6. Spezielle Biegung

Kapitel 5 hat das 1D-Hookesche Gesetz $\sigma = E\,\varepsilon$ und die Längenänderung $\Delta l = N\,l_0/(EA)$ eines Stabes geliefert. Kapitel 6 nutzt das, um die Verschiebung eines Punktes in einer Tragstruktur zu berechnen, wenn die Struktur aus starren und elastischen Komponenten besteht.

Klassisches Pattern. Ein starrer Balken oder Träger wird durch elastische Komponenten (Stäbe, Drähte, Pendelstützen, Federn) gehalten. Eine äussere Last erzeugt Schnittkräfte in den elastischen Komponenten. Diese verlängern oder verkürzen sich gemäss Hooke. Die geometrische Verschiebung des Lastangriffspunkts folgt aus der Verlängerung der Komponenten plus der Geometrie der Anordnung (Strahlensatz, Trigonometrie, Kleinwinkel-Näherung).

Wichtig. Die Eigenverformung des starren Teils ist null per Annahme. Wenn ein Aufgabentext sagt starrer Balken oder $(EA)_{BC} = \infty$ im Bereich $B$-$C$, ist die Längenänderung dieses Teils null und seine Bewegung ausschliesslich Starrkörper-Bewegung (Translation plus Rotation um einen Lagerpunkt).

Standard-Vorgehen für jede Tragwerk-Verformungs-Aufgabe.

Schritt 1: Statik. Freischnitt der starren Komponente. Gleichgewichts-Bedingungen $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum M_A = 0$ aufstellen. Stab- oder Drahtkräfte $N_i$ bestimmen.

Schritt 2: Hooke 1D pro Komponente. $\Delta l_i = N_i\,l_{0,i}/(E_i\,A_i)$. Vorzeichen-Konvention konsistent: $N_i > 0$ Zug ergibt $\Delta l_i > 0$ (Verlängerung), $N_i < 0$ Druck ergibt Verkürzung.

Schritt 3: Geometrie. Die Verlängerung jedes Stabes verschiebt einen Punkt der Struktur entlang der Stab-Richtung. Aus Strahlensatz (bei kleinen Winkeln) oder direkt aus der Skizze: in welche Richtung verschiebt sich der Lastangriffspunkt.

Schritt 4: Superposition wenn nötig. Wenn mehrere Komponenten sich gleichzeitig verformen, addieren sich ihre Wirkungen vektoriell. Bei kleinen Winkeln linearisierbar.

Aufgabe (aus Übungsserie 6, Schnellübung S2). Ein starrer Balken $A$-$B$-$C$ ist auf drei elastischen Pendelstützen (Elastizitätsmodul $E$, Querschnittsfläche $A$) gelagert und wird durch die Kräfte $F_1$ und $F_2$ belastet. Stab 1 verbindet $A$ mit einem 45°-Bodenpunkt links unten (Länge $\sqrt{2}\,l$); Stab 2 verbindet $A$ mit einem 45°-Bodenpunkt rechts unten (Länge $\sqrt{2}\,l$); Stab 3 verbindet $B$ vertikal mit dem Boden (Länge $l$). $A$, $B$, $C$ liegen mit Abstand $l$ auseinander auf dem starren Balken. $F_1$ wirkt vertikal nach unten an $C$, $F_2$ horizontal nach rechts an $A$. Bestimme die Verschiebungen $u$ (in $x$-Richtung) und $v$ (in $y$-Richtung) des Punktes $C$.

Vor jeder Biegungs-Berechnung steht die Schwerpunkt-Lage. Der Schwerpunkt ist der geometrische Mittelpunkt der Fläche und Bezugspunkt für Flächenträgheits-Momente und für die Biegespannung $\sigma_x = -M_z\,y/I_z$ (linear in $y$ vom Schwerpunkt aus gemessen).

Definition über Integral. In einem allgemeinen Koordinatensystem $(\eta, \zeta)$ mit Ursprung an einer beliebigen Stelle: $\eta_s = \frac{1}{A}\int_A \eta\,dA$, $\zeta_s = \frac{1}{A}\int_A \zeta\,dA$. Der Schwerpunkt ist der gewichtete Mittelwert der Koordinaten über die Fläche.

Zusammengesetzte Flächen. Wenn die Fläche aus Teilflächen $A_i$ mit bekannten Schwerpunkten $\eta_{si}, \zeta_{si}$ besteht, gilt $\eta_s = (\sum \eta_{si}\,A_i)/(\sum A_i)$, $\zeta_s$ analog. Subtraktion von Löchern: Loch-Fläche mit negativem Vorzeichen führen.

Symmetrie spart Arbeit. Wenn die Fläche eine Symmetrie-Achse hat, liegt der Schwerpunkt auf dieser Achse. Bei zwei Symmetrie-Achsen liegt er im Schnittpunkt.

Definition. Im Schwerpunkt-Koordinatensystem mit Achsen $y, z$ misst $I_z = \int_A y^2\,dA$ wie weit die Fläche in $y$-Richtung verteilt ist. Analog $I_y = \int_A z^2\,dA$. Beide haben Dimension $\text{Länge}^4$.

Deviationsmoment. $C_{yz} = -\int_A y\,z\,dA$ misst die Asymmetrie der Fläche bezüglich der Achsen $y, z$. Wenn der Querschnitt eine Symmetrie-Achse hat, verschwindet $C_{yz}$.

Trägheitstensor. Die drei Werte $I_y, I_z, C_{yz}$ bilden einen $2 \times 2$-Tensor analog zum Spannungstensor. Hauptachsen-Trafo, Mohr-Kreis für Flächenträgheitsmomente sind vollständig analog zur Spannungs-Theorie aus Kap. 2 und 3.

Allgemeines Koordinatensystem. Wenn die Achsen $(\eta, \zeta)$ nicht durch den Schwerpunkt gehen, gilt $I_\eta = \int_A \zeta^2\,dA$, $I_\zeta = \int_A \eta^2\,dA$. Diese sind grösser als die Schwerpunkt-Versionen wegen Steiner (Sec. 3).

Für die häufigsten Querschnitte sind die Flächenträgheitsmomente um die Schwerpunkt-Achsen tabelliert. Diese Profile decken alle Klausur-Aufgaben aus FS18 bis FS25 ab. Bei zusammengesetzten Querschnitten (etwa I-Profil, L-Profil, U-Profil) zerlege man in Rechtecke und nutze Steiner (Sec. 3). Bei Querschnitten mit Loch zieht man die Loch-Beiträge ab.

Aufgabe (aus Übungsserie 6, Hausübung H3). Bestimme das Flächenträgheitsmoment $I_z$ des dargestellten Plus-förmigen Querschnitts (5 Quadrate Seitenlänge $a$, kreuzförmig angeordnet) bezüglich des Flächenmittelpunktes.

Frage. Was ist $I_\eta$ bezüglich einer Achse $\eta$, die parallel zur Schwerpunkt-Achse $y$ verläuft, aber im Abstand $\zeta_s$? Antwort: Steiner.

Anschauung. Eine Faser bei Schwerpunkt-Koordinate $y$ hat in der parallelen Achse Koordinate $y + \zeta_s$. Damit $I_\eta = \int_A (y + \zeta_s)^2\,dA = \int_A y^2\,dA + 2\,\zeta_s \int_A y\,dA + \zeta_s^2 \cdot A$. Der mittlere Term verschwindet, weil $\int_A y\,dA = 0$ per Definition des Schwerpunkts. Übrig bleibt $I_\eta = I_y + \zeta_s^2\,A$.

Konsequenz. Das Schwerpunkt-Trägheitsmoment ist immer das Minimum aller parallelen Achsen. Jede Verschiebung der Bezugsachse weg vom Schwerpunkt erhöht den Wert.

Hauptachsen eines Querschnitts sind die Achsen $y, z$, in denen $C_{yz} = 0$ ist. In diesen Achsen entkoppelt sich die Biegung in zwei unabhängige Probleme (um $z$-Achse und um $y$-Achse). Eine Last in $y$-Richtung erzeugt nur eine Biegung um $z$, nicht um $y$.

Symmetrie-Argument. Eine Symmetrie-Achse erzwingt $C_{yz} = 0$, weil die Beiträge $y \cdot z\,dA$ paarweise mit umgekehrten Vorzeichen vorkommen und sich aufheben.

Konsequenz für Spezielle Biegung (Kap. 6). Solange $y, z$ Hauptachsen sind und ausschliesslich ein Biegemoment $M_z$ um die $z$-Achse wirkt, gilt $\sigma_x = -M_z\,y/I_z$ (linear in $y$, null bei der neutralen Achse $y = 0$, dem Schwerpunkt). Wenn die Achsen keine Hauptachsen sind, gilt das nicht und man muss zuerst transformieren (Kap. 8 Schiefe Biegung).

Drei Schritte.

Schritt 1. Querschnitt in Teilflächen mit bekannten Schwerpunkten $y_{si}, z_{si}$ zerlegen. Standard-Profile aus Sec. 2.3 nutzen.

Schritt 2. Schwerpunkt der Gesamt-Fläche aus den gewichteten Teilschwerpunkten: $y_s = (\sum y_{si}\,A_i)/(\sum A_i)$. Loch mit negativer Fläche.

Schritt 3. Steiner pro Teilfläche zur Gesamt-Schwerpunkt-Achse: $I_z = \sum_i \big[I_{z,i,\text{eigen}} + (\Delta y_i)^2\,A_i\big]$ mit $\Delta y_i = y_{si} - y_s$. Analog $I_y$ und $C_{yz}$.

Aufgabe (aus Übungsserie 6, Hausübung H4). Die L-förmige Querschnittsfläche eines Kranträgers ist aus vier Quadraten der Seitenlänge $a$ zusammengesetzt (drei Quadrate vertikal übereinander, ein viertes horizontal unten rechts angeschlossen). Bestimme das Flächenträgheitsmoment $I_z = \int_A y^2\,dA$ und $I_y = \int_A z^2\,dA$ bezüglich des Schwerpunktes $S$. Die genaue Position von $S$ ist mit Hilfe der Schwerpunkt-Berechnung (Mech I) zu bestimmen.

Beobachtung. Ein gerader Balken unter reinem Biegemoment verformt sich so, dass jeder Querschnitt eben bleibt und senkrecht zur deformierten Mittellinie. Diese Annahme heisst Bernoulli-Hypothese (oder Euler-Bernoulli-Hypothese).

Konsequenz für das Verschiebungsfeld. Wenn die Mittellinie sich um $v(x)$ in $y$-Richtung verschiebt und um $v'(x)$ verkippt, dann verschiebt sich eine Faser bei Höhe $y$ um $u_x(x, y) = -y\,v'(x)$ in $x$-Richtung (Faserdehnung) und um $u_y(x) = v(x)$ in $y$-Richtung (Mitfahren mit der Mittellinie).

Vorzeichen. Das Minus-Zeichen in $u_x = -y\,v'$ hat geometrische Ursache. Bei $v'' > 0$ gilt wegen $\varepsilon_x = -y\,v''$: Fasern oberhalb der neutralen Achse ($y < 0$ bei nach unten zeigender $y$-Achse) werden verlängert, Fasern unterhalb ($y > 0$) werden verkürzt. Bei $v'' < 0$ kehren sich Zug und Druck um. Entscheidend ist also das Vorzeichen der Krümmung beziehungsweise von $M_z$, nicht nur die Richtung der äusseren Last.

Verzerrung aus dem Verschiebungsfeld. Aus $u_x = -y\,v'(x)$ folgt durch Ableiten nach $x$: $\varepsilon_x(x, y) = \partial u_x/\partial x = -y\,v''(x)$. Die Verzerrung ist linear in $y$ mit Steigung $-v''$.

Spannung via Hooke. Im linear-elastischen Bereich gilt $\sigma_x = E\,\varepsilon_x = -E\,y\,v''(x)$. Auch linear in $y$.

Wichtig. $\sigma_x$ verschwindet bei $y = 0$ (Schwerpunkts-Achse, neutrale Achse). Für $v'' > 0$ gilt: oberhalb der neutralen Achse ($y < 0$ bei nach unten zeigender $y$-Achse) Zug, unterhalb ($y > 0$) Druck. Für $v'' < 0$ gilt umgekehrt: oben Druck, unten Zug. In der Üs6-Konvention zeigt $y$ nach unten; deshalb immer zuerst das Vorzeichen von $M_z$ beziehungsweise $v''$ bestimmen.

Definition Schnittmoment. $M_z(x) = -\int_A \sigma_x\,y\,dA$ (Vorzeichen-Konvention der Vorlesung). Das ist der Hebelarm-Integral der Spannungs-Verteilung über den Querschnitt.

Einsetzen von Hooke. Mit $\sigma_x = -E\,y\,v''$ wird $M_z = -\int_A (-E\,y\,v'')\,y\,dA = E\,v''(x) \int_A y^2\,dA = E\,I_z\,v''(x)$. Daraus folgt die Biege-DGL.

Spannungs-Resultat. Aus $\sigma_x = -E\,y\,v''$ und $v'' = M_z/(E\,I_z)$ folgt direkt $\sigma_x = -M_z\,y/I_z$. Das ist die zentrale Formel der Spezielle Biegung.

$\sigma_x$ ist linear in $y$. Das Maximum tritt bei $y = y_{\max}$ auf, also am weitesten von der neutralen Achse entfernt. Für ein Rechteck mit Höhe $h$ ist $y_{\max} = h/2$ (oben oder unten). Für einen Kreis mit Radius $R$ ist $y_{\max} = R$.

Biege-Widerstandsmoment. Praxis-Definition $W_z = I_z/y_{\max}$, sodass $|\sigma_{\max}| = |M_z|/W_z$. Für Standard-Profile ist $W_z$ tabelliert (Stahlbau-Handbücher). Beispiel Rechteck: $W_z = (b\,h^3/12)/(h/2) = b\,h^2/6$.

Versagens-Bedingung. Das Material versagt, wenn $|\sigma_{\max}| \geq \sigma_F$ (Fliessgrenze). Die kritische Last folgt aus $|M_z|/W_z \leq \sigma_F$, umgekehrt $|M_z|_{\text{krit}} = \sigma_F \cdot W_z$.

Ausgangspunkt. $E\,I_z\,v''(x) = M_z(x)$. Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit bekannter rechter Seite.

Schritt 1. $M_z(x)$ aus Statik bestimmen (Lagerkräfte plus Schnittmoment-Verlauf bereichsweise). Bei jedem Knick im Last-Verlauf ein neuer Bereich.

Schritt 2. Beidseitig integrieren: $E\,I_z\,v'(x) = \int M_z(x)\,dx + C_1$. Das ist die Steigung (Tangenten-Richtung der deformierten Mittellinie).

Schritt 3. Nochmal integrieren: $E\,I_z\,v(x) = \iint M_z(x)\,dx^2 + C_1\,x + C_2$. Das ist die Biegelinie, also $v(x)$ als Funktion der Längs-Koordinate.

Zwei Konstanten. Pro Bereich entstehen zwei Konstanten $C_1, C_2$. Diese werden aus Randbedingungen bestimmt.

Was ist eine Randbedingung. Eine Randbedingung ist eine geometrische oder statische Aussage, die der Biegelinie an einem speziellen Punkt einen Wert oder eine Steigung vorschreibt. Ohne Randbedingungen sind die Integrations-Konstanten $C_1, C_2$ unbestimmt.

Pro Bereich gibt es zwei Konstanten. Ein einfeldriger Balken hat einen Bereich, also zwei Konstanten. Ein zweifeldriger Balken hat zwei Bereiche, also vier Konstanten. Generell: $n$ Bereiche bedeuten $2\,n$ Konstanten und $2\,n$ Randbedingungen sind nötig.

Sechs klassische Typen von Randbedingungen. Alle in mindestens einer Klausur-Aufgabe aus FS18 bis FS25 vorhanden:

(a) Festes oder gelenkiges Lager. Verschiebung null, Steigung frei. $v(x_{\text{Lager}}) = 0$. Beispiel: Üs6 H2 mit zwei gelenkigen Lagern bei $x = 0$ und $x = l$ liefert $v(0) = 0$ und $v(l) = 0$.

(b) Einspannung. Verschiebung null und Steigung null. $v(x_{\text{Einsp.}}) = 0$ und $v'(x_{\text{Einsp.}}) = 0$. Beispiel: Cantilever bei $x = 0$ eingespannt liefert zwei Bedingungen an einer Stelle.

(c) Symmetrie-Bedingung. Wenn das System symmetrisch zur Mitte ist, ist die Steigung in der Mitte null. $v'(l/2) = 0$. Beispiel: beidseitig gelenkig plus symmetrische Streckenlast (Üs6 H2).

(d) Freier Rand. An einem freien (unbelasteten) Stab-Ende: kein Schnittmoment, also $v''(x_{\text{Ende}}) = 0$, und keine Querkraft, also $v'''(x_{\text{Ende}}) = 0$. Selten in MC-Aufgaben, aber wichtig wenn das Biegemoment selbst aus der DGL bestimmt wird.

(e) Übergangsbedingung zwischen zwei Bereichen. Bei Bereichs-Grenze $x = a$: $v_1(a) = v_2(a)$ (Stetigkeit der Verschiebung) und $v'_1(a) = v'_2(a)$ (Stetigkeit der Steigung). Wenn die Laufvariablen gegenläufig orientiert sind, dreht sich das Vorzeichen der Steigungs-Bedingung um. Üs6 S1 ist der Klassiker.

(f) Bekannte Verschiebung oder Steigung. Wenn der Aufgabentext explizit $v_B$ oder $v'_B$ als bekannt angibt, direkt einsetzen. Klausur-Aufgabe FS21 E1 nutzt das.