IV.8 Koordinatentransformation

1.1 Symmetrie ausnutzen, Beispiele Polar-, Zylinder-, Kugelkoordinaten

Oft lässt sich die mathematische Formulierung eines Problems durch die Wahl von geeigneten Koordinaten vereinfachen. Wenn die Symmetrie der Funktion zu den Koordinaten passt, schrumpfen Rechnungen zusammen, die in kartesischen Variablen seitenlang wären.

Drei Standard-Wechsel begleiten dich durch das ganze Studium: Polarkoordinaten in R2\mathbb{R}^2 (für radiale Symmetrie um einen Punkt), Zylinderkoordinaten in R3\mathbb{R}^3 (für axial-symmetrische Probleme um eine Achse) und Kugelkoordinaten in R3\mathbb{R}^3 (für punkt-symmetrische Probleme um den Ursprung). Mitschrift S. 33 nennt diese drei explizit als Standard-Repertoire.

Bild im Kopf für Polar: ein gleichmässiges (ρ,φ)(\rho, \varphi)-Gitter in der neuen Koordinaten-Ebene wird unter der Polar-Transformation zu einem krummlinigen Gitter aus Kreisen (festes ρ\rho) und Strahlen (festes φ\varphi) in der (x,y)(x, y)-Ebene. Eine Funktion f(x,y)f(x, y) als Skalarfeld auf der Ebene wird in den neuen Variablen zu einer transformierten Funktion f~(ρ,φ)=f(x(ρ,φ),y(ρ,φ))\tilde{f}(\rho, \varphi) = f(x(\rho, \varphi), y(\rho, \varphi)).

Die Tilde markiert: gleicher Funktionswert, andere Variablen. ff lebt über (x,y)(x, y), f~\tilde{f} über (ρ,φ)(\rho, \varphi). Inhaltlich derselbe Skalar an jedem Raumpunkt, nur mit anderen Adressen versehen.

Kernfrage des Kapitels. Wie verhalten sich partielle Ableitungen unter solchen Transformationen? Konkret: wie hängt f~ρ\tilde{f}_\rho mit fxf_x und fyf_y zusammen, und wie sieht der Laplace-Operator Δf=fxx+fyy\Delta f = f_{xx} + f_{yy} in den neuen Variablen aus? Antwort kommt in §2 bis §5, Anwendung auf die Wellengleichung in §6.

Definition Transformierte Funktion f~\tilde{f}
f~(ρ,φ):=f(x(ρ,φ),y(ρ,φ))\tilde{f}(\rho, \varphi) := f(x(\rho, \varphi), y(\rho, \varphi)). Gleiche Funktion in den neuen Variablen ausgewertet. Wert identisch, Variablen anders.
Notation Tilde-Konvention ff vs f~\tilde{f}
ff ist die originale Funktion in (x,y)(x, y), f~\tilde{f} dieselbe Funktion ausgewertet über die Substitution (x(ρ,φ),y(ρ,φ))(x(\rho, \varphi), y(\rho, \varphi)). Derselbe Wert, andere Variablen, neue Ableitungs-Notation f~ρ\tilde{f}_\rho statt fxf_x.
Merke Drei Standard-Wechsel
Repertoire: Polar in R2\mathbb{R}^2 (radiale Symmetrie), Zylinder in R3\mathbb{R}^3 (axial), Kugel in R3\mathbb{R}^3 (punkt-symmetrisch). Jede Wahl hat ihren Symmetrie-Trigger.
Querverweis Verweise
→ IV.6 §2.3 Verallgemeinerte Kettenregel
→ IV.7 §4.2 Laplace in drei Variablen

2.1 Definition x=ρcos⁡φx = \rho \cos\varphi, y=ρsin⁡φy = \rho \sin\varphi und Jacobi-Komponenten

Wir starten mit dem Standard-Beispiel: Polarkoordinaten. Jeder Punkt der Ebene ausser dem Ursprung wird durch einen Abstand ρ>0\rho > 0 zum Ursprung und einen Winkel φ∈[0,2π)\varphi \in [0, 2\pi) zur positiven xx-Achse eindeutig adressiert. Das ist die Polar-Parametrisierung der Ebene.

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Polarkoordinaten Definition
x(ρ,φ)=ρcos⁡φ,    y(ρ,φ)=ρsin⁡φx(\rho, \varphi) = \rho \cos\varphi,\;\; y(\rho, \varphi) = \rho \sin\varphi
Standard-Konvention: ρ\rho ist der Abstand zum Ursprung, φ\varphi der Winkel zur positiven xx-Achse. Mitschrift S. 33.

Eine Skalarfunktion f(x,y)f(x, y) wird über die Polar-Parametrisierung in den neuen Variablen ausgedrückt. Wert identisch, Adresse anders:

Transformierte Funktion f~\tilde{f}
f~(ρ,φ)=f(x(ρ,φ), y(ρ,φ))\tilde{f}(\rho, \varphi) = f(x(\rho, \varphi),\, y(\rho, \varphi))
Komposition f~=f∘(x,y)\tilde{f} = f \circ (x, y). ff in den alten Variablen, f~\tilde{f} in den neuen.

Für die Verallgemeinerte Kettenregel aus IV.6 §2.3 brauchen wir die partiellen Ableitungen der Polar-Parametrisierung. Das sind die Jacobi-Komponenten: vier Ableitungen, jede der beiden Komponenten x,yx, y einmal nach ρ\rho und einmal nach φ\varphi.

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Jacobi-Komponenten Polar
xρ=cos⁡φ,xφ=−ρsin⁡φyρ=sin⁡φ,yφ=ρcos⁡φ\begin{aligned} x_\rho &= \cos\varphi, & x_\varphi &= -\rho \sin\varphi \\ y_\rho &= \sin\varphi, & y_\varphi &= \rho \cos\varphi \end{aligned}
Vier Einträge der Jacobi-Matrix. Achtung Vorzeichen bei xφx_\varphi: das Minus stammt aus ddφcos⁡φ=−sin⁡φ\frac{d}{d\varphi}\cos\varphi = -\sin\varphi. Häufige Vorzeichen-Falle.

Geometrische Lesart: für ein festes φ\varphi ist die Abbildung ρ↦(x(ρ,φ),y(ρ,φ))=(ρcos⁡φ,ρsin⁡φ)\rho \mapsto (x(\rho, \varphi), y(\rho, \varphi)) = (\rho \cos\varphi, \rho \sin\varphi) die Parametrisierung eines Strahls aus dem Ursprung mit Steigungs-Richtung (cos⁡φ,sin⁡φ)(\cos\varphi, \sin\varphi). Für ein festes ρ\rho wird die Abbildung φ↦(ρcos⁡φ,ρsin⁡φ)\varphi \mapsto (\rho \cos\varphi, \rho \sin\varphi) zur Kreislinie mit Radius ρ\rho. Strahlen und Kreise zusammen bilden das Polar-Gitter in der (x,y)(x, y)-Ebene.

Definition Polarkoordinaten
x=ρcos⁡φx = \rho \cos\varphi, y=ρsin⁡φy = \rho \sin\varphi mit ρ≥0\rho \geq 0 und φ∈[0,2π)\varphi \in [0, 2\pi). Adressiert jeden Punkt der Ebene ausser dem Ursprung eindeutig.
Notation φ\varphi in IV.8 ist Polar-Winkel (Pflicht)
Pflicht: φ\varphi in §2 bis §5 ist Polar-Winkel. SIEBTE Bedeutung in Kap. IV: Hilfsfunktion (IV.3 §2.2), IB-Komponente (IV.3 §3, IV.7 §3.3), Approximations-Differenz (IV.4 §3.1, IV.6 §2.1), lokale Auflösung (IV.6 §4.1), jetzt Polar-Winkel.
Notation ρ\rho vs Mitschrift-Symbol
Mitschrift schreibt den Polarradius handschriftlich mit einem Symbol, das wie ss aussieht; gemeint ist ρ\rho (rho). In dieser Page durchgehend ρ\rho, um Verwechslung mit Bogenlängen-ss aus IV.6 zu vermeiden.
Formel Spickzettel Polar
x=ρcos⁡φ,  y=ρsin⁡φx = \rho \cos\varphi,\; y = \rho \sin\varphi
Standard-Definition. Vier Jacobi-Komponenten in Tabelle in §2.2 (Cheat-Sheet A).
Querverweis Verweise
→ IV.6 §2.3 Verallgemeinerte Kettenregel zwei Variablen

2.2 Verallgemeinerte Kettenregel: f~ρ\tilde{f}_\rho und f~φ\tilde{f}_\varphi

Mit den Jacobi-Komponenten aus §2.1 und der Verallgemeinerten Kettenregel aus IV.6 §2.3 sind die Polar-Ableitungen f~ρ\tilde{f}_\rho und f~φ\tilde{f}_\varphi direkt ablesbar. Die Mechanik: f~=f∘(x,y)\tilde{f} = f \circ (x, y) ist eine Komposition, also gilt die Kettenregel mit allen Beiträgen entlang aller Variablen.

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f~ρ\tilde{f}_\rho in Polarkoordinaten
f~ρ=fx xρ+fy yρ=fxcos⁡φ+fysin⁡φ\tilde{f}_\rho = f_x\, x_\rho + f_y\, y_\rho = f_x \cos\varphi + f_y \sin\varphi
Skalarprodukt aus Gradient und der Spalte (xρ,yρ)⊤=(cos⁡φ,sin⁡φ)⊤(x_\rho, y_\rho)^\top = (\cos\varphi, \sin\varphi)^\top. Geometrisch: Steigung von ff in radiale Richtung.
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f~φ\tilde{f}_\varphi in Polarkoordinaten
f~φ=fx xφ+fy yφ=−fx ρsin⁡φ+fy ρcos⁡φ\tilde{f}_\varphi = f_x\, x_\varphi + f_y\, y_\varphi = -f_x\, \rho \sin\varphi + f_y\, \rho \cos\varphi
Faktor ρ\rho in beiden Termen, weil xφ,yφx_\varphi, y_\varphi proportional zu ρ\rho sind. Geometrisch: Steigung in tangentiale Richtung mal Bogenlänge ρ dφ\rho \,d\varphi.

Wichtig. In fxf_x und fyf_y wird die Polar-Substitution (x(ρ,φ),y(ρ,φ))(x(\rho, \varphi), y(\rho, \varphi)) eingesetzt. Es sind die kartesischen partiellen Ableitungen, ausgewertet am Polar-Bildpunkt, NICHT direkt fx(ρ,φ)f_x(\rho, \varphi). Diese Verwechslung ist ein Klassiker.

Beispiel aus Mitschrift S. 34. Sei f(x,y)=x2−y2f(x, y) = x^2 - y^2 und die Transformation x(u,v)=ucosh⁡vx(u, v) = u \cosh v, y(u,v)=usinh⁡vy(u, v) = u \sinh v. Diese hyperbolischen Koordinaten sind kein Polar-Wechsel, illustrieren aber dieselbe Mechanik. Bestimme f~v\tilde{f}_v.

Beispiel-Setup hyperbolische Koordinaten
f(x,y)=x2−y2x(u,v)=ucosh⁡v,    y(u,v)=usinh⁡vfx=2x,    fy=−2yxv=usinh⁡v,    yv=ucosh⁡v\begin{aligned} f(x, y) &= x^2 - y^2 \\ x(u, v) &= u \cosh v,\;\; y(u, v) = u \sinh v \\ f_x &= 2x,\;\; f_y = -2y \\ x_v &= u \sinh v,\;\; y_v = u \cosh v \end{aligned}
Vier Bauteile: Funktion, Transformation, partielle Ableitungen von ff, Jacobi-Komponenten in vv-Richtung. Genug für Verallgemeinerte Kettenregel.
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Beispiel f~v\tilde{f}_v Berechnung
f~v=fx xv+fy yv=2(ucosh⁡v)(usinh⁡v)−2(usinh⁡v)(ucosh⁡v)=0\begin{aligned} \tilde{f}_v &= f_x\, x_v + f_y\, y_v \\ &= 2(u \cosh v)(u \sinh v) - 2(u \sinh v)(u \cosh v) = 0 \end{aligned}
Die zwei Terme heben sich exakt auf. f~v≡0\tilde{f}_v \equiv 0 heisst: f~\tilde{f} ist konstant in vv. Test im nächsten Block.
Beispiel Test, f~\tilde{f} direkt
f~=(ucosh⁡v)2−(usinh⁡v)2=u2(cosh⁡2v−sinh⁡2v)=u2konstant in v  ⟹  f~v=0  ✓\begin{aligned} \tilde{f} &= (u \cosh v)^2 - (u \sinh v)^2 \\ &= u^2 (\cosh^2 v - \sinh^2 v) = u^2 \\ &\text{konstant in } v \;\Longrightarrow\; \tilde{f}_v = 0 \;\checkmark \end{aligned}
Direkte Verifikation per Identität cosh⁡2v−sinh⁡2v=1\cosh^2 v - \sinh^2 v = 1. Beide Wege liefern dasselbe Resultat, das Cross-Check funktioniert.
Variable nach ρ\rho nach φ\varphi
x=ρcos⁡φx = \rho \cos\varphi cos⁡φ\cos\varphi −ρsin⁡φ-\rho \sin\varphi
y=ρsin⁡φy = \rho \sin\varphi sin⁡φ\sin\varphi ρcos⁡φ\rho \cos\varphi
det⁡\det ρ\rho (regulär für ρ>0\rho > 0)
Cheat-Sheet A: Polarkoordinaten, Jacobi auf einen Blick. Spalten = Ableitung nach neuer Variable.
Formel Spickzettel f~ρ\tilde{f}_\rho
f~ρ=fxcos⁡φ+fysin⁡φ\tilde{f}_\rho = f_x \cos\varphi + f_y \sin\varphi
Steigung in radiale Richtung. Skalarprodukt aus Gradient und Polar-Einheitsvektor (cos⁡φ,sin⁡φ)(\cos\varphi, \sin\varphi).
Formel Spickzettel f~φ\tilde{f}_\varphi
f~φ=ρ(−fxsin⁡φ+fycos⁡φ)\tilde{f}_\varphi = \rho(-f_x \sin\varphi + f_y \cos\varphi)
Faktor ρ\rho ausgeklammert. Tangentiale Steigung mal Bogen-Skalierung.
Merke Argumente bei fx,fyf_x, f_y
Merke: fxf_x und fyf_y werden in (x(ρ,φ),y(ρ,φ))(x(\rho, \varphi), y(\rho, \varphi)) ausgewertet, NICHT direkt in (ρ,φ)(\rho, \varphi). Reihenfolge: erst Ableitung in (x,y)(x, y), dann Polar-Substitution einsetzen.
Querverweis Verweise
→ IV.6 §2.3 Verallgemeinerte Kettenregel Hauptsatz

3.1 Jacobi-Matrix MM und kompakte Schreibweise

Schreibt man f~ρ\tilde{f}_\rho und f~φ\tilde{f}_\varphi als Zeilenvektor und packt die vier Jacobi-Komponenten in eine Matrix, wird die Verallgemeinerte Kettenregel zu einer Matrix-Multiplikation. Das ist die kompakte Form, die im Bachelor- und Master-Studium der Standard ist.

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Matrix-Vektor-Form Polar
(f~ρf~φ)=(fxfy)⋅MM=(cos⁡φ−ρsin⁡φsin⁡φρcos⁡φ)\begin{aligned} \begin{pmatrix} \tilde{f}_\rho & \tilde{f}_\varphi \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} f_x & f_y \end{pmatrix} \cdot M \\ M &= \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\rho \sin\varphi \\ \sin\varphi & \rho \cos\varphi \end{pmatrix} \end{aligned}
MM ist die Jacobi-Matrix der Polar-Transformation. Einträge Mij=∂xi/∂ujM_{ij} = \partial x_i / \partial u_j mit alten Variablen xi=(x,y)x_i = (x, y) und neuen Variablen uj=(ρ,φ)u_j = (\rho, \varphi).

Diese Form ist die Verallgemeinerte Kettenregel für mehrere Variablen in Matrix-Vektor-Schreibweise. Sie skaliert direkt auf drei und mehr Variablen mit grösserer Jacobi-Matrix. Vergleich zur Form in IV.7 §4.1: dort hatten wir das Skalarprodukt grad⁡f⋅r⃗˙\operatorname{grad} f \cdot \dot{\vec{r}} für eine Raumkurve. Hier ist es Vektor mal Matrix statt Skalarprodukt, also analog. Genau genommen ist grad⁡f⋅r⃗˙\operatorname{grad} f \cdot \dot{\vec{r}} der Spezialfall mit einer Variable tt als 'neuer Koordinate', dann ist MM einspaltig und das Matrix-Produkt wird zum Skalarprodukt.

Definition Jacobi-Matrix MM
Matrix der partiellen Ableitungen alter nach neuen Variablen: Mij=∂xi/∂ujM_{ij} = \partial x_i / \partial u_j. Zeilen sind alte Variablen, Spalten sind neue Variablen.
Notation Zeile mal Matrix von rechts
Mitschrift-Konvention: (f~ρ,f~φ)=(fx,fy)⋅M(\tilde{f}_\rho, \tilde{f}_\varphi) = (f_x, f_y) \cdot M. Manche Texte schreiben Spaltenvektoren mit der Matrix von links; das ist die transponierte Variante, inhaltlich identisch.
Formel Spickzettel Matrix-Form
(f~ρ,f~φ)=(fx,fy)⋅M(\tilde{f}_\rho, \tilde{f}_\varphi) = (f_x, f_y) \cdot M
Kompakteste Form. Skaliert direkt auf nn Variablen mit n×nn \times n Jacobi-Matrix.
Querverweis Verweise
→ IV.7 §4.1 Verallgemeinerte Kettenregel drei Variablen

4.1 M−1M^{-1} multiplizieren, Polar-Beispiel

Manchmal hat man die transformierten Ableitungen f~ρ,f~φ\tilde{f}_\rho, \tilde{f}_\varphi und sucht die kartesischen fx,fyf_x, f_y zurück. Multiplikation mit M−1M^{-1} von rechts dreht die Transformation um. Die Inverse M−1M^{-1} existiert genau dann, wenn det⁡M≠0\det M \neq 0. Für Polar gilt det⁡M=ρcos⁡2φ+ρsin⁡2φ=ρ\det M = \rho \cos^2\varphi + \rho \sin^2\varphi = \rho, also überall regulär ausser am Pol ρ=0\rho = 0.

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M−1M^{-1} für Polar
M−1=(cos⁡φsin⁡φ−1ρsin⁡φ1ρcos⁡φ)\begin{aligned} M^{-1} &= \begin{pmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \\ -\tfrac{1}{\rho} \sin\varphi & \tfrac{1}{\rho} \cos\varphi \end{pmatrix} \end{aligned}
Standard-Inversion einer 2×22 \times 2-Matrix mit det⁡M=ρ\det M = \rho. Faktor 1/ρ1/\rho in der zweiten Zeile bringt die Singularität am Pol ρ=0\rho = 0.

Aus (f~ρ,f~φ)=(fx,fy)⋅M(\tilde{f}_\rho, \tilde{f}_\varphi) = (f_x, f_y) \cdot M folgt durch Rechts-Multiplikation mit M−1M^{-1} direkt (fx,fy)=(f~ρ,f~φ)⋅M−1(f_x, f_y) = (\tilde{f}_\rho, \tilde{f}_\varphi) \cdot M^{-1}. Komponentenweise ausgeschrieben:

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Auflösung nach fxf_x und fyf_y
fx=f~ρcos⁡φ−f~φ⋅1ρsin⁡φfy=f~ρsin⁡φ+f~φ⋅1ρcos⁡φ\begin{aligned} f_x &= \tilde{f}_\rho \cos\varphi - \tilde{f}_\varphi \cdot \tfrac{1}{\rho} \sin\varphi \\ f_y &= \tilde{f}_\rho \sin\varphi + \tilde{f}_\varphi \cdot \tfrac{1}{\rho} \cos\varphi \end{aligned}
Geometrische Lesart: fxf_x ist gewichtete Summe aus radialer Ableitung mit Faktor cos⁡φ\cos\varphi und tangentialer Ableitung mit Faktor −(1/ρ)sin⁡φ-(1/\rho)\sin\varphi. fyf_y analog mit anderen trigonometrischen Faktoren.

Die kartesische Ableitung ist also eine gewichtete Summe der Polar-Ableitungen: ein Stück 'Radialgewicht' (Faktoren cos⁡φ,sin⁡φ\cos\varphi, \sin\varphi) plus ein Stück 'Tangentialgewicht' (Faktoren mit 1/ρ1/\rho). Der Faktor 1/ρ1/\rho in den tangentialen Beiträgen ist die Bogenlängen-Korrektur: am Polargitter ist der Bogen pro Winkel-Schritt ρ dφ\rho \, d\varphi, beim Wechsel von Bogenlänge auf Winkel teilt man durch ρ\rho.

Definition Umkehrtransformation
Multiplikation der Polar-Ableitungen mit M−1M^{-1}: (fx,fy)=(f~ρ,f~φ)⋅M−1(f_x, f_y) = (\tilde{f}_\rho, \tilde{f}_\varphi) \cdot M^{-1}. Existiert wo det⁡M≠0\det M \neq 0, also für Polar überall ausser am Pol ρ=0\rho = 0.
Notation Singuläre Jacobi am Pol ρ=0\rho = 0 (Pflicht)
Pflicht-Hinweis: bei ρ=0\rho = 0 ist det⁡M=0\det M = 0, M−1M^{-1} existiert NICHT. Polar-Adresse selbst entartet (jeder Winkel führt zum Ursprung), daher f~φ\tilde{f}_\varphi am Pol nicht definiert. Umkehrung versagt nur dort und nur dort.
Merke Drei Vorzeichen-Stellen
Pass auf: xφ=−ρsin⁡φx_\varphi = -\rho \sin\varphi (Minus!), M−1M^{-1}-Eintrag −(1/ρ)sin⁡φ-(1/\rho)\sin\varphi (Minus!), und im fxf_x-Ausdruck −f~φ⋅(1/ρ)sin⁡φ-\tilde{f}_\varphi \cdot (1/\rho)\sin\varphi (Minus!). Alle drei aus derselben sin⁡φ\sin\varphi-Ableitung.
Formel Spickzettel M−1M^{-1} Polar
M−1:(cos⁡φ,sin⁡φ; −1ρsin⁡φ,1ρcos⁡φ)M^{-1}: (\cos\varphi, \sin\varphi;\, -\tfrac{1}{\rho} \sin\varphi, \tfrac{1}{\rho} \cos\varphi)
Zeilen-Schreibweise der Inverse-Matrix. Erster Block ist Radialgewicht, zweiter mit Faktor 1/ρ1/\rho ist Tangentialgewicht.

5.1 f~ρρ\tilde{f}_{\rho\rho} und f~φφ\tilde{f}_{\varphi\varphi} Herleitung

Zweite Ableitungen in den neuen Koordinaten sind die nächste Stufe. Die Rechnung ist mechanisch, aber lang: Verallgemeinerte Kettenregel zweimal hintereinander, plus Produktregel, plus Schwarz für die Mischableitungen. Genau dasselbe Pattern wie im Beweis aus IV.4 §3.2, hier nur ohne Klein-o-Limes.

Aus §2.2 wissen wir f~ρ=fxcos⁡φ+fysin⁡φ\tilde{f}_\rho = f_x \cos\varphi + f_y \sin\varphi. Erneut nach ρ\rho ableiten: cos⁡φ\cos\varphi und sin⁡φ\sin\varphi sind konstant in ρ\rho, daher entfällt die Produktregel. Jeder Faktor fx,fyf_x, f_y ist Funktion in (x(ρ,φ),y(ρ,φ))(x(\rho, \varphi), y(\rho, \varphi)), also wirkt die Verallgemeinerte Kettenregel: (fx)ρ=fxxcos⁡φ+fxysin⁡φ(f_x)_\rho = f_{xx} \cos\varphi + f_{xy} \sin\varphi und analog (fy)ρ=fyxcos⁡φ+fyysin⁡φ(f_y)_\rho = f_{yx} \cos\varphi + f_{yy} \sin\varphi. Mit Schwarz fxy=fyxf_{xy} = f_{yx} und Sortieren ergibt sich:

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f~ρρ\tilde{f}_{\rho\rho} Resultat
f~ρρ=fxxcos⁡2φ+2fxycos⁡φsin⁡φ+fyysin⁡2φ\tilde{f}_{\rho\rho} = f_{xx} \cos^2\varphi + 2 f_{xy} \cos\varphi \sin\varphi + f_{yy} \sin^2\varphi
Quadratische Form in (cos⁡φ,sin⁡φ)(\cos\varphi, \sin\varphi) mit Hesse-Matrix-Einträgen fxx,fxy,fyyf_{xx}, f_{xy}, f_{yy} als Koeffizienten.

Symmetrische Rolle für f~φφ\tilde{f}_{\varphi\varphi}, aber jetzt hängen sin⁡φ\sin\varphi und cos⁡φ\cos\varphi von φ\varphi ab, daher Produktregel notwendig. Aus f~φ=ρ(−fxsin⁡φ+fycos⁡φ)\tilde{f}_\varphi = \rho(-f_x \sin\varphi + f_y \cos\varphi) erneut nach φ\varphi ableiten: ρ\rho ist konstant in φ\varphi, fx,fyf_x, f_y sind Funktionen in (x,y)(x, y) und damit auch in φ\varphi via Substitution, sin⁡φ,cos⁡φ\sin\varphi, \cos\varphi direkt φ\varphi-abhängig. Drei Anwendungen der Produktregel plus Verallgemeinerte Kettenregel:

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f~φφ\tilde{f}_{\varphi\varphi} Resultat
f~φφ=ρ2(fxxsin⁡2φ−2fxycos⁡φsin⁡φ+fyycos⁡2φ)    −ρ⋅f~ρ\begin{aligned} \tilde{f}_{\varphi\varphi} &= \rho^2 \bigl( f_{xx} \sin^2\varphi - 2 f_{xy} \cos\varphi \sin\varphi + f_{yy} \cos^2\varphi \bigr) \\ &\;\; - \rho \cdot \tilde{f}_\rho \end{aligned}
Erster Klammer-Block: quadratische Form mit vertauschten cos⁡\cos- und sin⁡\sin-Rollen vs f~ρρ\tilde{f}_{\rho\rho}, plus Vorzeichen-Wechsel im Mischterm. Zusätzlicher Term −ρ⋅f~ρ-\rho \cdot \tilde{f}_\rho aus der Produktregel auf fx⋅sin⁡φf_x \cdot \sin\varphi und fy⋅cos⁡φf_y \cdot \cos\varphi.

Der zusätzliche Term −ρ⋅f~ρ-\rho \cdot \tilde{f}_\rho ist die Stelle, wo viele in der ersten Rechnung Vorzeichen verlieren. Quelle: bei f~φ=ρ(−fxsin⁡φ+fycos⁡φ)\tilde{f}_\varphi = \rho(-f_x \sin\varphi + f_y \cos\varphi) enthält der zweite Faktor explizit sin⁡φ,cos⁡φ\sin\varphi, \cos\varphi. Beim Ableiten nach φ\varphi wirkt die Produktregel auf jeden fx⋅sin⁡φf_x \cdot \sin\varphi- und fy⋅cos⁡φf_y \cdot \cos\varphi-Block. Die Beiträge aus der Ableitung der trigonometrischen Faktoren bilden zusammen −(fxcos⁡φ+fysin⁡φ)=−f~ρ-(f_x \cos\varphi + f_y \sin\varphi) = -\tilde{f}_\rho. Mit dem äusseren ρ\rho-Faktor wird daraus −ρ⋅f~ρ-\rho \cdot \tilde{f}_\rho.

Merke Pattern: zwei Kettenregeln plus Produktregel plus Schwarz
Mechanik: f~ρ\tilde{f}_\rho aus §2.2 erneut ableiten, Verallgemeinerte Kettenregel anwenden, Produktregel wo nötig, Schwarz für Mischableitungen. Identisches Pattern wie im IV.4 §3.2-Beweis.
Notation Schwarz erlaubt fxy=fyxf_{xy} = f_{yx}
Bei stetig differenzierbaren ff gilt Schwarz, daher fxy≡fyxf_{xy} \equiv f_{yx}. In der Sortierung der Resultate wird das implizit verwendet, deshalb taucht im Mischterm der Faktor 22 statt zwei separater fxyf_{xy}-, fyxf_{yx}-Beiträge auf.
Formel Spickzettel f~ρρ\tilde{f}_{\rho\rho}
fxxcos⁡2φ+2fxycos⁡φsin⁡φ+fyysin⁡2φf_{xx}\cos^2\varphi + 2 f_{xy}\cos\varphi \sin\varphi + f_{yy}\sin^2\varphi
Quadratische Form ohne Vorfaktoren ρ\rho. Alle drei Terme sind direkt verwertbar.
Formel Spickzettel f~φφ\tilde{f}_{\varphi\varphi}
ρ2(fxxsin⁡2−2fxycos⁡sin⁡+fyycos⁡2)−ρf~ρ\rho^2 (f_{xx}\sin^2 - 2 f_{xy}\cos\sin + f_{yy}\cos^2) - \rho \tilde{f}_\rho
Faktor ρ2\rho^2 vorne, dann sin⁡/cos⁡\sin/\cos-Rollen vertauscht plus negatives Misch-Vorzeichen, plus Korrektur-Term.
Querverweis Verweise
→ IV.3 §2 Schwarz
→ IV.6 §2 Verallgemeinerte Kettenregel

5.2 Laplace-Operator in Polarkoordinaten

Aus den Herleitungen in §5.1 folgt direkt der Laplace-Operator in Polarkoordinaten, mit einem auf den ersten Blick unerwarteten 1/ρ1/\rho-Term. Erst die Definition in zwei Variablen wiederholen: das ist der zweidimensionale Spezialfall des Laplace aus IV.7 §4.2 (dort Δf=fxx+fyy+fzz\Delta f = f_{xx} + f_{yy} + f_{zz} für drei Variablen).

Laplace in zwei Variablen, Definition
Δf:=fxx+fyy\Delta f := f_{xx} + f_{yy}
Summe der zweiten partiellen Ableitungen nach xx und yy. Zentral in Physik (Wärmeleitung, Wellengleichung, Poisson-Gleichung).

Hauptsatz dieses Sections: in Polarkoordinaten lautet der Laplace-Operator nicht einfach f~ρρ+f~φφ\tilde{f}_{\rho\rho} + \tilde{f}_{\varphi\varphi}, sondern enthält zusätzlich einen 1/ρ1/\rho-Term und einen 1/ρ21/\rho^2-Faktor.

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Laplace-Operator in Polarkoordinaten
Δf=fxx+fyy=f~ρρ+1ρ f~ρ+1ρ2 f~φφ\begin{aligned} \Delta f &= f_{xx} + f_{yy} \\ &= \tilde{f}_{\rho\rho} + \tfrac{1}{\rho}\, \tilde{f}_\rho + \tfrac{1}{\rho^2}\, \tilde{f}_{\varphi\varphi} \end{aligned}
Drei Terme statt zwei. Mittlerer Term (1/ρ)f~ρ(1/\rho) \tilde{f}_\rho ist die Geometrie-Korrektur, die vom Polar-Flächenelement ρ dρ dφ\rho \, d\rho \, d\varphi stammt.

Beweis-Skizze. Addiere f~ρρ\tilde{f}_{\rho\rho} aus §5.1 und (1/ρ2)⋅f~φφ(1/\rho^2) \cdot \tilde{f}_{\varphi\varphi}. Im Klammer-Block von f~φφ\tilde{f}_{\varphi\varphi} sind die sin⁡/cos⁡\sin/\cos-Rollen vertauscht und der Mischterm hat negatives Vorzeichen. Sortiert nach fxx,fxy,fyyf_{xx}, f_{xy}, f_{yy} kombinieren sich die Beiträge zu fxx(cos⁡2φ+sin⁡2φ)+fxy(2cos⁡φsin⁡φ−2cos⁡φsin⁡φ)+fyy(sin⁡2φ+cos⁡2φ)=fxx+fyyf_{xx}(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi) + f_{xy}(2\cos\varphi\sin\varphi - 2\cos\varphi\sin\varphi) + f_{yy}(\sin^2\varphi + \cos^2\varphi) = f_{xx} + f_{yy} (Misch-Term hebt sich exakt auf, cos⁡2+sin⁡2=1\cos^2 + \sin^2 = 1). Restterm aus −ρ⋅f~ρ-\rho \cdot \tilde{f}_\rho in f~φφ\tilde{f}_{\varphi\varphi} liefert nach Multiplikation mit 1/ρ21/\rho^2 einen Beitrag −(1/ρ)⋅f~ρ-(1/\rho) \cdot \tilde{f}_\rho, das mit dem im Satz eingebauten +(1/ρ)f~ρ+(1/\rho) \tilde{f}_\rho ausgleicht. Algebra mechanisch.

Anwendungs-Vorschau. Wärmeleitungs- und Wellengleichung in Polarkoordinaten (radial-symmetrisch um eine Punktquelle) profitieren direkt von dieser Form. Volle Behandlung in Analysis III, hier nur die Grundlagen.

Koordinaten Δf\Delta f Bemerkung
kartesisch fxx+fyyf_{xx} + f_{yy} Definition
Polar f~ρρ+(1/ρ)f~ρ+(1/ρ2)f~φφ\tilde{f}_{\rho\rho} + (1/\rho) \tilde{f}_\rho + (1/\rho^2) \tilde{f}_{\varphi\varphi} drei Terme statt zwei
Cheat-Sheet B: Laplace in zwei Koordinatensystemen.
Definition Δf\Delta f in zwei Variablen
Δf:=fxx+fyy\Delta f := f_{xx} + f_{yy}. Spezialfall des Laplace aus IV.7 §4.2, dort mit drittem Term fzzf_{zz} für drei Variablen.
Notation Drei Terme im Polar-Δ\Delta
Δf=f~ρρ+(1/ρ)f~ρ+(1/ρ2)f~φφ\Delta f = \tilde{f}_{\rho\rho} + (1/\rho) \tilde{f}_\rho + (1/\rho^2) \tilde{f}_{\varphi\varphi}. Mittlerer Term ist Geometrie-Korrektur aus dem Polar-Flächenelement, nicht 'doppelt gezählt'.
Formel Spickzettel Polar-Laplace
Δf=f~ρρ+1ρf~ρ+1ρ2f~φφ\Delta f = \tilde{f}_{\rho\rho} + \tfrac{1}{\rho} \tilde{f}_\rho + \tfrac{1}{\rho^2} \tilde{f}_{\varphi\varphi}
Drei Terme in Polar. Bei radial-symmetrischen Funktionen f=h(ρ)f = h(\rho) entfällt der dritte Term, ODE in ρ\rho allein bleibt.
Querverweis Verweise
→ IV.7 §4.2 Laplace in drei Variablen

6.1 Substitution u=x+ctu = x+ct, v=x−ctv = x-ct, allgemeine Lösung F(x+ct)+G(x−ct)F(x+ct) + G(x-ct)

Die eindimensionale Wellengleichung wird durch die richtige Substitution in die einfachste mögliche partielle Differentialgleichung überführt: f~uv≡0\tilde{f}_{uv} \equiv 0. Daraus folgt direkt die Form jeder Lösung. Das ist d'Alembert-Substitution, und sie ist das Standard-Werkzeug für hyperbolische PDEs in einer räumlichen Variable.

!!
Eindimensionale Wellengleichung
ftt=c2⋅fxx,    c>0f_{tt} = c^2 \cdot f_{xx},\;\; c > 0
Zwei zweite Ableitungen: fttf_{tt} in der Zeit, fxxf_{xx} im Raum. Konstante cc ist die Ausbreitungs-Geschwindigkeit der Welle.
Substitutions-Definition
u=x+ct,    v=x−ct  ⟺  x=u+v2,    t=u−v2cu = x + c t,\;\; v = x - c t \;\Longleftrightarrow\; x = \tfrac{u+v}{2},\;\; t = \tfrac{u-v}{2c}
Charakteristische Variablen der Wellengleichung. Linearer Wechsel zwischen (x,t)(x, t) und (u,v)(u, v). Mitschrift S. 36 unten.

Die transformierte Funktion ist die Komposition von ff mit der Substitution. Wir wenden gleich die Verallgemeinerte Kettenregel zweimal an, um f~uv\tilde{f}_{uv} in den kartesischen Ableitungen fxx,fxt,fttf_{xx}, f_{xt}, f_{tt} auszudrücken. Erst die transformierte Funktion explizit, dann die Jacobi-Komponenten:

Transformierte Funktion f~\tilde{f} in (u,v)(u, v)
f~(u,v)=f(x(u,v), t(u,v))\tilde{f}(u, v) = f(x(u, v),\, t(u, v))
Komposition f~=f∘(x,t)\tilde{f} = f \circ (x, t). x,tx, t als Funktionen in (u,v)(u, v) aus der Substitution oben.
Jacobi-Komponenten in (u,v)(u, v)
xu=12,xv=12tu=12c,tv=−12c\begin{aligned} x_u &= \tfrac{1}{2}, & x_v &= \tfrac{1}{2} \\ t_u &= \tfrac{1}{2c}, & t_v &= -\tfrac{1}{2c} \end{aligned}
Vier Konstanten. Vorzeichen-Stelle: nur tv=−1/(2c)t_v = -1/(2c) hat Minus, alle anderen drei sind positiv. Häufige Fehlerquelle.
f~u\tilde{f}_u Berechnung
f~u=fx xu+ft tu=12 fx+12c ft\tilde{f}_u = f_x\, x_u + f_t\, t_u = \tfrac{1}{2}\, f_x + \tfrac{1}{2c}\, f_t
Direkte Anwendung der Verallgemeinerten Kettenregel. f~v\tilde{f}_v analog mit 12fx−12cft\tfrac{1}{2} f_x - \tfrac{1}{2c} f_t.

Nun (f~u)v=f~uv(\tilde{f}_u)_v = \tilde{f}_{uv}. Erneut Verallgemeinerte Kettenregel anwenden, diesmal auf f~u=(1/2)fx+(1/(2c))ft\tilde{f}_u = (1/2) f_x + (1/(2c)) f_t. Mit (fx)v=fxxxv+fxttv=fxx/2−fxt/(2c)(f_x)_v = f_{xx} x_v + f_{xt} t_v = f_{xx}/2 - f_{xt}/(2c) und analog (ft)v=ftx/2−ftt/(2c)(f_t)_v = f_{tx}/2 - f_{tt}/(2c), plus Schwarz fxt=ftxf_{xt} = f_{tx}, ergibt sich nach Sortieren:

!!!
f~uv\tilde{f}_{uv} mit Wellengleichung
f~uv=14(fxx−1c2 ftt)=(WG)14(fxx−fxx)=0\begin{aligned} \tilde{f}_{uv} &= \tfrac{1}{4}\bigl( f_{xx} - \tfrac{1}{c^2}\, f_{tt} \bigr) \\ &\stackrel{(\text{WG})}{=} \tfrac{1}{4}\bigl( f_{xx} - f_{xx} \bigr) = 0 \end{aligned}
Erste Zeile: allgemeine Identität aus Verallgemeinerter Kettenregel. Zweite Zeile: Wellengleichung ftt=c2fxxf_{tt} = c^2 f_{xx} einsetzen, Klammer wird 00.

Aus f~uv≡0\tilde{f}_{uv} \equiv 0 folgt per IV.2 §5.3-Resultat (Lösung von fxy≡0f_{xy} \equiv 0 in zwei Variablen): f~(u,v)=F(u)+G(v)\tilde{f}(u, v) = F(u) + G(v) mit beliebigen Funktionen F,GF, G in einer Variable. Rück-Substitution mit u=x+ctu = x + ct und v=x−ctv = x - ct liefert die volle Lösungsstruktur:

Allgemeine Form von f~\tilde{f}
f~(u,v)=F(u)+G(v),    F,G beliebig\tilde{f}(u, v) = F(u) + G(v),\;\; F, G \text{ beliebig}
Zwei Funktionen in einer Variable. Aus IV.2 §5.3: jede Lösung von fxy≡0f_{xy} \equiv 0 ist Summe einer Funktion in nur xx und einer Funktion in nur yy, hier mit u,vu, v statt x,yx, y.
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d'Alembert-Lösung
f(x,t)=F(x+ct)+G(x−ct)f(x, t) = F(x + c t) + G(x - c t)
Klassische Lösungsdarstellung. FF und GG sind beliebige zweimal differenzierbare Funktionen in einer Variable. Anfangs-Wert-Daten (f(⋅,0),ft(⋅,0))(f(\cdot, 0), f_t(\cdot, 0)) legen FF und GG eindeutig fest.

Beispiel. Die harmonische Welle aus IV.1 lautet f(x,t)=Asin⁡(2πT(xc−t)+φ0)f(x, t) = A \sin\bigl(\tfrac{2\pi}{T}(\tfrac{x}{c} - t) + \varphi_0\bigr). Sie hat die Form G(x−ct)G(x - ct) (mit G(ξ)=Asin⁡(2πTcξ+φ0)G(\xi) = A \sin(\tfrac{2\pi}{Tc}\xi + \varphi_0)) und ist damit ein Spezialfall der d'Alembert-Lösung, also automatisch Lösung der Wellengleichung.

Harmonische Welle Beispiel
f(x,t)=Asin⁡ ⁣(2πT(xc−t)+φ0)f(x, t) = A \sin\!\bigl( \tfrac{2\pi}{T}\bigl(\tfrac{x}{c} - t\bigr) + \varphi_0 \bigr)
Amplitude AA, Periodendauer TT, Geschwindigkeit cc, Phase φ0\varphi_0. φ0\varphi_0 ist hier Phase, NICHT der Polar-Winkel aus §2 bis §5.
Schritt Was tun Resultat
1. Substitution u=x+ctu = x + ct, v=x−ctv = x - ct neue Variablen
2. Kettenregel f~uv\tilde{f}_{uv} via Jacobi und Wellengleichung f~uv≡0\tilde{f}_{uv} \equiv 0
3. fxy≡0f_{xy} \equiv 0-Lösung aus IV.2 §5.3-Resultat f~=F(u)+G(v)\tilde{f} = F(u) + G(v)
4. Rück-Substitution u,v→x,tu, v \to x, t f=F(x+ct)+G(x−ct)f = F(x+ct) + G(x-ct)
Cheat-Sheet C: d'Alembert-Lösung Schema, vier Schritte zur allgemeinen Lösung der Wellengleichung.
Definition d'Alembert-Lösung
f(x,t)=F(x+ct)+G(x−ct)f(x, t) = F(x + ct) + G(x - ct) ist die allgemeine Lösung der Wellengleichung ftt=c2fxxf_{tt} = c^2 f_{xx} in einer räumlichen Variable. F,GF, G beliebige zweimal differenzierbare Funktionen.
Notation φ0\varphi_0 Phase vs Polar-φ\varphi (Pflicht)
Pflicht-Hinweis: φ0\varphi_0 in der harmonischen Welle ist die Phase, NICHT der Polar-Winkel φ\varphi aus §2 bis §5. Index 00 unterscheidet die Phase vom laufenden Polar-Winkel.
Notation (u,v)(u, v) in §6.1 vs §2.2
(u,v)(u, v) in §6.1 sind d'Alembert-Substitutionen u=x+ctu = x+ct, v=x−ctv = x-ct. In §2.2 waren (u,v)(u, v) hyperbolische Koordinaten. Lokal pro Beispiel klar; verschiedene Rollen, nur die Buchstaben-Wahl überlappt.
Formel Spickzettel d'Alembert
f=F(x+ct)+G(x−ct)f = F(x+ct) + G(x-ct)
Allgemeine Wellengleichungs-Lösung. FF links wandernd, GG rechts wandernd, beide mit Geschwindigkeit cc.
Querverweis Verweise
→ IV.2 §5.3 Lösung von fxy≡0f_{xy} \equiv 0

7.1 Aufgaben

Aufgaben werden vom Nutzer geliefert. Standard-Vorgehen: bei Polar-Aufgaben Jacobi-Komponenten aus Cheat-Sheet A in §2.2 anwenden, gegebenenfalls M−1M^{-1} aus §4.1 für die Umkehrung. Bei höheren Ableitungen das Pattern aus §5.1 zweimal anwenden (Verallgemeinerte Kettenregel plus Produktregel plus Schwarz). Bei PDE-Aufgaben passende Substitution wählen (charakteristische Variablen u=x+ctu = x+ct, v=x−ctv = x-ct für hyperbolische PDEs wie die Wellengleichung, Polar ρ,φ\rho, \varphi für radial-symmetrische Probleme), dann auf f~\tilde{f}-Gleichung reduzieren und gegebenenfalls IV.2 §5.3 für die Lösungsstruktur einsetzen.