5. Stoffgleichungen, Versagenskriterien

Bisher haben wir Spannung (Last) und Verzerrung (Antwort des Materials) getrennt behandelt. Das Stoffgesetz verbindet beide an einem Punkt im Material. Im linear-elastischen Bereich gilt das Hookesche Gesetz: Spannung proportional zur Dehnung.

Die Materialkonstante $E$ heisst Elastizitätsmodul. Sie ist die Steigung der Spannungs-Dehnungs-Kurve im linearen Bereich. Einheit: $[\mathrm{GPa}] = [\mathrm{kN/mm^2}]$, gleich der Spannung. Typische Werte: Stahl $E \approx 200$ GPa, Aluminium $E \approx 70$ GPa, Beton $E \approx 30$ GPa.

Anwendung Stab unter Zug. Mit $\varepsilon = \Delta l / l_0$ und $\sigma = N/A$ folgt direkt eine Formel für die Längenänderung als Integral über die Stab-Länge. Der Querschnitt $A(x)$ darf entlang $x$ variieren.

Anschauungs-Beispiel (Üs5 H1). Ein Stab der Länge $l_0 = 125$ mm mit Querschnittsfläche $A_0 = 500$ mm$^2$ wird mit $P = 40$ kN belastet und um $\Delta l = 0{,}05$ mm verlängert. Aus $E = \sigma/\varepsilon = (P/A_0)/(\Delta l/l_0)$ folgt $E = 40000\,\mathrm{N}/500\,\mathrm{mm^2} \cdot 125\,\mathrm{mm}/0{,}05\,\mathrm{mm} = 200\,000\,\mathrm{N/mm^2} = 200$ GPa. Material: Stahl.

Analog zur Normaldehnung gibt es ein Stoffgesetz für Schub. Ein Würfel verformt sich unter Schubspannung $\tau_{xy}$ um den Winkel $\gamma_{xy}$ in Radiant. Die lineare Beziehung lautet $\tau = G\,\gamma$, mit dem Schubmodul $G$ als Materialkonstante.

Brücke zu Kap. 4: $\gamma_{xy} = 2\,\varepsilon_{xy}$, der Faktor $2$ aus der Tensor- gegenüber Ingenieur-Konvention. Damit ist $\tau_{xy} = G\,\gamma_{xy} = 2G\,\varepsilon_{xy}$.

Typische Werte: Stahl $G \approx 80$ GPa, Aluminium $G \approx 25$ GPa. Verglichen mit $E$ ist $G$ um Faktor $2{,}5$ bis $3$ kleiner. Das ist kein Zufall, wie Sec. 1.3 zeigt.

Wiederholung Kap. 4 Sec. 4.2: die Querkontraktionszahl $\nu = -\varepsilon_{\text{quer}}/\varepsilon_{\text{laengs}}$ misst das Verhältnis von Quer- zu Längsdehnung bei reinem Zug. Stahl $\nu \approx 0{,}3$, Gummi $\nu \to 0{,}5$, Kork $\nu \approx 0$.

Zentrale Erkenntnis. Ein linear-elastisches isotropes Material hat nur zwei unabhängige Materialkonstanten, nicht drei. Aus $E$ und $\nu$ folgt $G$ automatisch durch eine Kopplungs-Beziehung.

Anschauliche Begründung. Reine Schubspannung in einem $xy$-Koordinatensystem entspricht reiner Zug-Druck-Belastung in einem $45°$-gedrehten Koordinatensystem: in der einen Hauptachse Zug $+\tau$, in der anderen Druck $-\tau$. Die Längsdehnung dieser Hauptachsen-Belastung folgt aus 1D-Hooke mit Querkontraktion. Über die Kompatibilität der Verformungen lässt sich $G$ aus $E$ und $\nu$ herleiten. Resultat:

Cross-Check mit typischen Werten. Stahl: $E = 200$ GPa, $\nu = 0{,}3$, also $G = 200/(2 \cdot 1{,}3) \approx 77$ GPa. Stimmt mit dem typischen Wert $80$ GPa überein. Aluminium: $E = 70$ GPa, $\nu = 0{,}33$, also $G = 70/(2 \cdot 1{,}33) \approx 26$ GPa. Auch konsistent.

Aufgabe (aus Übungsserie 5, Hausübung H2). Gegeben sei ein linear-elastischer Stab (Elastizitätsmodul $E$) mit variablem Querschnitt: Querschnittsfläche $A_1$ im Bereich $A$-$B$ (Länge $l$), Querschnittsfläche $A_2$ im Bereich $B$-$C$ (Länge $2l$). Der Stab ist an der Stelle $A$ eingespannt. An der Stelle $C$ greift eine Kraft mit Betrag $F_1 = 2P$ an, an der Stelle $B$ eine weitere Kraft mit Betrag $F_2 = P$ (beide in negative $x$-Richtung).

(a) Normalspannung $\sigma_x$ in der Mitte des Abschnitts $B$-$C$ bei $x = 2l$ berechnen. (b) Querschnittsflächen-Verhältnis $A_1/A_2$ bestimmen, so dass $\sigma_x(x=l/2) = \sigma_x(x=2l)$. (c) Verschiebung des Punktes $C$ in $x$-Richtung für $A_1 = A$ und das unter (b) bestimmte Verhältnis.

Aufgabe (aus Übungsserie 5, Schnellübung S2). Die durch den Spannungstensor

$\{\underline{\underline{T}}\}_{xy} = \begin{pmatrix} 200 & 744 \\ 744 & 150 \end{pmatrix}\,\mathrm{MPa}$

beschriebenen Spannungen verformen einen ursprünglich rechteckigen Bereich der Grösse $400 \times 300$ mm in das skizzierte Trapez. Die obere Kante verschiebt sich um $5$ mm nach rechts, die rechte Kante um $5$ mm nach oben. Bestimme den Schubmodul $G$ unter der Annahme linear-elastischen Materialverhaltens.

Das 1D-Hooke-Gesetz $\sigma = E\,\varepsilon$ reicht nur für reine Zug-Druck-Belastung in einer Achse. Real wirken auf einen Materialpunkt in 3D bis zu sechs unabhängige Spannungs-Komponenten ($\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z, \tau_{xy}, \tau_{xz}, \tau_{yz}$), und diese erzeugen kombinierte Verzerrungen.

Spannungs-Verzerrungs-Kopplung. Eine Zugspannung $\sigma_x$ erzeugt nicht nur eine Längsdehnung $\varepsilon_x$, sondern wegen Querkontraktion auch $\varepsilon_y$ und $\varepsilon_z$ (negativ). Wirken zusätzlich $\sigma_y$ oder $\sigma_z$, addieren sich ihre Beiträge zu jeder Komponente. Das ist Superposition.

Schub-Komponenten sind unabhängig. $\tau_{xy}$ erzeugt nur $\varepsilon_{xy}$, nicht $\varepsilon_{xz}$ oder $\varepsilon_{yz}$. Das Schubgesetz ist diagonal: jede Schubspannung koppelt nur zu ihrer eigenen Schubverzerrung. Mit der Kopplung aus Sec. 1.3 ($G = E/(2(1+\nu))$) lässt sich das auch in $E$ und $\nu$ ausdrücken.

Sechs Spannungs- und sechs Verzerrungs-Komponenten in Spaltenvektoren packen. Das Stoffgesetz wird zu einer Matrixgleichung $\vec{\varepsilon} = \underline{\underline{H}} \cdot \vec{\sigma}$. Die $6 \times 6$-Matrix $\underline{\underline{H}}$ heisst Nachgiebigkeitsmatrix (compliance) und packt alle Querkontraktionen und Schub-Beiträge in eine kompakte Form.

Drei Blöcke. Normal-Normal oben links: Diagonale $1/E$, Off-Diagonalen $-\nu/E$. Schub-Schub unten rechts: Diagonale $(1+\nu)/E$, Off-Diagonalen null. Cross-Blöcke Normal-Schub und Schub-Normal: alles null.

Die Steifigkeitsmatrix $\underline{\underline{K}} = \underline{\underline{H}}^{-1}$ liefert Spannung aus Verzerrung. Vorfaktor $E/(1+\nu)$, im Normal-Normal-Block sind die Diagonalen $(1-\nu)/(1-2\nu)$ und die Off-Diagonalen $\nu/(1-2\nu)$. Schub-Komponenten haben Faktor $1$ (mit dem Vorfaktor zusammen also $E/(1+\nu)$).

Achtung: Pol bei $\nu = 0{,}5$ wegen $1 - 2\nu$ im Nenner. Das ist die Inkompressibilitätsgrenze; für ideal-inkompressible Materialien funktioniert die Steifigkeitsmatrix nicht direkt.

Tensor-Kompaktform. Statt mit der $6 \times 6$-Matrix zu multiplizieren, lässt sich der Spannungstensor direkt aus dem Verzerrungstensor in einer kompakten Tensor-Schreibweise berechnen. Diese Form spart in der Klausur deutlich Zeit, weil keine Vektorisierung notwendig ist.

Inverse Tensor-Form: $\varepsilon$ aus $\sigma$. Symmetrisch zum direkten Weg: aus dem Spannungstensor lässt sich der Verzerrungstensor in Tensor-Schreibweise direkt zurückberechnen, ohne $6 \times 6$-Matrix-Inversion. Das ist die kompakte Form der Nachgiebigkeitsmatrix $\underline{\underline{H}}$.

Aufgabe (aus Übungsserie 5, Hausübung H3). An einem Materialpunkt im Inneren eines Körpers wurde mit Hilfe von Tomographiebildern der folgende Verzerrungstensor im $xyz$-Koordinatensystem bestimmt:

$\{\underline{\underline{E}}\}_{xyz} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & \sqrt{3} \\ 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 0 & 2 \end{pmatrix}\,\varepsilon_0 \quad \text{mit } \varepsilon_0 = 10^{-4}$

Bestimme die zugehörigen Hauptspannungen unter der Annahme linear-elastischen Stoffverhaltens (Elastizitätsmodul $E$, Querkontraktionszahl $\nu = 1/3$).

Erwärmung um $\Delta T$ verlängert den Körper. Pro Längeneinheit ist die thermische Dehnung $\varepsilon_{\text{th}} = \alpha\,\Delta T$. Die Materialkonstante $\alpha$ heisst thermischer Ausdehnungskoeffizient, Einheit $1/\mathrm{K}$. Typische Werte: Stahl $\alpha \approx 12 \cdot 10^{-6}/\mathrm{K}$, Beton $\alpha \approx 10 \cdot 10^{-6}/\mathrm{K}$, Aluminium $\alpha \approx 23 \cdot 10^{-6}/\mathrm{K}$.

Wichtig: Wärmedehnung wirkt isotrop auf alle drei Normalkomponenten gleichermassen, nicht auf Schub. Ein Material erwärmt sich symmetrisch, dehnt sich in alle Richtungen gleich, und ändert keine Materialwinkel. Im Verzerrungstensor bedeutet das: nur die Diagonale bekommt einen $\alpha\,\Delta T$-Beitrag, die Off-Diagonalen bleiben unbeeinflusst.

Erweiterte Form der Stoffmatrix: $\vec{\varepsilon} = \underline{\underline{H}}\,\vec{\sigma} + \vec{\varepsilon}_{\text{th}}$. Die thermische Verzerrung wird additiv ergänzt. In der Vektorform: $\alpha\,\Delta T$ auf den ersten drei Einträgen (Normalkomponenten), nullen auf den drei Schub-Einträgen.

Anschauung: das Material wird zuerst frei erwärmt (rein thermische Dehnung $\alpha\,\Delta T$ in jeder Achse), dann zusätzlich durch externe Kräfte mechanisch verformt. Beide Effekte addieren sich linear.

Skalare Form pro Komponente. Aus der Matrix-Form folgen die drei skalaren Hooke-Gleichungen mit Wärmebeitrag, die in Klausur-Aufgaben direkt einsetzbar sind.

Schlüsselkonzept. Wenn ein Material erwärmt wird, aber nicht ausweichen kann (etwa zwischen starren Wänden eingeklemmt), entsteht eine Spannung, ohne dass eine resultierende Verzerrung sichtbar wird. Anschein-Paradox: $\sigma$ ohne $\varepsilon$.

Auflösung. Beide Anteile existieren tatsächlich: Das Material würde sich thermisch ausdehnen ($\varepsilon_{\text{th}} = \alpha\,\Delta T$), darf aber nicht. Die Wand erzeugt eine Druckspannung, deren mechanischer Verzerrungsanteil $\varepsilon_{\text{mech}} = -\alpha\,\Delta T$ die thermische Dehnung kompensiert. Die Gesamtverzerrung ist null. Die Spannung allerdings bleibt real und kann das Material zerstören.

Vorgehen für Klausur-Aufgaben. Setze die Gesamtverzerrung in der eingeklemmten Richtung gleich null; löse die Stoffgleichung nach der unbekannten Spannung auf. Übungsserie 5 S1 ist der Standard-Fall.

Aufgabe (aus Übungsserie 5, Schnellübung S1). Ein elastischer Quader der Höhe $h$, Breite $a$ und Tiefe $b$ wird durch die Kraft $P$ in einen Hohlraum derselben Querschnittsfläche $A = ab$ gepresst und dann um $\Delta T$ erwärmt. Sowohl der Stempel wie auch die Wände können als starr angenommen werden (Reibung mit der Wand vernachlässigbar). Gegeben: $E$, $\nu$, $\alpha$, $\Delta T$.

(a) Wie gross sind die auftretenden Spannungen? (b) Welche Verschiebung erfolgt in Richtung der Kraft?

Wiederholung Mech I: Lagerreaktionen folgen aus Gleichgewicht. Wenn die Anzahl unabhängiger Reaktionen grösser ist als die Anzahl Gleichgewichts-Gleichungen, ist das System statisch unbestimmt. Die Geometrie allein bestimmt die Reaktionen nicht eindeutig.

Beispiel Verbundstütze. Stahlträger und Betonmantel parallel, ein Dach drückt von oben mit Gesamtkraft $K$. Eine Gleichgewichts-Gleichung: $K_S + K_B = K$. Aber zwei Unbekannte: $K_S$ und $K_B$. Ohne weitere Gleichung nicht eindeutig lösbar.

Idee. Die zusätzliche Gleichung kommt nicht aus der Statik, sondern aus der Verformung: am Kontaktpunkt müssen sich beide Teile gleich weit verschieben (sonst entsteht eine Lücke oder Überlappung). Diese Bedingung heisst Verträglichkeit.

Verträglichkeitsbedingung. An einem Kontaktpunkt zwischen verbundenen Bauteilen müssen die Verschiebungen aller Teile gleich sein. Sonst entsteht eine Lücke (Trennung) oder eine Überlappung (Eindringen), beides physikalisch unmöglich.

Vorgehen in 4 Schritten. Diese Methodik passt für jede statisch unbestimmte Aufgabe.

Aufgabe (aus Übungsserie 5, Hausübung H4). Ein Teil eines Daches wird durch eine Stahl-Beton-Verbundstütze der Länge $H$ getragen, die einem betonummantelten Stahlprofil entspricht. Stahl: E-Modul $E_S$, Querschnittsfläche $A_S$. Beton: E-Modul $E_B$, Querschnittsfläche $A_B$. Die Stütze ist mit dem Dach so verbunden, dass alle Materialpunkte (Stahl und Beton) im Kontaktquerschnitt die gleiche axiale Verschiebung erfahren. Das Dach übt auf die Stütze eine Gesamtkraft $K$ aus.

(a) Welche Kräfte müssen die Teilquerschnitte $A_S$ und $A_B$ übernehmen? (b) Welche Gesamtlängenänderung erfährt die Verbundstütze? (c) Vertikalverschiebung als Funktion der eingezeichneten $x$-Koordinate.