot(-a) = -\frac{a^2\,t}{2}$
Schritt 4: $\tau_{xs}$ aus der Hauptformel

Hauptformel dünnwandig (Sec. 5.2): $\tau_{xs} = -Q_y\,H_z/(I_z\,t)$ . Einsetzen von $H_z = -a^2t/2$ : das Minus-Zeichen vor $Q_y$ und das Minus-Zeichen aus $H_z$ heben sich gegenseitig auf, also $\tau_{xs}^P > 0$ . Die Wand-Dicke $t$ kürzt sich heraus, weil $\Delta A$ bereits $t$ enthält.

Einsetzen, beide Vorzeichen kippen, $t$ kürzt.

$\tau_{xs}^P = -\frac{Q_y\cdot(-a^2t/2)}{I_z\cdot t} = +\frac{1}{2}\,\frac{Q_y\,a^2}{I_z}$
Schritt 5: Wechsel von $\tau_{xs}$ auf $\tau_{xz}$

Gefragt ist $\tau_{xz}$ , NICHT $\tau_{xs}$ . Beide messen denselben Schub, aber in unterschiedlichen Richtungen: $\tau_{xs}$ entlang der lokalen Profil-Tangente $s$ , $\tau_{xz}$ entlang der globalen $z$ -Achse. Konvention für $s$ : startet am freien Rand (Schlitz bei $z = -a/2$ ) und läuft entlang der Mittellinie. Damit zeigt $+s$ am Punkt $P$ vom Schlitz nach links zu $P$ , also in die NEGATIVE $z$ -Richtung. Vorzeichen kippt: $\tau_{xz}^P = -\tau_{xs}^P$ .

Lokale $+s$ -Achse zeigt am Punkt P in $-z$ . Vorzeichen flip.

$\boxed{\,\tau_{xz}^P = -\frac{1}{2}\,\frac{Q_y\,a^2}{I_z}\,}$
Schritt 6: Antwort F identifizieren, Fallen abklopfen

Vergleich mit den 8 MC-Optionen liefert Antwort F ( $-\tfrac{1}{2}\,Q_y\,a^2/I_z$ ). Klassische Fallen: Antwort D mit POSITIVEM Vorzeichen ist genau $\tau_{xs}^P$ statt $\tau_{xz}^P$ , also Schritt 5 vergessen. Antwort C ( $\pm 1/4$ ) entsteht, wenn jemand $y_{\text{SP}} = -a/2$ statt $-a$ einsetzt (Mittelpunkt einer anderen Wand mit dem Wert für unseren Streifen verwechselt).

F. Falle: D (Vorzeichen-Flip vergessen), C (falsches $y_{\text{SP}}$ ).

$\tau_{xz}^P = -\frac{1}{2}\,\frac{Q_y\,a^2}{I_z} \;\Longrightarrow\; \text{Antwort F}$

Aufgabe 3

Aus Klausur FS22, Frage D2. Dünnwandiger Querschnitt mit zwei oberen Stützen (jede Höhe

a

, Wand-Dicke

t_1 = t

, bei

z = \pm a/2

), einem horizontalen Querstrich und einem unteren vertikalen Steg (Höhe

a

, Wand-Dicke

t_2 = 2\,t

). Schwerpunkts-Position

\eta_s = a

vom oberen Faserrand (also auf der Querstrich-Höhe). Bestimme das Flächenträgheitsmoment

I_z = \int_A y^2\,dA

Lösungsweg

Schritt 1: Vier Teilflächen identifizieren

Vier rechteckige Wand-Stücke: zwei obere Stützen, ein Querstrich, ein unterer Steg. Pro Stück: Fläche, Schwerpunkts-Position relativ zur globalen $z$ -Achse (durch Schwerpunkt $S$ bei $\eta = a$ ), eigenes Trägheitsmoment.

Bereiche aufzählen.

$\text{4 Teilflächen: 2 Stützen, 1 Querstrich, 1 Steg}$
Schritt 2: Obere Stützen (linke und rechte)

Jede Stütze: Höhe $a$ , Dicke $t$ . Fläche $A_1 = a\,t$ . Schwerpunkts- $y$ relativ zu $S$ (mit $S$ auf Querstrich-Höhe): Stütze erstreckt sich oberhalb von $S$ , von $y = -a$ (oberer Faserrand) bis $y = 0$ (Querstrich), Mittelpunkt bei $y = -a/2$ . Eigenes Trägheitsmoment um eigene horizontale Mittelachse: $I_{1,\text{eigen}} = t\,a^3/12$ . Steiner: $I_{1,\text{global}} = t\,a^3/12 + a\,t \cdot (a/2)^2 = t\,a^3/12 + t\,a^3/4 = t\,a^3/3$ .

Beitrag pro obere Stütze.

$I_z^{(1)} = I_z^{(2)} = \frac{t\,a^3}{12} + a\,t \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{t\,a^3}{3}$
Schritt 3: Querstrich

Horizontal liegender Stab bei $y = 0$ (Querstrich auf Höhe der globalen $z$ -Achse). Schwerpunkts-Versatz $d = 0$ . Eigenes Trägheitsmoment um seine eigene horizontale Mittelachse: $I_{q,\text{eigen}} = a \cdot t^3/12 \approx 0$ (vernachlässigbar bei $t \ll a$ ). Steiner-Beitrag null. Gesamtbeitrag: vernachlässigbar.

Querstrich-Beitrag null.

$I_z^{(\text{Querstrich})} = a\,\frac{t^3}{12} + 0 \approx 0$
Schritt 4: Unterer Steg

Höhe $a$ , Dicke $2t$ . Fläche $A_3 = 2\,a\,t$ . Erstreckt sich von $y = 0$ bis $y = a$ (unter Querstrich), Mittelpunkt bei $y = a/2$ . Eigenes Trägheitsmoment: $I_{3,\text{eigen}} = 2t \cdot a^3/12 = t\,a^3/6$ . Steiner: $I_{3,\text{global}} = t\,a^3/6 + 2\,a\,t \cdot (a/2)^2 = t\,a^3/6 + t\,a^3/2 = (1 + 3)\,t\,a^3/6 = 2\,t\,a^3/3$ .

Steg-Beitrag.

$I_z^{(\text{Steg})} = \frac{t\,a^3}{6} + 2\,a\,t \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{2\,t\,a^3}{3}$
Schritt 5: Summe

$I_z = 2 \cdot t\,a^3/3 + 0 + 2\,t\,a^3/3 = (2 + 2)\,t\,a^3/3 = 4\,t\,a^3/3$ .

Endresultat.

$\boxed{\,I_z = \frac{4\,t\,a^3}{3}\,}$
Schritt 6: Antwort identifizieren

Vergleich mit den 8 Optionen liefert Antwort H. Distraktoren: Antwort F ( $5/3\,ta^3$ ) entsteht, wenn man fälschlich noch einen weiteren Beitrag dazuzählt (z.B. den Querstrich nicht vernachlässigt mit anderer Geometrie). Antwort A ( $2/3\,ta^3$ ) entsteht durch Vergessen des Steiner-Anteils.

Antwort H.

$I_z = \frac{4}{3}\,t\,a^3$

Aufgabe 4

Aus Klausur FS22, Frage D3. Gleicher dünnwandiger Querschnitt wie ex3 (asymmetrisches T-Profil mit zwei oberen Stützen

h \times t_1 = t

, horizontalem Querstrich der Breite

2a

und unterem Steg

a \times t_2 = 2t

). Eine vertikale Querkraft

Q_y > 0

wirkt am Schwerpunkt. Bestimme die Schubspannung

\tau_{xz}^P

am Punkt

P

, der auf dem Querstrich zwischen der linken Stütze und dem unteren Steg liegt (also bei

z \in (-a/2, 0)

y = 0

auf der

z

-Achse).

I_z

kann als bekannt angenommen werden.

\tau_{xz}^P = a^2\,\dfrac{Q_y}{I_z}

\tau_{xz}^P = \dfrac{3}{4}\,a^2\,\dfrac{Q_y}{I_z}

\tau_{xz}^P = \dfrac{1}{4}\,a^2\,\dfrac{Q_y}{I_z}

\tau_{xz}^P = \dfrac{3}{2}\,a^2\,\dfrac{Q_y}{I_z}

\tau_{xz}^P = \dfrac{1}{6}\,a^2\,\dfrac{Q_y}{I_z}

\tau_{xz}^P = 2\,a^2\,\dfrac{Q_y}{I_z}

\tau_{xz}^P = \dfrac{5}{6}\,a^2\,\dfrac{Q_y}{I_z}

\tau_{xz}^P = \dfrac{1}{2}\,a^2\,\dfrac{Q_y}{I_z}

Lösungsweg

Schritt 1: Geometrie und Hauptformel

Punkt $P$ liegt im horizontalen Querstrich, also in einer waagerechten Wand. In waagerechten Wänden flieβt die Schubspannung in $z$ -Richtung, also haben wir es mit $\tau_{xz}$ zu tun. Hauptformel für dünnwandig: $\tau_{xz}^P = -Q_y\,H_z(P)/(I_z\,e)$ mit $e = t_1 = t$ (Querstrich-Dicke).

Setup.

$\tau_{xz}^P = -\frac{Q_y\,H_z(P)}{I_z\,t}$
Schritt 2: Abgeschnittene Teilfläche links von $P$

Schnitt am Punkt $P$ auf dem Querstrich (zwischen linker Stütze und Mitte). Wir wählen die Teilfläche LINKS vom Schnitt: die linke Hälfte des Querstrichs (von $z = -a$ bis $P$ ) plus die linke obere Stütze (bei $z = -a/2$ , oberhalb des Querstrichs). Beiträge zu $H_z = \sum \Delta A_i \cdot y_{\text{SP},i}$ :

Zwei Beiträge auflisten.

$\Delta A^{\text{Querstrich}} \cdot y_{\text{SP}}^{\text{Querstrich}} + \Delta A^{\text{Stütze}} \cdot y_{\text{SP}}^{\text{Stütze}}$
Schritt 3: Querstrich-Beitrag

Der Querstrich liegt komplett auf der $z$ -Achse, also $y = 0$ entlang seiner ganzen Länge. Sein Schwerpunkts-y-Wert ist $y_{\text{SP}}^{\text{Querstrich}} = 0$ . Damit fällt der Querstrich-Beitrag zu $H_z$ weg.

Querstrich-Beitrag null.

$\Delta A^{\text{Querstrich}} \cdot y_{\text{SP}}^{\text{Querstrich}} = \Delta A \cdot 0 = 0$
Schritt 4: Linke Stütze-Beitrag

Die linke Stütze ist eine vertikale Wand bei $z = -a/2$ , von $y = -a$ (oberer Faserrand) bis $y = 0$ (Querstrich). Mittellinien-Länge $a$ , Dicke $t_1 = t$ , Fläche $\Delta A^{\text{Stütze}} = a\,t$ . Schwerpunkts-y der Stütze: Mittelpunkt zwischen $-a$ und $0$ , also $y_{\text{SP}}^{\text{Stütze}} = -a/2$ .

Stütze-Beitrag.

$\Delta A^{\text{Stütze}} \cdot y_{\text{SP}}^{\text{Stütze}} = a\,t \cdot (-a/2) = -\frac{a^2\,t}{2}$
Schritt 5: $H_z(P)$ und $\tau_{xz}^P$

Summe der zwei Beiträge: $H_z(P) = 0 + (-a^2\,t/2) = -a^2\,t/2$ . Einsetzen in die Hauptformel: $\tau_{xz}^P = -Q_y \cdot (-a^2\,t/2)/(I_z\,t) = Q_y\,a^2/(2\,I_z)$ . Wand-Dicke $t$ kürzt sich.

Endformel.

$\boxed{\,\tau_{xz}^P = \frac{1}{2}\,a^2\,\frac{Q_y}{I_z}\,}$
Schritt 6: Antwort identifizieren

Vergleich mit den 8 Optionen liefert Antwort H. Distraktoren: Antwort A ( $a^2 Q/I_z$ ) entsteht, wenn der Faktor $1/2$ aus dem Schwerpunkt $y_{\text{SP}} = -a/2$ vergessen wird. Antwort C ( $a^2/4$ ) bei zusätzlichem Faktor-2-Fehler. Antwort E ( $a^2/6$ ) entsteht, wenn fälschlich auch der untere Steg in die abgeschnittene Teilfläche aufgenommen wird (was nur korrekt wäre, wenn $P$ rechts vom Steg-Querstrich-Übergang läge).

Antwort H.

$\tau_{xz}^P = \frac{a^2\,Q_y}{2\,I_z}$

MerkeErst selbst rechnen, dann Lösung prüfen!

8. Schiefe Biegung, Querkraft

1.1 Was bedeutet schief: zwei Bedeutungen

1.2 Vollständige Hauptformel mit zwei Biegeachsen

1.3 Spannungsformel im Nicht-Hauptachsen-Koordinatensystem

1.4 Vorzeichen-Konventionen und Cross-Checks

1.5 Beispiel: Kragarm Rechteck mit schiefer Last (Üs8 H1)

1.6 Schritt 1: Last-Zerlegung und Schnittmomente

Lösungsweg in 4 Schritten

1.7 Schritt 2: Spannungsverteilung am Einspannungs-Querschnitt

Spannung als Funktion von y, z

1.8 Schritt 3: Maximum lokalisieren und auswerten

Vorzeichen-Spiel an den vier Ecken

1.9 Schritt 4: Maximal zulässige Last Fmax⁡F_{\max}Fmax​

Bedingung σmax⁡≤σzul\sigma_{\max} \leq \sigma_{\text{zul}}σmax​≤σzul​

2.1 Wann brauche ich Hauptachsen

2.2 I-Tensor als symmetrische 2×2-Matrix

2.3 Mohr-Kreis für den I-Tensor

2.4 Voller Pfad zu I1I_1I1​, I2I_2I2​, θ\thetaθ

2.5 Beispiel: Rechtwinkliges Dreieck (Üs8 Wiederholung)

2.6 Schritt 1+2: Trägheitsmomente im Hilfskoordinatensystem und Steiner-Übertragung

Aus Hilfskoordinatensystem in Schwerpunkts-Koordinatensystem

2.7 Schritt 3+4: Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen-Winkel

I1I_1I1​, I2I_2I2​ und θ\thetaθ für h/b=2h/b = 2h/b=2

3.1 Wieso erzeugt Querkraft Schubspannung

3.2 Statisches Moment HzH_zHz​: Definition

3.3 Vier Methoden zur HzH_zHz​-Berechnung

3.4 Wann ist Hz=0H_z = 0Hz​=0

3.5 Vorzeichen von HzH_zHz​ und τ\tauτ

4.1 Hauptformel im Vollquerschnitt

4.2 b(y) für verschiedene Vollquerschnitte

4.3 Profilform der Schubspannung im Rechteck

4.4 Maximum τ\tauτ und kritische Stelle

4.5 Beispiel: Rechteck-Vollquerschnitt mit Q

Standard-Rechnung in 4 Schritten

4.6 Schritt-für-Schritt: Berechnung an Standard-Profilen

5.1 Was bedeutet dünnwandig: sss, η\etaη, yyy

5.2 Hauptformel τxs\tau_{xs}τxs​ für dünnwandig

5.3 Was bedeutet e(s)

5.4 Wann τxs\tau_{xs}τxs​ vs. τxy\tau_{xy}τxy​: dick vs. dünnwandig

5.5 Hz(s)H_z(s)Hz​(s) entlang der Mittellinie

5.6 Vorzeichen-Konventionen mit s

5.7 Beispiel: T-Profil dünnwandig (Üs8 H2)

5.8 Schritt 1: Hz(y)H_z(y)Hz​(y) im Steg berechnen

Methode (b): ΔA⋅ySP\Delta A \cdot y_{\text{SP}}ΔA⋅ySP​

5.9 Schritt 2: τxy\tau_{xy}τxy​ aus Hauptformel

Schubspannung im Steg

5.10 Beispiel: U-Profil dünnwandig (Üs8 H3)

5.11 Schritt 1: Drei Teilflächen identifizieren und Schwerpunkt

Geometrische Vorbereitung

5.12 Schritt 2: Hz(s)H_z(s)Hz​(s) und τxs\tau_{xs}τxs​ pro Bereich

Drei Bereiche, drei Formeln

5.13 Schritt 3: τmax⁡\tau_{\max}τmax​ identifizieren

Maximum aus drei Bereichen

5.14 3D-Visualisierung der Schubspannungen

6.1 Konzept des Schubmittelpunkts

6.2 Berechnung Δz=T/Q\Delta z = T/QΔz=T/Q

6.3 Beispiel: Schubmittelpunkt für U-Profil

7.1 Symmetrie-Tricks

7.2 Hz=0H_z = 0Hz​=0 Sanity-Checks

7.3 Vorzeichen aus Skizze

7.4 Standard-Resultate auswendig

7.5 Klausur-Strategie für σx\sigma_xσx​ und τ\tauτ-Aufgaben

Aufgaben mit Musterlösungen

Aufgabe 1

Lösungsweg

1.9 Schritt 4: Maximal zulässige Last $F_{\max}$

Bedingung $\sigma_{\max} \leq \sigma_{\text{zul}}$

2.4 Voller Pfad zu $I_1$ , $I_2$ , $\theta$

$I_1$ , $I_2$ und $\theta$ für $h/b = 2$

3.2 Statisches Moment $H_z$ : Definition

3.3 Vier Methoden zur $H_z$ -Berechnung

3.4 Wann ist $H_z = 0$

3.5 Vorzeichen von $H_z$ und $\tau$

4.4 Maximum $\tau$ und kritische Stelle

5.1 Was bedeutet dünnwandig: $s$ , $\eta$ , $y$

5.2 Hauptformel $\tau_{xs}$ für dünnwandig

5.4 Wann $\tau_{xs}$ vs. $\tau_{xy}$ : dick vs. dünnwandig

5.5 $H_z(s)$ entlang der Mittellinie

5.8 Schritt 1: $H_z(y)$ im Steg berechnen

Methode (b): $\Delta A \cdot y_{\text{SP}}$

5.9 Schritt 2: $\tau_{xy}$ aus Hauptformel

5.12 Schritt 2: $H_z(s)$ und $\tau_{xs}$ pro Bereich

5.13 Schritt 3: $\tau_{\max}$ identifizieren

6.2 Berechnung $\Delta z = T/Q$

7.2 $H_z = 0$ Sanity-Checks

7.5 Klausur-Strategie für $\sigma_x$ und $\tau$ -Aufgaben