3. Spannungen 3D, Hauptachsen

Erinnerung an Kap. 2: in 2D haben wir Hauptspannungen aus $M \pm R$ abgelesen, schnell und visuell über den Mohrschen Kreis. In 3D ist das Vorgehen formal das gleiche (Eigenwerte des Tensors), aber rechnerisch deutlich aufwendiger, weil der Tensor jetzt $3 \times 3$ ist und ein kubisches Polynom liefert.

Ziel des Kapitels in einem Satz: die 3D-Rechnung handhabbar machen. Drei Werkzeuge dafür. Block-Reduktion (wenn eine Achse schon Hauptachse ist), charakteristisches Polynom als Standard-Ansatz, und die Invarianten als Cross-Check. In den meisten Klausur-Tensoren reicht Block-Reduktion plus 2D-Mohr.

In 2D war ein Spannungszustand durch drei Zahlen vollständig beschrieben ($\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$), in 3D durch sechs ($\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z, \tau_{xy}, \tau_{xz}, \tau_{yz}$). Drei Hauptspannungen statt zwei, drei Hauptrichtungen statt zwei. Die zentrale Idee bleibt aber dieselbe. Hauptachsen sind die Schnittflächen, an denen reine Normalspannung wirkt, kein Schub. Diese Eigenschaft ist unabhängig vom Koordinatensystem und beschreibt den Spannungszustand intrinsisch.

Eigenwerte erhält man aus der Bedingung $\det(\underline{\underline{T}} - \lambda \underline{\underline{I}}) = 0$. Ausführliches Ausmultiplizieren liefert ein kubisches Polynom in $\lambda$ mit drei Spannungs-Invarianten $I_1, I_2, I_3$ als Koeffizienten. Die Invarianten heissen so, weil sie unabhängig vom Koordinatensystem sind: egal in welchem Koordinatensystem du den Tensor darstellst, $I_1, I_2, I_3$ haben denselben Wert.

Diese Koordinatensystem-Unabhängigkeit ist nicht nur Theorie, sondern das Klausur-Werkzeug für den Cross-Check. Wenn du Hauptspannungen $\sigma_I, \sigma_{II}, \sigma_{III}$ berechnet hast, muss $\sigma_I + \sigma_{II} + \sigma_{III} = I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z$ gelten, gemessen am Original-Tensor. Stimmt das nicht, hast du dich verrechnet.

Wenn der Tensor schon eine sogenannte schon-Hauptachse hat (passiert in Klausur-Aufgaben oft), zerfällt das 3D-Problem in einen trivialen $1 \times 1$-Block plus einen $2 \times 2$-Block, den wir mit der bekannten 2D-Mohr-Formel aus Kap. 2 Sec. 4.2 auflösen. Wenn du eine Tür offen findest, geh durch sie statt zu klettern.

Erkennung. Eine Achse $\boldsymbol{e}_i$ ist genau dann bereits Hauptachse, wenn ALLE off-diagonalen Tensor-Komponenten in der entsprechenden Zeile UND der entsprechenden Spalte verschwinden. Beispiel: $\tau_{xy} = \tau_{yz} = 0$, dann ist $\boldsymbol{e}_y$ Hauptrichtung mit $\sigma_y$ als Hauptspannung. Der $xz$-Untertensor (also $\begin{pmatrix} \sigma_x & \tau_{xz} \\ \tau_{xz} & \sigma_z \end{pmatrix}$) ist das eigentliche $2 \times 2$-Problem.

Vorgehen. 1) Tensor-Matrix anschauen. Gibt es eine Zeile UND zugehörige Spalte mit nur einem Diagonal-Eintrag (alle Off-Diagonalen 0)? 2) Wenn ja, dieser Diagonal-Eintrag ist bereits Hauptspannung, die Achse ist Hauptrichtung. 3) Verbleibende $2 \times 2$-Untermatrix mit Standard-Mohr-Formeln aus Kap. 2 lösen: $M = (\sigma_a + \sigma_b)/2$, $R = \sqrt{(\sigma_a - \sigma_b)^2/4 + \tau_{ab}^2}$, Hauptspannungen $= M \pm R$.

Aufgabe (aus Übungsserie 3, Hausübung H3). An einem Materialpunkt sei der Spannungszustand durch die Komponenten $\sigma_x = 4k$, $\sigma_y = -k$, $\sigma_z = k$, $\tau_{yz} = \sqrt{3}\,k$, $\tau_{xy} = \tau_{xz} = 0$ (mit $k > 0$) gegeben. Bestimme alle drei Hauptspannungen $\sigma_I \geq \sigma_{II} \geq \sigma_{III}$.

Eine Hauptrichtung $\vec{n}$ ist die Richtung, in der der Spannungstensor $\underline{\underline{T}}$ nur streckt, nicht dreht: $\underline{\underline{T}} \cdot \vec{n} = \sigma \cdot \vec{n}$. Das ist die Eigenvektor-Definition aus LinAlg, hier physikalisch interpretiert. Die zugehörige Hauptspannung $\sigma$ ist der Streckfaktor (Eigenwert).

Anschaulich: bei einem allgemeinen Schnitt ($\vec{n}$ keine Hauptrichtung) zeigt der Spannungsvektor $\vec{s} = \underline{\underline{T}} \cdot \vec{n}$ schräg gegenüber $\vec{n}$, mit Normal- UND Schubkomponente. Bei einem Hauptschnitt ($\vec{n}$ Hauptrichtung) zeigt $\vec{s}$ genau entlang $\vec{n}$. Die Schubkomponente verschwindet, nur Normalspannung wirkt. Das ist die physikalische Bedeutung: Hauptrichtungen sind die Schnittflächen ohne Schub.

Brücke zur Klausur. In Aufgaben wird oft NICHT direkt nach den Hauptrichtungen gefragt, sondern danach, was an einer bestimmten Schnittfläche passiert ($\sigma_n, \tau_n$). Die Hauptrichtungen sind dann das Hilfsmittel: kennt man sie, kennt man auch den maximalen $\sigma$-Wert (entlang $\vec{n}_I$) und den maximalen $\tau$-Wert (45° versetzt zwischen Hauptrichtungen).

Um die Hauptrichtung $\vec{n}_i$ zur bekannten Hauptspannung $\sigma_i$ zu finden, löst man das homogene Gleichungssystem $(\underline{\underline{T}} - \sigma_i \underline{\underline{I}}) \cdot \vec{n}_i = \vec{0}$. Per Konstruktion ist das System singulär (denn $\sigma_i$ ist Eigenwert), die Lösungsmenge ist eindimensional. Plus die Normierungsbedingung $|\vec{n}_i| = 1$.

Schritte. 1) Setze $\sigma_i$ ein, schreibe $(\underline{\underline{T}} - \sigma_i \underline{\underline{I}})$ als Matrix mit Zahlenwerten. 2) Reduziere die Matrix auf Echelon-Form (bzw. erkenne, welche Zeile linear abhängig ist). 3) Eine Komponente von $\vec{n}_i$ frei wählen (der Faktor wird durch die Normierung am Ende fixiert). 4) Die anderen Komponenten aus den verbleibenden Gleichungen ablesen. 5) Auf $|\vec{n}_i| = 1$ normieren.

Praxis-Hinweis. In Klausur-Aufgaben mit Block-Struktur ist mindestens eine Hauptrichtung trivial (die Achse aus dem $1 \times 1$-Block). Die anderen zwei Hauptrichtungen liegen in der Ebene des $2 \times 2$-Blocks; wenn man eine berechnet hat, ist die andere senkrecht dazu in derselben Ebene. Spart einen Rechendurchgang.

Aufgabe (aus Übungsserie 3, Hausübung H2). Gegeben sei ein Spannungstensor im $xyz$-Koordinatensystem,

$\{\underline{\underline{T}}\}_{xyz} = \begin{pmatrix} 3k & 0 & \tau_{xz} \\ 0 & 2k & 0 \\ \tau_{xz} & 0 & \sigma_z \end{pmatrix}$.

Die Komponenten $\sigma_z$ und $\tau_{xz}$ sind unbekannt; alle anderen Komponenten sind gegeben. Bekannt seien zudem zwei Hauptspannungen: $\sigma_\alpha = 5k$ und $\sigma_\beta = -3k$ (zu sortieren). Bestimme (a) $\sigma_z$ und $\tau_{xz}$ unter der Annahme $\tau_{xz} > 0$, und (b) alle drei Hauptspannungen mit Sortierung sowie die zugehörigen Hauptrichtungen.

In 2D war Mohr ein einziger Kreis mit Radius $R = (\sigma_I - \sigma_{II})/2$. In 3D gibt es drei Kreise: einen zwischen $\sigma_I$ und $\sigma_{II}$, einen zwischen $\sigma_{II}$ und $\sigma_{III}$, und einen zwischen $\sigma_I$ und $\sigma_{III}$ (der grösste). Jeder Kreis beschreibt die $\sigma$-$\tau$-Wertepaare für Schnittnormalen, die in der Ebene zweier Hauptachsen liegen.

Anschauliche Bedeutung der drei Kreise: Alle möglichen $\sigma$-$\tau$-Wertepaare für irgendeinen 3D-Schnitt liegen im Bereich ZWISCHEN den drei Kreisen, nicht innerhalb eines kleineren Kreises und nicht ausserhalb des grössten. Der grösste Kreis (zwischen $\sigma_I$ und $\sigma_{III}$) umschliesst die anderen zwei und liefert das absolute Maximum der Schubspannung.

Versagens-Konnex. Für Schubversagen ist $\tau_{\max}$ die zentrale Grösse. Materialien wie Stahl versagen oft duktil unter Schub bei einem kritischen $\tau$-Wert (Tresca-Kriterium, kommt in Kap. 5). Damit ist der grosse Mohr-Kreis der relevante für Versagensvorhersagen, nicht die zwei kleineren.

Die maximale Schubspannung in 3D ist der Radius des grössten Mohrschen Kreises, also die halbe Differenz von Maximum ($\sigma_I$) und Minimum ($\sigma_{III}$). Die mittlere Hauptspannung $\sigma_{II}$ steht NICHT in dieser Formel.

Vorzeichen-Hinweis. Wenn $\sigma_{III}$ negativ ist (Druck), wird die Differenz $\sigma_I - \sigma_{III}$ grösser als beide Beträge einzeln. Das ist physikalisch sinnvoll. Ein kombinierter Zug-Druck-Zustand erzeugt grössere Schubspannungen als reiner Zug oder reiner Druck gleicher Magnitude.

Klausur-Praxis. $\tau_{\max}$ ist ein Standard-Klausurthema. Vorgehen: Hauptspannungen ausrechnen oder gegeben, sortieren, $\sigma_I - \sigma_{III}$ durch zwei. Drei Schritte, im Idealfall eine Minute Klausurzeit.

Aufgabe (Fortsetzung von Beispiel 1.4 aus Übungsserie 3, H3 b und c). Mit den Hauptspannungen $\sigma_I = 4k$, $\sigma_{II} = 2k$, $\sigma_{III} = -2k$ aus dem Beispiel in Sec. 1.4: bestimme (a) die maximale Schubspannung $\tau_{\max}$ im Materialpunkt, und (b) skizziere die drei Mohrschen Kreise im $\sigma$-$\tau$-Diagramm und identifiziere $\tau_{\max}$ im Diagramm.