IV.7 Funktionen in drei Variablen

Bei zwei Variablen war der Graph eine Hügel-Landschaft im Raum. In drei Variablen wäre er eine vierdimensionale Hyperfläche, die wir nicht mehr direkt zeichnen können. Wir brauchen ein anderes Werkzeug: Niveauflächen.

Stell dir den Druck im Raum vor: an jedem Punkt $(x, y, z)$ liefert ein Sensor einen Wert $p(x, y, z)$. Das ist eine Funktion in drei Variablen. Genauso wie in zwei Variablen ordnet sie jedem Punkt eine reelle Zahl zu, nur lebt der Definitionsbereich jetzt im Raum statt in der Ebene.

Zwei Beispiele aus der Mitschrift, die uns durch das ganze Kapitel begleiten. Erstens die lineare Funktion mit vier Konstanten:

Zweitens eine radiale Funktion, also eine, deren Wert nur vom Abstand zum Ursprung abhängt. Beispielhaft das Coulomb-typische Inverse-Abstand-Profil:

Bilder einer Funktion in drei Variablen sind schwierig zu zeichnen, denn der Graph $\{(x, y, z, f(x, y, z))\}$ liegt in vier Dimensionen (drei Eingang, ein Ausgang). Wir verwenden stattdessen oft Niveauflächen, das nächste Section führt sie ein.

Wie zeichnen wir eine Funktion in drei Variablen, wenn der direkte Graph in vier Dimensionen lebt? Antwort: wir schneiden den Definitionsbereich in 'gleiche-Wert-Schichten'. Niveauflächen sind das Pendant zu den Niveaulinien aus IV.1, eine Stufe höher.

Definition wie in IV.1, nur mit drei statt zwei Eingangs-Variablen. Die Menge aller Punkte, an denen $f$ einen festen Wert $C$ annimmt:

Beispiel linear. Setze in $f(x,y,z) = ax+by+cz+d$ den Wert $f = C$. Auflösen liefert eine Ebene im Raum:

Beispiel radial. Setze in $g(\vec{r}) = 1/\lvert\vec{r}\rvert$ den Wert $g = c$. Auflösen liefert $\lvert\vec{r}\rvert = 1/c$, also eine Kugelschale mit Radius $1/c$. Punkte näher am Ursprung haben grössere Werte, weil $1/\lvert\vec{r}\rvert$ wächst, wenn $\lvert\vec{r}\rvert$ schrumpft.

Was heisst 'Steigung' im Raum, wenn drei Eingangs-Variablen herumliegen? Genau das, was IV.2 für zwei Variablen schon gelöst hat: friere zwei Variablen ein, leite nach der dritten ab. Die partielle Ableitung verallgemeinert sich direkt, jetzt mit drei Auswahl-Möglichkeiten statt zwei.

Definition wie in IV.2, nur mit einer dritten Variable im Funktionswert. Beim Limes wandert nur eine Komponente, die anderen beiden bleiben fest:

Mit drei Komponenten haben wir drei partielle Ableitungen: $f_x$, $f_y$, $f_z$. Jede misst die Steigung der Slice-Funktion entlang einer Koordinatenachse. Alle Rechen-Tricks aus IV.2 (Produktregel, Kettenregel, Quotientenregel) gelten weiter, einfach mit den jeweils nicht-abgeleiteten Variablen als Parameter.

Die Mitschrift führt zwei kompakte Schreibweisen ein, die wir ab jetzt durchgehend nutzen: $\vec{r} := (x, y, z)$ für den Bahnpunkt und $\vec{r}_0 := (x_0, y_0, z_0)$ für einen festen Auswertungspunkt. Statt $f_x(x_0, y_0, z_0)$ schreiben wir oft kurz $f_x(\vec{r}_0)$.

Spielt die Reihenfolge der Ableitungen eine Rolle, wenn jetzt drei Variablen vorhanden sind? Antwort: nein, genau wie in zwei Variablen. Schwarz aus IV.3 verallgemeinert sich auf drei (und mehr) Variablen: bei stetigen Mischableitungen zählt nur die Anzahl der Ableitungen pro Variable, nicht die Reihenfolge.

Konkret heisst das: $f_{xy}$ und $f_{yx}$ sind gleich (Schwarz in zwei Variablen). Mit einer dritten Variable kommen Permutationen wie $f_{xyz}$ vs $f_{zyx}$ vs $f_{yxz}$ ins Spiel. Sind alle Mischableitungen stetig, sind sie alle gleich. Nur der Multi-Index $(a, b, c)$ zählt: wie oft nach $x$, wie oft nach $y$, wie oft nach $z$.

Beweis-Idee: jede Permutation entsteht aus jeder anderen durch endlich viele paarweise Vertauschungen benachbarter Indizes. Genau das macht der Schwarz-Beweis aus IV.3 §2.2 für je zwei benachbarte Variablen. Durch Iteration kommt man zu jeder gewünschten Reihenfolge. Voraussetzung: die Mischableitungen, die unterwegs aufgerufen werden, sind alle stetig.

In IV.3 §3 hatten wir gefragt: gegeben zwei Funktionen $\varphi, \psi$, gibt es ein $f$ mit $f_x \equiv \varphi$ und $f_y \equiv \psi$? Antwort: ja, falls die Integrabilitätsbedingung $\varphi_y \equiv \psi_x$ erfüllt ist. Mit drei Variablen ändert sich nur die Anzahl der Bedingungen, das Pattern bleibt identisch.

Geben wir uns drei Funktionen $\varphi, \psi, \chi$ vor, gesucht ist ein $f$ mit $f_x \equiv \varphi$, $f_y \equiv \psi$, $f_z \equiv \chi$. Welche Konsistenz-Bedingungen müssen $\varphi, \psi, \chi$ erfüllen, damit ein solches $f$ existieren kann?

Sind diese drei Bedingungen erfüllt (auf einem achsenparallelen Quader), dann existiert tatsächlich ein $f$, das alle drei Anforderungen gleichzeitig erfüllt. Das ist der volle Satz:

Beispiel aus der Mitschrift. Seien $\varphi = 3x^2 + 3y - 1$, $\psi = z^2 + 3x$, $\chi = 2yz + 1$. Existiert ein passendes $f$? Erst IB-Check, dann Rekonstruktion.

Rekonstruktion (Variante 2 aus IV.3 §4.2, hier mit drei Schritten). Erst $f_x \equiv \varphi$ in $x$ integrieren, die 'Konstante' ist eine Funktion $u(y, z)$ in den anderen beiden Variablen. Dann $f_y$ aus dem Skelett ableiten und mit $\psi$ vergleichen, das gibt $u_y$. Dann $u_y$ in $y$ integrieren, die 'Konstante' ist eine Funktion $v(z)$ in $z$. Schliesslich $f_z$ ableiten, mit $\chi$ vergleichen, $v(z)$ aus Integration.

Einsetzen liefert das vollständige $f$. Eindeutig bis auf eine reelle Konstante $C$, wie man es von Stammfunktionen erwartet:

Die Verallgemeinerte Kettenregel aus IV.6 §2.3 erweitert sich auf drei Variablen mit einem dritten Term. Mehr passiert konzeptuell nicht. Sei $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))^\top$ eine Raumkurve für $t \in [t_A, t_B]$, und $F(t) := f(\vec{r}(t))$ die Funktion entlang dieser Bahn.

Die Mechanik des Beweises ist identisch zu IV.6 §2.1 und §2.2 (Klein-o-Trick mit der Approximations-Differenz), nur dass der lineare Anteil jetzt drei Summanden statt zwei hat. Damit ergibt sich:

Der Gradient bekommt eine dritte Komponente und wird damit zu einem Vektorfeld in drei Variablen. Jedem Punkt $\vec{r}$ wird ein Vektor in $\mathbb{R}^3$ zugeordnet:

Beispiel linear. Bei $f(x,y,z) = ax + by + cz + d$ sind die partiellen Ableitungen die drei Konstanten $a, b, c$. Damit ist der Gradient an jedem Punkt derselbe Vektor:

Eine Operator-Schreibweise vereinfacht die spätere Vektoranalysis-Notation enorm. Statt $\operatorname{grad}(f)$ als Funktion zu sehen, betrachten wir den Gradienten als Anwendung eines Operator-Vektors auf $f$. Dieser Operator heisst Nabla:

Auf eine Skalarfunktion $f$ angewandt liefert Nabla genau den Gradienten. Schreibweise: Operator-Vektor mal Skalar, das ist ein Vektor.

Skalarprodukt $\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla}$ als Operator: jede Komponente quadrieren (also zweite partielle Ableitung) und summieren. Angewandt auf $f$ liefert das die Summe der zweiten partiellen Ableitungen, was den Laplace-Operator definiert:

Beispiel radial. Sei $g(\vec{r}) = 1/\lvert\vec{r}\rvert^2 = 1/(x^2 + y^2 + z^2)$. Wir bestimmen den Gradienten. Quotientenregel auf die $x$-Komponente:

Partielle Ableitungen sind Steigungen entlang der Koordinatenachsen. Wie steil ist es aber, wenn ich in eine beliebige Richtung gehe, zum Beispiel diagonal nach Nord-Ost? Genau diese Frage beantwortet die Richtungsableitung.

Setup. Sei $K$ eine Gerade durch $\vec{r}_0 = (x_0, y_0, z_0)^\top$ mit Richtungsvektor $\vec{e}$. Parametrisierung $\vec{r}: t \mapsto \vec{r}_0 + \vec{e}\, t$, dabei ist $\vec{e}$ ein Einheitsvektor ($\lvert\vec{e}\rvert = 1$), so dass $t$ die echte Bogenlänge entlang $K$ ist. Die Funktion entlang dieser Geraden ist $F(t) := f(\vec{r}(t))$.

Per Verallgemeinerter Kettenregel: $F'(t) = \operatorname{grad}(f(\vec{r}(t))) \cdot \dot{\vec{r}}(t)$. Mit $\dot{\vec{r}}(t) = \vec{e}$ konstant und an der Stelle $t = 0$ (also $\vec{r}(0) = \vec{r}_0$) ergibt das die Definition:

Spezialfall x-Richtung. Setze $\vec{e} = (1, 0, 0)^\top$ ein. Skalarprodukt mit $\operatorname{grad}(f)$ liefert nur die erste Komponente, also genau $f_x$. Die Richtungsableitung in $x$-Richtung ist die partielle Ableitung nach $x$:

Beispiel sin(xyz). Sei $f(x,y,z) = \sin(xyz)$, $\vec{r}_0 = (1, 1, 0)^\top$ und $\vec{e} = \tfrac{1}{\sqrt{3}}(-1, -1, 1)^\top$. Erst Einheitsvektor verifizieren: $\lvert\vec{e}\rvert^2 = \tfrac{1}{3}(1 + 1 + 1) = 1$, passt.

Gradient von $f$ per Kettenregel: $f_x = \cos(xyz) \cdot yz$, $f_y = \cos(xyz) \cdot xz$, $f_z = \cos(xyz) \cdot xy$. Kompakt $\operatorname{grad}(f) = \cos(xyz) \cdot (yz, xz, xy)^\top$. Auswerten bei $\vec{r}_0 = (1, 1, 0)$: $\cos(1 \cdot 1 \cdot 0) = \cos(0) = 1$ und $(yz, xz, xy)|_{\vec{r}_0} = (0, 0, 1)$:

Bei festem $f$ und $\vec{r}_0$ ist die Richtungsableitung eine Funktion in $\vec{e}$. Sie wird maximal genau dann, wenn $\vec{e}$ in Richtung $\operatorname{grad}(f(\vec{r}_0))$ zeigt. Beweis-Idee per Cauchy-Schwarz: $\lvert\operatorname{grad}(f) \cdot \vec{e}\rvert \leq \lvert\operatorname{grad}(f)\rvert \cdot \lvert\vec{e}\rvert = \lvert\operatorname{grad}(f)\rvert$, mit Gleichheit genau dann, wenn $\vec{e}$ parallel zu $\operatorname{grad}(f)$ ist.

Alternativ direkt: $\operatorname{grad}(f) \cdot \vec{e} = \lvert\operatorname{grad}(f)\rvert \cdot \lvert\vec{e}\rvert \cdot \cos(\theta) = \lvert\operatorname{grad}(f)\rvert \cos(\theta)$, wobei $\theta$ der Winkel zwischen $\operatorname{grad}(f)$ und $\vec{e}$ ist. Maximal bei $\theta = 0$, also $\vec{e}$ parallel zu $\operatorname{grad}(f)$. Das maximale Skalarprodukt ist genau $\lvert\operatorname{grad}(f)\rvert$.

Senkrecht-Argument. Was passiert bei $D_{\vec{e}} f(\vec{r}_0) = 0$? Die Richtungsableitung ist Null genau dann, wenn $\vec{e}$ senkrecht auf $\operatorname{grad}(f)$ steht. Per Verallgemeinerter Kettenregel heisst $D_{\vec{e}} f = 0$, dass $f$ entlang der Geraden in Richtung $\vec{e}$ momentan konstant ist. Das bedeutet: $\vec{e}$ liegt tangential in der Niveaufläche durch $\vec{r}_0$.

Folgerung in einem Satz: der Gradient steht an jedem Punkt senkrecht auf der Niveaufläche durch diesen Punkt, und damit auch senkrecht auf der Tangentialebene an die Niveaufläche.

Die implizite Tangenten-Methode aus IV.6 §4 verallgemeinert sich auf Flächen im Raum. Statt einer Tangenten-Geraden bekommen wir eine Tangentialebene, statt einer Tangentensteigung einen Normalenvektor. Setup wie immer: Niveaufläche, Punkt darauf, Werkzeug ist die Senkrecht-Stehung des Gradienten aus §6.1.

Setup. Sei $Q = \{f(\vec{r}) = C\}$ eine Niveaufläche und $\vec{r}_0 \in Q$ ein Punkt darauf. Da $\operatorname{grad}(f(\vec{r}_0))$ senkrecht zur Niveaufläche steht (siehe §6.1), ist die Tangentialebene $T$ an $Q$ in $\vec{r}_0$ charakterisiert durch: $\vec{r} \in T \Longleftrightarrow (\vec{r} - \vec{r}_0) \perp \operatorname{grad}(f(\vec{r}_0))$, was als Skalarprodukt heisst:

Beispiel Quadrik. Sei $Q: \alpha x^2 + \beta y^2 + \gamma z^2 = C$ mit $(\alpha, \beta, \gamma) \neq (0, 0, 0)$. Je nach Vorzeichen-Kombination ist $Q$ ein Ellipsoid (alle positiv), ein Hyperboloid (gemischte Vorzeichen), ein Kegel oder ein Zylinder. Setze $f(x, y, z) := \alpha x^2 + \beta y^2 + \gamma z^2$. Damit ist $Q$ die Niveaufläche zum Niveau $C$.

Gradient durch komponentenweises Ableiten: $f_x = 2\alpha x$, $f_y = 2\beta y$, $f_z = 2\gamma z$. Auswerten am Punkt $\vec{r}_0 = (x_0, y_0, z_0)^\top$:

Tangentialebene ausschreiben: $(\vec{r} - \vec{r}_0) \cdot \operatorname{grad}(f(\vec{r}_0)) = 0$ wird zu $2\alpha x_0(x - x_0) + 2\beta y_0(y - y_0) + 2\gamma z_0(z - z_0) = 0$. Ausmultiplizieren plus die Punkt-auf-Quadrik-Bedingung $\alpha x_0^2 + \beta y_0^2 + \gamma z_0^2 = C$ einsetzen liefert eine elegante implizite Form:

Aufgaben werden vom Nutzer geliefert. Standard-Vorgehen: bei IB-Aufgaben in drei Variablen erst alle drei Bedingungen prüfen ($\varphi_y \equiv \psi_x$, $\varphi_z \equiv \chi_x$, $\psi_z \equiv \chi_y$), dann Variante 2 mit gestaffelten Integrations-Funktionen $u(y, z)$ und $v(z)$ (siehe §3.3 Cheat-Sheet). Bei Richtungsableitung erst Einheitsvektor $\lvert\vec{e}\rvert = 1$ sicherstellen, dann $\operatorname{grad}(f)$ am Punkt ausrechnen, dann Skalarprodukt bilden. Bei Tangentialebene-Aufgaben Niveau-Funktion identifizieren, $\operatorname{grad}(f)$ am Punkt ausrechnen, Ebenen-Gleichung $(\vec{r} - \vec{r}_0) \cdot \operatorname{grad}(f(\vec{r}_0)) = 0$ hinschreiben, ggf. mit $\vec{r}_0 \in Q$-Bedingung elegant umformen (siehe §7.1 Cheat-Sheet).