4. Verzerrungen

Während Kap. 1 bis 3 mit Spannungen den Last-Zustand beschrieben haben, beschreibt Kap. 4 die Antwort des Materials in Form von Längen- und Winkeländerungen. Die zentrale Grösse ist das Verschiebungsfeld $\vec{u}(\vec{x})$. Für jeden Punkt im Körper gibt es einen Verschiebungsvektor an, der angibt, wohin sich dieser Punkt unter Belastung verschiebt.

Bevor wir Verzerrungen ableiten können, brauchen wir das Verschiebungsfeld als Funktion. Es weist jedem materiellen Punkt mit Position $\vec{x} = (x, y, z)^\top$ einen Verschiebungsvektor $\vec{u}$ zu, der angibt, wohin sich dieser Punkt unter Belastung verschiebt. Das Feld besteht aus drei skalaren Komponenten $u, v, w$, jeweils Funktionen aller drei Raum-Koordinaten.

Das Verzerrungsfeld extrahiert daraus die lokalen Längen- und Winkeländerungen via Ableitungen, ähnlich wie der Spannungstensor lokale Kräfte aus globaler Belastung extrahiert.

Anschauung: ein Stab unter Zug verlängert sich. An jedem Punkt gibt es eine Verschiebung in Längsrichtung. Aber die Verzerrung (Längenänderung pro Länge) ist die Ableitung der Verschiebung nach der Position, nicht die Verschiebung selbst. Eine starre Translation des ganzen Körpers (alle Punkte um denselben Vektor verschoben) erzeugt keine Verzerrung, weil die Verschiebung räumlich konstant ist und ihre Ableitung null.

Aus dem Verschiebungsfeld extrahieren wir zwei Arten von Verzerrungen. Die lineare Normaldehnung $\varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}$ misst die Längenänderung pro Länge in $x$-Richtung an einem Punkt. Anschaulich: nimm eine kleine Strecke $\Delta x$ und schau, wie viel sie sich verlängert, dividiert durch ihre ursprüngliche Länge. Das ist genau $\frac{\partial u}{\partial x}$.

Die Schubverzerrung $\varepsilon_{xy} = \tfrac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y})$ misst die Winkeländerung zwischen zwei ursprünglich senkrecht stehenden Linien (eine in $x$, eine in $y$). Der Ingenieur-Schubwinkel $\gamma_{xy}$ ist die anschauliche Winkeländerung selbst (in Radiant), während die Tensor-Komponente $\varepsilon_{xy}$ die Hälfte davon ist. Es gilt also $\gamma_{xy} = 2\,\varepsilon_{xy}$. Der Faktor $1/2$ ist eine Tensor-Konvention, damit der Verzerrungstensor symmetrisch und mathematisch konsistent mit Eigenwert-Problemen ist. In der Anschauung benutzen Ingenieure typischerweise $\gamma$.

Erweiterung auf 3D analog für die anderen Achsen. Insgesamt sechs unabhängige Komponenten. Drei Diagonal-Werte $\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z$ (Längendehnungen in den drei Achsen) und drei Off-Diagonal-Werte $\varepsilon_{xy}, \varepsilon_{xz}, \varepsilon_{yz}$ (Winkeländerungen in den drei Ebenen).

Bevor wir den Tensor explizit hinschreiben, leiten wir ihn aus dem Verschiebungsgradienten ab. Das macht klar, warum er symmetrisch ist und welche Anteile aus dem Verschiebungsfeld als reine Verzerrung und welche als reine Rotation interpretiert werden.

Der Verschiebungsgradient $\vec{\nabla} \vec{u}$ ist eine allgemeine $3 \times 3$-Matrix mit allen neun partiellen Ableitungen. Im Allgemeinen ist diese Matrix nicht symmetrisch.

Aufteilung in symmetrischen plus antisymmetrischen Teil. Jede quadratische Matrix $M$ zerfällt eindeutig in einen symmetrischen Teil $\tfrac{1}{2}(M + M^\top)$ und einen antisymmetrischen Teil $\tfrac{1}{2}(M - M^\top)$. Auf den Verschiebungsgradienten angewandt:

Intuition: der antisymmetrische Teil $\underline{\underline{W}}$ beschreibt eine lokale Starrkörper-Rotation um einen Punkt (kleine Drehung), die keine Verzerrung erzeugt. Das passt zur Aside „Starre Bewegung erzeugt keine Verzerrung" aus Sec. 1.1. Nur der symmetrische Teil $\underline{\underline{E}}$ enthält die echte Längen- und Winkeländerung. Deshalb ist der Verzerrungstensor symmetrisch per Konstruktion. Er ist genau der „Deformations-Anteil" des Verschiebungsgradienten, ohne Rotation.

Beide Schreibweisen sind identisch. Die folgende ist nur kompakter notiert mit der $\varepsilon$-Abkürzung.

Brücke zu Kap. 3 und zur Eigenwert-Maschinerie. Genau wie der Spannungstensor unter Tensor-Trafos transformiert (Hauptspannungen, Mohr, Invarianten), tut das auch der Verzerrungstensor. Jedes Werkzeug aus Kap. 3 (Block-Reduktion, charakteristisches Polynom, Mohrsche Kreise, $\tau_{\max}$-Formel) gilt 1:1 mit der formalen Substitution $\sigma_{ij} \to \varepsilon_{ij}$. Wir können also auf das gesamte Eigenwert-Maschinerie aus Kap. 3 zurückgreifen, ohne sie neu lernen zu müssen.

Aufgabe (aus Übungsserie 4, Hausübung H1). Für eine Scheibe wurde aus Messungen das folgende ebene Verschiebungsfeld ermittelt:

$\begin{pmatrix} u(x,y) \\ v(x,y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_0 + 7 \cdot 10^{-3}\,x + 4 \cdot 10^{-3}\,y \\ v_0 + 2 \cdot 10^{-3}\,x - 1 \cdot 10^{-3}\,y \end{pmatrix}$

Bestimme den Verzerrungstensor im $xy$-Koordinatensystem.

Bisher haben wir den Verzerrungstensor formal aus dem Verschiebungsgradienten abgeleitet. Was misst er anschaulich? Drei Aussagen, die jede Klausur-Aufgabe geometrisch lösbar machen.

Erstens. $\varepsilon_x, \varepsilon_y, \varepsilon_z$ messen Längenänderungen pro Länge in den drei Achsen-Richtungen. Wird eine Materialfaser entlang der $x$-Achse länger, ist $\varepsilon_x > 0$. Bleibt sie konstant, ist $\varepsilon_x = 0$. Negative Werte heissen Stauchung.

Zweitens. $\varepsilon_{xy}, \varepsilon_{xz}, \varepsilon_{yz}$ messen Winkeländerungen zwischen ursprünglich senkrechten Achsen-Richtungen. Verkleinert sich der rechte Winkel zwischen einer $x$-Faser und einer $y$-Faser, ist $\gamma_{xy} > 0$ (Ingenieur-Konvention) und damit $\varepsilon_{xy} > 0$. Vergrössert er sich, sind beide negativ.

Drittens. Eine reine Starrkörper-Rotation erzeugt keine Verzerrung: alle Tensor-Komponenten sind null, weil keine Längen und keine Winkel sich ändern. Das ist die direkte geometrische Konsequenz der symm/antisymm-Aufteilung aus Sec. 1.3, wo die Rotation in $\underline{\underline{W}}$ landet und gerade nicht im Verzerrungstensor $\underline{\underline{E}}$.

Aufgabe (aus Übungsserie 4, Hausübung H2). Ein rechteckiges Blech verformt sich in der $xy$-Ebene wie skizziert. Die Verformungen sind übertrieben dargestellt; in Wirklichkeit handelt es sich um kleine Längen- und Winkeländerungen. Die Längen der Kanten $AD$, $DC$ und $AB$ bleiben unverändert. Das Verzerrungsfeld ist räumlich nicht konstant. Bestimme den Verzerrungstensor (im $xy$-Koordinatensystem) an den vier Eckpunkten $A$, $B$, $C$, $D$ unter der Annahme $k > 0$.

Vorgehen. An jedem Eckpunkt wenden wir die Drei-Punkte-Methodik aus Sec. 2.1 an: ändert sich die Länge in $x$? Ändert sich die Länge in $y$? Ändert sich der rechte Winkel zwischen den Kanten? Aus diesen drei Antworten ergibt sich der Tensor direkt.

Die $x$-Kante $AB$ bleibt unverändert in der Länge, also $\varepsilon_x = 0$. Die $y$-Kante $AD$ ebenfalls, also $\varepsilon_y = 0$. Aber der ursprünglich rechte Winkel zwischen ihnen wird grösser. Per Konvention ist $\gamma_{xy} > 0$ für eine Verkleinerung des Winkels; hier vergrössert er sich, also $\gamma_{xy} < 0$ und damit $\varepsilon_{xy} = -k$.

Die $x$-Kante $AB$ bleibt konstant ($\varepsilon_x = 0$). Aber die $y$-Kante $BC$ wird in positiver $y$-Richtung gestreckt ($\varepsilon_y = k$). Der Winkel öffnet sich genauso wie an $A$, also wieder $\varepsilon_{xy} = -k$.

Die Kante $DC$ bleibt konstant in der Länge ($\varepsilon_x = 0$). Die Kante $BC$ wird in $y$-Richtung gestreckt ($\varepsilon_y = k$). Wichtig: die scheinbare Drehung der Kante $DC$ ist eine Starrkörper-Rotation, kein Schub. Der rechte Winkel an $C$ bleibt erhalten. Also $\varepsilon_{xy} = 0$. Die Drehung wird vom antisymmetrischen Teil $\underline{\underline{W}}$ aus Sec. 1.3 absorbiert und tritt im Verzerrungstensor nicht auf.

Die Kanten $DC$ und $AD$ bleiben beide konstant. Der Winkel an $D$ bleibt rechtwinklig. Keine Verformung: reine Starrkörper-Bewegung. Alle Tensor-Komponenten verschwinden.

Das Hauptdehnungs-Problem ist mathematisch identisch zum Hauptspannungs-Problem. Formaler Austausch $\sigma_{ij} \to \varepsilon_{ij}$. Charakteristisches Polynom mit Verzerrungs-Invarianten als Koeffizienten. Block-Reduktion bei vorhandener Hauptachse. 2D-Mohr-Formel im $2 \times 2$-Block. Die Tensor-Schubkomponente $\varepsilon_{\max}$ ist die halbe Differenz von Maximum und Minimum (analog zu $\tau_{\max}$); der Ingenieur-Schubwinkel ist $\gamma_{\max} = 2\varepsilon_{\max}$.

Konsequenz: alles aus Kap. 3 gilt 1:1. Wir wiederholen die Werkzeuge nicht, sondern verweisen und nutzen sie.

Die Verzerrungs-Invarianten haben dieselbe Struktur wie die Spannungs-Invarianten in Kap. 3 Sec. 1.2 (formaler Austausch $\sigma_{ij} \to \varepsilon_{ij}$). Cross-Check $\varepsilon_I + \varepsilon_{II} + \varepsilon_{III} = I_1^E$ analog zur Spur-Identität bei den Hauptspannungen.

Praxis-Auswertung. Die Normaldehnung in eine Richtung $\vec{n}$ ist $\varepsilon_n = (\underline{\underline{E}} \cdot \vec{n}) \cdot \vec{n}$. Das ist die direkte Verzerrungs-Antwort an einer Schnittfläche mit Normale $\vec{n}$. Der zugehörige Schubanteil ist $\varepsilon_{nt}$ mit Pythagoras-Zerlegung wie beim Spannungsvektor in Kap. 1.

Maximaler Schubwinkel $\gamma_{\max}$. Als Tensor-Wert ist $\varepsilon_{\max}$ die Off-Diagonal-Maximalkomponente im $45°$-gedrehten Hauptachsensystem, also halbe Differenz Max minus Min. Anschaulich (Ingenieur-$\gamma$): $\gamma_{\max} = 2\,\varepsilon_{\max} = \varepsilon_I - \varepsilon_{III}$, ohne den Faktor $1/2$. Das ist die maximale Winkeländerung im Material.

Richtungen der maximalen Schubverformung. Die Richtungen, in denen $\gamma_{\max}$ auftritt, liegen $45°$ versetzt zu den extremen Hauptdehnungs-Richtungen. Konkret: wenn $\vec{n}_I$ und $\vec{n}_{III}$ die Hauptrichtungen zu $\varepsilon_I$ und $\varepsilon_{III}$ sind, dann liegen die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{t}$ der maximalen Schubverformung in der Ebene aufgespannt durch $\vec{n}_I$ und $\vec{n}_{III}$, jeweils unter $45°$ zu beiden.

Aufgabe (Fortsetzung von Bsp. 1.4 aus Übungsserie 4, H1 b/c/d). Mit dem Verzerrungstensor aus Sec. 1.4,

$\{\underline{\underline{E}}\}_{xy} = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \cdot 10^{-3}$,

bestimme (b) die Hauptdehnungen $\varepsilon_I$ und $\varepsilon_{II}$, (c) die zugehörigen Hauptrichtungs-Winkel $\alpha_I$ und $\alpha_{II}$ bezüglich der $x$-Achse, und (d) den maximalen Schubwinkel $\gamma_{\max}$.

Die Volumendehnung $\varepsilon_V$ ist die relative Volumenänderung pro ursprünglichem Volumen, $\Delta V / V_0$, an einem Punkt im Material. Bei kleinen Verzerrungen gilt $\varepsilon_V = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z = \operatorname{spur}(\underline{\underline{E}})$. Das ist die erste Spannungs-Invariante $I_1$, hier auf den Verzerrungstensor angewandt.

Die Volumendehnung hängt nicht davon ab, wie wir das Koordinatensystem drehen. Rechnerisch liegt das daran, dass die Spur eines Tensors invariant ist. Physikalisch heisst das: Die Achsenwahl ändert nur die Beschreibung, nicht die tatsächliche Volumenänderung. Bei $\varepsilon_V > 0$ wächst das lokale Volumen, bei $\varepsilon_V < 0$ schrumpft es, und bei $\varepsilon_V = 0$ bleibt es konstant.

Bei einem Stab unter reinem axialen Zug in $x$-Richtung dehnt er sich in $x$ ($\varepsilon_x > 0$) und kontrahiert in $y$ und $z$ ($\varepsilon_y, \varepsilon_z < 0$). Das Verhältnis dieser Querkontraktion zur Längsdehnung heisst Querkontraktionszahl oder Poissonzahl $\nu$. Definition: $\nu = -\varepsilon_{\text{quer}}/\varepsilon_{\text{laengs}}$. Das Minuszeichen sorgt dafür, dass $\nu$ meistens positiv ist (Material wird dünner, wenn länger).

Werte für reale Materialien: Stahl $\nu \approx 0{,}3$, Aluminium $\nu \approx 0{,}33$, Gummi $\nu \to 0{,}5$ (inkompressibel), Kork $\nu \approx 0$ (kontrahiert kaum). Theoretischer Bereich $-1 < \nu < 0{,}5$. Bei $\nu = 0{,}5$ ist das Material exakt inkompressibel: der Volumenverlust durch Querkontraktion kompensiert genau die Volumenzunahme durch Längsdehnung.

Volumendehnung bei reinem Zug. Wenn $\varepsilon_y = \varepsilon_z = -\nu\,\varepsilon_x$, dann $\varepsilon_V = \varepsilon_x(1 - 2\nu)$. Bei $\nu = 0{,}5$ ist $(1 - 2\nu) = 0$ und $\varepsilon_V$ verschwindet. Bei $\nu = 0$ (Kork) ist $\varepsilon_V = \varepsilon_x$, voll kompressibel.

Aufgabe (Standard-Lehrbuch-Beispiel zur Querkontraktion). Ein Stahlquader (Querkontraktionszahl $\nu = 0{,}3$) wird in $x$-Richtung mit einer linearen Längsdehnung $\varepsilon_x = 1 \cdot 10^{-3}$ belastet. Es wirkt nur reine Axiallast, alle anderen Spannungen sind null. Bestimme (a) die Querdehnungen $\varepsilon_y$ und $\varepsilon_z$, (b) den vollständigen Verzerrungstensor, und (c) die Volumendehnung $\varepsilon_V$.

Diese Section dient primär der Intuition und der Vollständigkeit. Sie zeigt, warum ein Spannungsfeld im Inneren eines Körpers nicht beliebig sein kann, sondern bestimmten räumlichen Differentialgleichungen genügen muss. Klausur-Aufgaben dieses Typs erscheinen typischerweise einmal pro Prüfung. Methodisch sind sie eng verwandt mit dem Verzerrungs-Kapitel, weil beide auf räumlichen partiellen Ableitungen aufbauen.

Newton II auf ein infinitesimales Würfelvolumen im Inneren des Körpers angewendet liefert drei räumliche Differentialgleichungen für das Spannungsfeld. Der Würfel hat sechs Schnittflächen mit je drei Spannungs-Komponenten; das Gleichgewicht in jeder der drei Achsen-Richtungen liefert eine Gleichung.

Anschauung. Wenn die Spannungen räumlich variieren, müssen die Variationen in benachbarten Richtungen so zueinander passen, dass das Volumenelement im Gleichgewicht bleibt. Das ist Mechanik im Kleinen: Newton II auf jeden Punkt im Material angewandt.

Aufgabe (aus Übungsserie 4, Hausübung H3). Man betrachte einen rechteckigen Teilbereich (Abmessungen $a \times b$) einer mechanisch belasteten dünnen Scheibe. Spannungen in Dickenrichtung sind vernachlässigbar (ebener Spannungszustand). Von den Spannungen in der $xy$-Ebene ist die räumliche Variation der Schubspannung bezüglich des $xy$-Koordinatensystems bekannt:

$\tau_{xy}(x, y) = \frac{4a}{b^2}\,y^2$.

Des Weiteren gelten: $\sigma_x = 0$ für alle Punkte auf der Geraden $x = 0$, sowie $\sigma_y = 0$ für alle Punkte auf der Geraden $y = b/2$. Bestimme die Verteilung der Normalspannungen $\sigma_x(x, y)$ und $\sigma_y(x, y)$.